ВВЕДЕНИЕ
В начале прошлого века были заложены основы теории наилучшего приближения в нормированных пространствах. Создание этой теории неразрывно связано с именем С. Банаха [1]. Позднее идеи С. Банаха были развиты в работах С. Мазура, М.Г. Крейна, С.М. Никольского, И.И. Лхисзера, Дж. Уолша, А.Н. Колмогорова, А.И. Маркушевича, А.Л. Гаркави, Е. Чини и других. (Подробнее литературу см. в [5, 6, 56, 57]).
Операторы проектирования (ограниченные идемпотентные операторы) дают приближение того же порядка, что и наилучшее, поэтому изучение их свойств представляется вполне естественным.
Пусть Г - замкнутое подпространство банахова пространства X. Линейный ограниченный оператор л \Х У называется оператором
проектирования (проекцией) X на У, если и у-у для любого уеУ.
Множество всех операторов проектирования пространства X на подпространство У будем обозначать яг (А', У). Относительной
проекционной константой подпространства У в пространстве X
называется число А(У, X) = тпЫ У)}.
Среди операторов проектирования особый интерес представляют те, нормы которых совпадают с относительной проекционной константой. Если такие проекции существуют, то они называются минимальными проекциями.
Хотя сам термин «минимальные проекции» появился позднее, фактически изучение минимальных проекций началось уже в 30-х годах, главным образом, в связи с изучением геометрии банаховых пространств. При этом особенно подробно изучались проекции с единичной нормой, являющиеся естественным обобщением ортогональных проекций в гильбертовых пространствах. При их изучении ставятся две проблемы:
(ЕР) - вопрос о существовании проекции с единичной нормой;
(ИР) - вопрос о единственности такой проекции.
2
Среди математиков изучавших проекции с единичной нормой такие, как
A.Е. Taylor, H.F. Bohnenblust JI.В. Канторович, R.C. James, Т.Н. Акилов, М.З. Соломяк, J. Lindenstrauss, М.И. Кадец, C. Bessaga, A. Pefczynski, J. Ando, В.И. Гурарий, J. Blatter, E.W. Cheney. (Подробнее см. в [30, 22, 37, 38, 64]). Позднее этой проблемой занимались В.II. Одинец, G. Lewicki,
B.В. Локоть, М.Я. Якубсон (см. [60. 24-28, 51, 12, 34]).
С другой стороны, уже в 40-х годах появились работы о некоторых минимальных проекциях с неединичной нормой. В работе А. Собчика [67], опирающейся на результаты А.Е. Тейлора [68] и Г.Ф. Бонснбласта [39], доказано, что минимальные проекции из (с) на подпространство (с0) имеют норму равную двум и их бесконечно много.
Понятие минимальной проекции, то есть имеющей наименьшую из норм всех проекций на данное подпространство, фактически принадлежит Г.Ф. Бонсибласту [39]. Очевидно, что проекция с единичной нормой всегда минимальна. Таким образом, проблема (ЕР) распадается на три вопроса: о существовании непрерывной проекции, минимальной проекции и проекции с единичной нормой.
В конечномерных пространствах минимальная проекция существует всегда, однако в бесконечномерном случае это не так (см., например. [381).
Абсолютной проекционной константой порядков к, п называется число
л(к, п)=еяр\л(г„, Yt с _YW I, где dim Г, = к, dimX, = я, к<п (см. [31]).
л/ 1 \
В 1938 году Г.Ф. Боненбласт [39] доказал, что я(и-1, и) = —-—. Для
подпространств коразмерности к >2 точные значения Я (/г, л) не найдены. Однако, в ряде случаев для Я (/с, и) найдены оценки сверху или снизу. В работе [49] получена следующая оценка сверху
(1)
3
В.В. Локтем [58] были получены оценки снизу для х(п~2, л) и
Я (л -3, л), а именно X [л-2, уп, где
•*
О, Л = 35,
Гл = i ~т~г—^---ту Л = Зл-L
| «(и + 7л - 2]
8 -, „
I—гт:-----ь я = 3$ + 2.
[ л(й + 5и- 2)
Если сравнить этот результат с оценкой сверху (1), то получим, что
разность между двумя оценками не превышает /2-- «0.0809. Для
3
Я (л - 3, я) оценка снизу имеет вид:
( \ 5т' + 16/л - 6 5 3(/я+ 4)
М7-3’ На-Ь^ТъГ = 5- 2^2«;7') ’ где л = 7w, т eft. Сравнивая этот результат с оценкой (1), получим, что
г 3
разность между двумя оценками не превышает >/3 - - » 0,232 .
Для получения указанных выше оценок в работе [58] вычислены относительные проекционные константы
л(г„-2, А1"5), л(7„, /г), г) для некоторых классов
подпространств, причем размерность пространств /,<я> и определяется по формуле п - (2* - \)т, размерность же подпространства равна (2* -1 )т-к. Можно показать, что такой выбор размерности п пространств 1\п) и /оп) и коразмерности к подпространств является оптимальным, то есть в этом случае значение x{ïn,k, I™) или Я (у^, является наилучшей оценкой снизу для Я (л-fc, л). В [58] для пространства /1(”>
рассмотрены случаи А = 2 и * = 3, для пространства /<л> рассмотрен случай
Я = 2.
В работах [38, 43, 7, 51] определены относительные проекционные константы гиперплоскостей в пространствах , в [8, 9, 52]
4
найдены значения 2(У2,/ГС4>) и Я(У2,1™) для любого подпространства У2. В случае к <п~2 значения 1(Ук,/,<я)) и Л(Уу,1^) удалось определить только для некоторых классов подпространств Ук. Более общий случай для подпространств коразмерности два пространства рассмотрен Г.
Левицким в [51] (см. теорему 2.4.6.). В работе [15] найдены значения Л(У3,1™), а в работах [16, 17] - значения Л(Г4,/,<в)), 2( У,,/^), ДУ,,/*0), Д(У3,/^), А(У4,/,П)), Я(Г4,С:) для некоторых классов подпространств.
Проблема нахождения относительных проекционных констант различных подпространств конечномерных пространств рассматривается также в [40-43, 50, 53]. В [45] для нахождения относительных проекционных констант применяются численные методы.
Перейдем к вопросу о единственности минимальной проекции. Этот вопрос тесно связан с проблемой единственности распространения функционалов с сохранением нормы. Пространства, обладающие этим свойством, называются гладкими по Хану-Банаху. Такие пространства исследовали Р. Фслис [65], Дж. Хеннсфельд [46, 47], Дж. Джонсон [48], О. Лима [54, 55], Э. Оя [32, 33, 62] и другие. С данной проблемой также тесно связана проблема единственности линейного оператора продолжения функционалов (см. [2-4]).
Большой вклад в решение проблемы (1_ГР) внес В.П. Одинец [22-29, 60], см. также монографию В.П. Одинца [30] и монографию В.П. Одинца и Г. Левицкого [61]. Им получены критерии единственности минимальных проекций в терминах дифференцируемости нормы по Гато [23], и единственноеги продолжения функционалов из некоторых “критических” множеств [24].
В.В. Локтем [10-14] разработаны некоторые прямые методы доказательства единственности минимальных проекций для конечномерных пространств.
М.Я. Якубсон [34, 35] рассматривает проблему единственности минимальных проекций на пространства типа Джеймса.
5
О других работах по проблеме единственности минимальных проекций см. [30].
С проблемой (ЦР) тесно связана проблема сильной единственности минимальных проекций.
Оператор проектирования л0 \Х ->У называется сильно единственным,
если существует число к є (0; 1] такое, что неравенство
выполняется для любого оператора проектирования л є л{Х, У).
Пусть X = 1^ - действительное п-мерное пространство элементов
гиперплоскости в /<п). Если функционалы /р (/> = 1, ... ,к) линейно
независимы, то У^к = П//(О) есть подпространство размерности п~к
пространства /£,).
Известно [38, 8], что любой оператор проектирования л -» Уп_к имеет
|я-0||+ф-ж-0||< я
* = (*,)"., с нормой Ы = шах!*,-), /Р = (/Р,)".1. Р=1 - >*, №<»)- линейные
функционалы, определенные на /£°, и
к
Нормы операторов л и л - я0 вычисляются по формулам
п I к
А
а оператор л0 имеет вид х-^а^/р(х).
- Киев+380960830922