Оглавление
Введение................................................. 4
1. Интегральное представление для решении гипергеометрическои системы Горна 21
1.1. Система разностных уравнении для веса интегрального представления .............................. 22
1.2. Решение системы разностных уравнений................. 23
1.3. Условия трансляционной инвариантности
контура интегрирования ............................. 32
1.4. Условие существования интегрального преобразования ......................................... 35
1.5. Представление решения системы уравнений Горна в виде кратного ряда (слз'чай простых особенностей)........................................... 38
2. Х>-модуль системы Горна и базис в пространстве
ее голоморфных решении 43
2.1. Условия разрешимости, ряды Горна
и их носители....................................... 45
2.2. Х>-модуль, ассоциированный с системой Горна ... 53
2.3. Базис в пространстве решений некоторых систем уравнений гипергеометрического типа..................... 63
2
. 4 1
3
3. Об особенностях гипергеометрических функций
и рациональных решениях системы Горна 74
3.1. Понятие результанта системы Горна и его амебы . 76
3.2. Минимальность амеб особенностей рациональных гипергеометрических функций............................ 82
3.3. Рациональность мероморфных неконфлюэнтных гипергеометрических функций............................ 86
3.4. Рациональные гипергеометрические функции, контигуально эквивалентные ядрам Бергмана .... 92
Заключение............................................. 100
Основные обозначения................................... 101
Список литературы...................................... 103
Работы автора по теме диссертации ..................... 105
Введение
Теория специальных функций является одним из основных разделов математической физики. На протяжении последних трех столетий необходимость решения задач гидродинамики, теории управления, классической и квантовой механики стимулировала развитие теории специальных функций одного и нескольких переменных. Математические модели физических процессов содержат, как правило, обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных или системы таких уравнений. Однако лишь немногие из встречающихся на практике уравнений могут быть решены в классе элементарных функций. Поэтому возникла необходимость расширения класса изученных функций. Новые функции определялись зачастую как решения дифференциальных уравнений или их систем и назывались специальными функциями. Так возникли функции Бесселя, функции Эрмита, гипергеометрическая функция Гаусса.
Введенные таким образом специальные функции математической физики не являются независимыми. Многие специальные функции могут быть выражены через другие. Детальное изучение и систематизация соотношений между ними являются одной из основных целей фундаментальных трудов [11],[18]. Однако, несмотря на все приложенные усилия, эту цель вряд ли можно считать достигнутой. Связь между различными специальными функциями математической физики нуждается в дальнейшем изучении. Тем сильнее ощущается необходимость создания единой теории специальных функ-
4
5
ции.
Важный класс специальных функций составляют функции гипер-геометрического типа. Первоначально термин ”гипергеометричес-кий” применялся к следующим объектам:
” Гипергеольетрическое уравнение Гаусса” - линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка
К этому вида приводится произвольное однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с тремя правильными особыми точками.
” Гиперге о метрическая функция” - решение гипергеометрического уравнения.
” Гиперге о метрический ряд Гаусса” - следующий степенной ряд, являющийся одним из решений гипергеометрического уравнения:
где (а)* = Г(а 4- к)/Г(а) - символ Похгаммера. Выбирая подходящим образом значения параметров а, /5, -у, можно получить многие элементарные и специальные функции. Например, полные эллиптические интегралы первого и второго рода, присоединенные функции Лежандра, ультрасферические многочлены и др. являются частными случаями функции 2^1 75х).
Следующим шагом в теории гипергеометрических функций одного комплексного переменного явился переход от уравнения Гаусса (0.1) к так называемому обыкновенному обобщенному гипер-геометрическому дифференциальному уравнению [12]:
х(х - 1 )у\х) + ((а + р + 1)х - 7)у'(х) + а/3у(х) = 0. (0.1)
(0.2)
Р
Я
Р(в) = <П(з - а*), <2(в) = Ц(8-/3*),
6
Ь,ак,/3к € С. Гипергеомстрическое уравнение Гаусса (0.1) соответствует случаю Р(з) = з2-}-(сИ-/2)з-К*/3, = 52+(7—1)я. Уравнениям
вида (0.2) удовлетворяет подавляющее большинство специальных функции математической физики.
Для гипергеометрических функций одного комплексного переменного существует хорошо развитая теория с многочисленными приложениями. Все основные системы компьютерной алгебры (такие как Ма^етаПса и Мар1е) содержат процедуры, позволяющие работать с гипергеометрическими функциями. Существует также большое количество пакетов для таких систем, поддерживающих символьные вычисления с использованием функций гипергеомет-рического типа. К ним относится, например, пакет НУРЕШЗ, разработанный в институте им. Гаспара Монжа (Франция).
В многомерном случае существует несколько подходов к понятию гипергеометрической функции. Такие функции могут быть определены как суммы степенных рядов определенного вида (так называемых Г-рядов) -5],[7],[8], как решения систем дифференциальных уравнений [9],[39], как интегралы типа Эйлера [25],[34] и интегралы Меллина-Варнса [39].
Многомерные системы дифференциальных уравнений гипергео-метрического типа возникают в некоторых задачах математической физики. В частности, такие уравнения появляются при изучении фейнмановских интегралов [10], в теории суперструн при исследовании юкавских констант связи [25], а также при решении алгебраических уравнений [19],[38],[44].
В 1989 году в работе [9] была детально рассмотрена система дифференциальных уравнений, которая в настоящее время широко известна как система Гельфанда-Капранова-Зелевинского. Эта система уравнений задается натуральным числом N и произвольной подрешеткой В С . Пусть Ь С Сдг - линейное подпространство, натянутое на решетку В} и А С (СА)' - аннулятор Ь. Системой Гельфанда-Капранова-Зелевинского, ассоциированной с решеткой
7
В, называется следующая система дифференциальных уравнений
на Сдг :
П (£:) у = П (£:) у для любого 6 е в, (о.з)
і:Ьі>0 ' г/ і:Ьі<0 4 г/
N ^
снхі~д— = (а, с^)?/ для любого а Є Л. (0-4)
і=і бХ{
Здесь а Є С^/Г - фиксированный вектор, играющий роль параметра. Данная система уравнений интенсивно изучалась на протяжении последнего десятилетия, вызвав к жизтги дальнейшие обобщения понятия гипергеометричности. В частности, была построена теория гипергеометрических функций на грассмановых многообразиях [б].
Однако гипергеометрические функции многих переменных могут быть введены при помощи более классической системы дифференциальных уравнений гипергеометрического типа, нежели система Гельфанда-Капранова-Зелевинского. Эта система уравнений естественно возникает из определения гипергеометрического ряда, предложенного Горном [35]. По Горну формальный (лорановский) ряд от п переменных
^ ф)х° (0.5)
5€2п
называется гипергеометрическим, если для любого і = 1 отношение (р(в + е*)/<^(5) является рациональной функцией. Здесь
Є{ = (0,..., 1,,0) (1 на г-ом месте), 5 = («і,х ~ (®1»—»®п)і
л»5 _ -Г'^п
X — ...лп •
Нетрудно вьшисать систему дифференциальных уравнений, которой формально удовлетворяет ряд (0.5). Пусть +• е,-)/(/?(з) =
Рх($)/<Зі(з + Єі), где - полиномы, тогда ряд (0.5) является фор-
мальным решением системы уравнений
ХіРі{в)у{х) = <2<(%(я), г = 1,..., п. (0.6)
8
Здесь 0 = (01,.0* = Система (0.6) восходит к Меллину и Горну [35]. Частные случаи данной системы уравнений, особенно в двух- и трехмерном случае, рассматривались во многих работах (см., например, [28],[38],[42]). Всюду в дальнейшем мы будем называть систему (0.6) гипергеометрической системой дифференциальных уравнений Горна и исходить из следующего определения:
Определение. Аналитическая функция (вообще говоря, многозначная) называется гиперге о метрической, если она удовлетворяет гипергеометрической системе Горна (0.6) при некотором выборе
ПОЛИНОМОВ -РьСг.
Изучение системы уравнений Горна мотивируется стремлением создать единую стройную теорию специальных функций гипергео-метрического типа. В рамках этой теории гипергеометрические функции возникают как решения универсальной системы дифференциальных уравнений, а не большого количества слабо связанных между собой уравнений математической физики, как это сложилось исторически.
Во введении к работе [6] отмечается, что, по сравнению с рядами Горна и соответствующей им системой Горна, система Гель-фанда-Капранова-Зелевинского и ее формальные решения в виде рядов гипергеометричсского типа имеют существенно более простую структзфу. Поэтому, с учетом сказанного выше, задача исследования гипергеометрической системы Горна представляется весьма актуальной и непростой.
Целью настоящей диссертации является систематическое изучение системы уравнений Горна: исследование ассоциированного с ней модуля над алгеброй Вейля, построение базиса в пространстве ее голоморфных решений, описание множества особенностей решений, классификация рациональных решений и изучение вопроса о представимости решений стеленными рядами.
В одномерном случае система Горна совпадает с обыкновенным дифференциальным уравнением (0.2), которое играет важную роль
- Киев+380960830922