СОДЕРЖАНИ Е
ВВЕДЕНИЕ......................................................... 4
ГЛАВА 1. Метрическое пространство 1*(Кп)........................ 12
1.1. Некоторые свойства расширенного множества интервалов .......12
1.2. Метрическое пространство над множеством интервальных векторов 26
1.3. Интервальные расширения.....................................29
ГЛАВА 2. Решение интервальной системы линейных алгебраических уравнений........................................................33
2.1. Постановка задач внутренней оценки множеств решений интерваль-
. *
ной системы линейных алгебраических уравнений.................33
2.2. Теоремы о связи интервального решения интервальной системы линейных алгебраических уравнений с объединенным и допустимым множествами решений...........................................36
2.3. Основная теорема о максимальной внутренней оценке объединенного множества решений........................................... 41
2.4. Нахождение интервального решения интервальной системы линейных алгебраических уравнений......................................55
2.5. Выбор начального приближения для получения двусторонних оценок ..............................................................59
ГЛАВА 3. Решение квадратного интервального уравнения.............63
3.1. Интерпретация интервальных решений уравнений в 1(Е).........63
2
3.2. Объединенное и допустимое множества решений квадратных интервальных уравнений..........................................70
3.3. Интервальные решения квадратных интервальных уравнений с неправильными интервальными коэффициентами......................74
3.4. Интервальные решения квадратных интервальных уравнений с правильными коэффициентами при положительных степенях и неправильным свободным членом.......................................93
ЛИТЕРАТУРА ................................................ 102
Введение
Данная работа посвящена исследованию уравнений с операторами, действующими в интервальных метрических пространствах, заданных на расширенном множестве интервалов - I (Я) и интервальных векторов [ (Я"). Целью работы является внутреннее оценивание трудно описываемых множеств решений уравнений и систем с интервальными параметрами более простыми множествами с легко вычислимой мерой, а именно, интервалами и интервальными векторами. Оригинальность предлагаемого подхода состоит в дуализации коэффициентов исходного уравнения и нахождении решения полученного уравнения в 1*(Яп), при этом найденное решение, если оно существует, является максимальной по включению внутренней оценкой для множества вещественных решений исходного уравнения. Автором доказаны соответствующие теоремы для интервальных уравнений и интервальных систем линейных алгебраических уравнений. Существование решений уравнений в интервальных метрических пространствах заслуживает отдельного рассмотрения и не является предметом представленной работы.
Расширенное множество интервалов 1*(Я) впервые было рассмотрено Каухсром [32] в 1973 году, им была предложена арифметика этого множества (арифметика Каухера) и доказаны основные теоремы о её свойствах [32,33,34]. В дальнейшем расширенная интервальная арифметика разрабатывалась Гареденесом, Трепатом, Джэнером, Миелго [27,28,29,30], которыми были введены также некоторые понятия и доказаны новые важные свойства.
Главными трудностями при решении уравнений в интервальных пространствах являются нелинейность умножения на вещественные числа и невыполнение дистрибутивного закона дзя интервальных арифметических операций, в связи с чем даже оператор умножения вещественной матрицы на элемент хе 1*(Яп) не является линейным оператором.
4
Чтобы охарактеризовать место, которое занимает данное исследование в интервальном анализе, и возможные области приложения, заметим, что с интервальным анализом связаны три направления научной и технологической деятельности [23]:
- математическое - включающее исследование математических проблем интервального анализа;
- компьютерное - рассматривающее вопросы создания и использования компьютерных средств для выполнения интервальных вычислений;
- прикладное - связанное с применением результатов интервальной математики и соответствующих компьютерных средств в различных областях науки и технологии.
Данная работа относится к первому из этих направлений.
Возникнув как подход к решению задачи получения гарантированного результата, ин тервальный анализ находит свое применение в исследованиях, объекты которых имеют изначально интервальную природу. Например, состояние человеческого организма характеризуется такими параметрами, как температура тела, давление крови в сосудах, содержание в ней определенных веществ и т.д. Для этих параметров существуют некоторые ин тервалы, в пределах которых любое их значение является допустимым для нормального функционирования организма. Любая система подвержена влиянию разнообразных факторов, которые в количественном выражении могут изменяться в каких-то границах, при этом система остается жизнеспособной (отвечает своему целевому назначению), если ее параметры не выходят за границы допустимых значений [2]. В связи с этим возникают два вида интервальной неопределенности. С одной стороны интервал [а,р] есть множество вещественных чисел, и соответствующий параметр может принимать любые вещественные значения из данного интервала, с другой стороны - это приближенные оценки, верхняя и ниж-
5
няя границы, одного единственного вещественного числа. Математически это различие выражается употреблением кванторов всеобщности V или существования 3: в первом случае - V [сх,р], во втором -3^6 [а,|3].
В дальнейшем будем придерживаться следующих обозначений:
- интервалы и интервальные векторы обозначаются латинскими буквами а,Ь,с, ...(с индексами и без них);
- интервальные матрицы - большими латинскими буквами А,В,С, ...;
- вещественные векторы и матрицы - латинскими буквами с точкой снизу а,Ь,с,...,А,В,С...\
концы интервалов и интервальных векторов - а, а (нижний и верхний конец, соответственно), Ь, Ь,
- вещественные числа - греческими буквами а,Р/у, ..., а также малыми латинскими с точкой снизу или с чертой.
Приведем простейший пример двух типов неопределенности.
Пусть имеется вещественное уравнение относительно .х-:
а+ х = Ь,
где а, Ь,х - вещественные числа. Даны интервалы их изменения, а, Ь и х,
соответственно. В интервальной постановке возможны различные задачи, например:
1) найти интервал т такой, что ал- х- Ь\ этот интервал а характеризуег-ся парой свойств
(Vх е х)(У а е а){3 Ье Ь) ал- х = Ь и (У Ь е Ь)(3 ае л)(3 хе х) ал- х = Ь ;
2) найти интервал х такой, что х = Ь - а: этот интервал х характеризуется парой свойств
(V ае я )(У Ь е Ь)(3 Ае х) ал- х - Ь
6
и (Vх€ х)(3ае а)(ЗЬеЬ) а+х=Ь.
Решение первой задачи является подмножеством решения второй.
Гак как значительная часть настоящей работы посвящена интервальной системе линейных алгебраических уравнений, имеет смысл привести пример из [19], иллюстрирующий принципиальное различие между двумя типами неопределенности. Рассмотрим структурную схему линейных статических систем следующего вида:
А - вещественная mxn-матрица, х,у - вектора соответствующей размерности. Интервальная неопределенность элементов а матрицы А может
быть двух типов, которым соответствуют:
первому - параметры, которые нашей воле неподвластны и могут изменяться в пределах соответствующих интервалов как следствие внешних непредсказуемых возмущений (это соответствует Vа а^)\
второму - параметры, которые мы можем изменять в пределах заданных интервалов по своей воле, т.е. управлять ими (это соответствует 3 а уеау).
Интервалы выходных откликов системы у, можно интерпретировать либо как
- коридоры стабилизации системы, в пределах которых нам требуется обеспечить ее функционирование вне зависимости от значений возмущаемых параметров (соответствует 3 у ;-€ уД либо как
7
- множества достижимости системы, каждое значение которых должно быть накрыто в результате подходящего выбора управляющих параметров (соответствует V у € у{).
Характер неопределенности исходных данных и результата зависят, таким образом, от конкретной задачи. Классификация различных множеств решений для интервальных уравнений дана С.П.Шарым в [22].
В данной работе расширенный интервальный анализ Каухера [32] применяется для нахождения решений интервальных систем линейных алгебраических уравнений и интервального уравнения второй степени в пространстве I (К). Основным результатом данной работы являются теоремы о связи интервальных решений уравнений в интервальном метрическом пространстве с решениями вещественных уравнений и систем уравнений с интервальной неопределенностью коэффициентов. Наиболее важным результатом является теорема о максимальной внутренней оценке объединенного множества решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений, которую дает интерватьное решение уравнения с дуальным оператором. Кроме того, дается итерационный метод решения интервальной системы линейных алгебраических уравнений в метрическом пространстве !*(№). Рассматриваются условия сходимости метода и условия, при которых соответствующий оператор является оператором сжатия. Для интерватьных решений уравнений второй степени в пространстве /*(/?,) получены их явные выражения через коэффициенты этого уравнения.
Глава 1 посвящена описанию метрического пространства Г (Я). В п. 1.1 даны некоторые необходимые элементы расширенного интервального анализа, арифметические операции над элементами расширенного интервального пространства, для результатов этих операций получены их выражения через границы операндов, а также даны доказательства свойст-
8
- Киев+380960830922