Содержание
Введение 3
I Некоторые вопросы теории представлений алгебры Ли д1(\) 15
/ч
1 Представления алгебр Ли д(2п и д^, индуцированные с наибольшей параболической подалгебры 16
2 Алгебра Ли д!(А): неприводимые представления и локальное тождество 36
3 Алгебра Ли функций на гиперболоиде: глобальное тождество 57
II Когомологии алгебр Ли дифференциальных операторов: формулы Подъема 68
4 Конструкция формул Подъема 69
5 Конструкция высших формул Подъема. Доказательства 82
6 Интегрирование формул Подъема и циклические гомологии алгебр Ли дифференциальных операторов 92
Введение
Диссертация состоит из двух Частей. Часть 1 посвящена теории представлений алгебры Ли 01(А), являющейся алгеброй Ли скрученных дифференциальных операторов на СР1 (А € С). Основными результатами здесь является вычисление детерминанта формы Шаповалова для квазиконечных представлений алгебры Ли 01(А) и “глобальное тождество” — некоторое комбинаторное тождество геометрической природы, эквивалентное неприводимости некоторых представлений предельной алгебры Ли при А —► оо (это пуассопова алгебра Ли функций на симплектическом листе стандартного слоения на 5 Гг (С)*).
Часть 2 посвящена явному описанию алгебры когомологий Н^1С{$1жфИп)]С) алгебры Ли финитных матриц над алгеброй полиномиальных дифференциальных операторов на С1. В [РТ1] было доказано, что эта алгебра есть внешняя алгебра с образующими в размерностях 2п + 1, 2п+ 3, 2п + 5, ... . Здесь построены явно коциклы Фап+1, Ф2п+з> ^2м+5, • •• № € С^|е(бЙ(01Гп);С)) такие что
Н1М^(иИп);С) = А*(Ф2п+ьФ2»+з,Ф2В+5,...).
Эти коциклы, называемые формулами подъема строятся в более общем алгебраическом контексте. При атом для доказательства того, что Фгп+ъ Фгп+з» Фгп+5> • - • являются образующими в когомологиях, используется интегрирование в когомологиях алгебр Ли ([СГ)), примененное к алгебре Ли скрученных дифференциальных операторов на СРп.
0.1
Алгебра Ли д1{А) — это бесконечномерная алгебра Ли, зависящая от параметра А € С, которая является непрерывной версией алгебры Ли. Она была введена Б.Л.Фейгиным в [Р1 ] для вычисления алгебры когомологий алгебры Ли полиномиальных дифференциальных на прямой С1 и имеет несколько эквивалентных определений. Мы опишем ниже три из них.
Во-первых, это алгебра Ли. построенная по ассоциативной алгебре скрученных дифференциальных операторов (см. [ВВ2]) на СР1. Дифференциальным оператором порядка < к в линейном расслоении С называется глобальный объект, который локально дейтвует на голоморфных сечениях этого расслоения, и при этом
3
[... ([^,/iJ, /2] • • • /л+l] = О для любых к 4- 1 голоморфных функций (эти функции рассматриваются как операторы fi: Г(£) Г(£) нулевого порядка). Любое линей-
ное расслоение на СР1 — это 0(п) для некоторого п € N, и мы получаем зависящую от п £ N ассоциативную алгебру скрученных дифференциальных операторов (при п — 0 — это обычные дифференциальные операторы). На самом деле такая алгебра скрученных дифференциальных операторов существует при любом п — А 6 С (несмотря на то, что соответствующего линейного расслоения не существует при нецелом Л).
Напомним кратко конструкцию этой алгебры (см. [ВВ1], [ВВ2] для деталей). Обозначим Do( 1) пучок дифференциальных операторов (обычных) на тотальном пространстве расслоения 0(1} 11а СР1, и пусть Е — (послойное) эйлерово векторное поле в этом расслоении. Обозначим 1)ц подпучок в состоящий из операто-
ров, коммутирующих с Е, тогда {VE - №\Т> € De} — двусторонний идеал в De, и обозначим Difx — (ассоциативную) факторалгебру Ее по этому идеалу. Тогда при А £ N Dif\ совпадает с алгеброй дифференциальных операторов в расслоении 0(A). Можно дать следующее эвристическое объяснение этому факту. Difx — это дифференциальные операторы, которые должны действовать на сечениях «степени однородности А» (А 6 С), по двум голоморфным сечениям 7i и 72 расслоения 0(1) МОЖНО построить две функции 71 И 72, линейные вдоль слоев, на них Е действует с собственным значением 1. Мы должны выделить из пучка 7^ • Qq( 1) +7г ' ^0(1) все сечения степени однородности А, И Difx — ЭТО то, что действует на этих сечениях. Подалгебра De состоит из дифференциальных операторов, сохраняющих собственное разложение оператора Е, а факторизация по идеалу {VE - AT>\D € De} — это выделение компоненты, соответствующей собственному значению А.
С этой точки зрения g((A) = Lie (Difx)-
Имеется отображениер\ : l/fab) -» Difx(CPl) при всех А £ С (см. [ВВ1], (BB2J).
Чтобы его построить, иредставим 0(1) как SL^(С) х С, где С — соответствующее
в
1-мерное представление борелевской подгруппы В С 5Хг(С). Тогда SL,2(C) действует на тотальном пространстве расслоения 0(1), и алгебра Ли 512(C) отображается в векторные поля на 0(1). Это гомоморфизм алгебр Ли, и поэтому определено отображение рх : U(SI2) -* Difx- Теорема Бейлинсона - Бернштейна [ВВ1] в этом простейшем случае утверждает, что рх сюръективно, и что ядро р\ — это двусторонний идеал в U(si2), порожденный А — — —где А = е-/ + /'e + ~7jr € U(sI2) — элемент Казимира []. Па 5(г-модуле Верма со старшим весом А А действует ска-лярно умножением на ^ ^. Таким образом, 0l(A) = Lie
Само название алгебры Ли gl(A) подразумевает связь с алгеброй Ли gl^. Дадим теперь последнее ее определение, из которого ясно, в частности, в каком смысле gl(A) является алгеброй Ли матриц комплексного размера.
Рассмотрим n-мерный неприводимый 5(2-модуль V, тогда имеется сюръекция
4
С/(вГ2) -> pf(V) и главная я lj-под алгебра SI2 С С/^Ь) -» д1(К) в gl(V). Как SI2-
п—1
модуль, Ql{V) =£ gln ^ 0 тг*, где л* — неприводимый (2г + 1)-мерный «(^модуль.
»=о
Как алгебра Ли, gln порождается 7To,7Ti и 7Г2, примем при достаточно большом п соотношения фиксированной степени зависят от п аналитично (эти соотношения были описаны в [F1]). Это позволяет считать п комплексным числом Л, подставив
Л вместо п во все соотношения, и определить, таким образом, зависящую от А Е С
00
структуру алгебры Ли на 0 л*. Легко показать (см. [F1] и п. 1.1 Части II), что
i=0
это определение эквивалентно предыдущим.
0.2
Алгебра Ли gl(A) № градуирована: gl(A)* = {£ Е 0l(A)|[/i, = 2i£}, где h € SI2 С
gl(A), и имеется картановское разложение (см. [Ка]) gl(A) = п. 0 I) 0 п+| где
п_ = 0 gt(A)*, f) = gl(A)°, п+ = 0 01(A)1. Это картановское разложение согласо-i<0 *>о
вано с разложением д(п (см. 0.4). Однако одно существенное отличие от классических алгебр Ли заключается в том, что п± не раскладывается в прямую сумму одномерных h-инвариантных подпространств. Так, целиком ^-инвариантно (оно не раскладывается даже в прямую сумму двух собственных подпространств) и является пространством простых положительных корневых векторов. С этой точки зрения 01(A) является алгеброй Ли с континуальной системой корней (см. [SV1, SV2]).
Проиллюстрируем это обстоятельство простым примером. Параболической подалгеброй в дС(А), отвечающей корням c*i,... , a* Е С, называется подалгебра p«*i, порожденная п+,(), и = {P(h)f\P(h) = (Л — ai)---(h — ak)Pi{h), Р\ Е С[й]}.
(Здесь мы используем второе определение gl(A) как Lie {U(si2)/(А —-) см.
0.3.) При А Е N>0 имеется сюръскция 01(A) -► д1д+1 (см- 0*4), и при этой сюръекции все эти параболические подалгебры переходят в одну (не зависящую от Ori,... , а*) параболическую подалгебру в gln+1- Вообще, в классическом случае параболиче-ские подалгебры соответствуют подмножествам простых положительных корней.
По поводу общей теории алгебр Ли с континуальной системой корпей см. [SV1, SV2].
Предметом нашего изучения являются представления со старшим весом (см. [Ка], [ККа], [BGG]) алгебры Ли gl(A), все уровни которых (относительно N-градуировки — см. 0.5) конечномерны. Таким образом, мы изучаем представления V алгебры Ли 01(A), удовлетворяющие следующим условиям:
1) существует такой вектор v Е V, что
n+v = 0, и hv = Для ^ Е Ь
2) V = C/(gl(A)) • v
5
3) Все уровни V конечномерны.
Ясно, что такое представление существует не при всех х € Ь": при общем х соответствующий модуль Верма неприводим (и имеет бесконечномерные уровни). На самом деле, любое такое представление с /с-мерным первым уровнем является фактором представления, индуцированного с некоторым характером с pftll...,aj. (см-Часть II, п. 1.3). Пространство характеров fc-мерно, и мы получаем ^/^-параметрическое семейство представлений. При общих параметрах эти представления неприводимы, и наша первая задача — найти те параметры, при которых представления приводимы.
В этом обзоре мы ограничиваемся изучением 2-х параметрического семейства представлений с 1-мерным первым уровнем.
Мы следуем методу В.Капа и А.Радула [KR1], где изучаются представления близкой к g[(A) алгебры Ли дифференциальных операторов на окружпости.
Для любого s € С определено вложение ips : 0І(Л) *-> где gloc,.s — эт0
алгебра Ли, аналитично зависящая от s Є С и изоморфная при общем з алгебре Ли дГ^ обобщенно-якобиевых матриц (см. п. 2.1 Части II). Оказывается, что продолжается до отображения : 0І°(А) -» которое сюръективно. Здесь
алгебра Ли gl°(A) — это некоторое пополнение gl(A), и д1(А)-инвариантное подпространство любого -модуля будет и g 1°(А)-иывариантным (а, значит, и gL^.-инвариантным).
Это сводит задачу о неприводимости д1(А)-модулей к соотвеггствующей задаче о неприводимости g[^.-модулей. Последняя же задача легко сводится к задаче о gL^. (Мы свободно переходим к центральным расширениям, т.к. Я2(д[(А), С) = 0).
0.3
В главе I мы рассматриваем «модельную* ситуацию — представление Indд алгебры Ли gl^, индуцированное с наибольшей параболической подалгебры. Такое представление имеет нулевой старший вес и центральный заряд //■ Є С. Для модулей Ind^ мы находим все сингулярные вектора и описываем фильтрацию Янцена (см. [J2]) в терминах неприводимых gl«? ф gl^-модулей. (Здесь діф и gl«? — «верхняя» и
«нижняя» подалгебры в gl^, см. рис. 1 Части I.) Мы находим также детерминант формы Шаповалова (см. [Sha]) на всех уровнях как функцию от /і. В качестве очевидного следствия мы получаем формулы для характера неприводимого первого присоединенного фактора фильтрации Янцена. Так, в случае д = 1 мы получаем классическое тождество Эйлера (см. [Ап])
1 = 1 + V__________^__________•
П (і - 4і)
6
в случае ц Є N>1 мы получаем «высшие» тождества Эйлера, а в случае /і Є М<_і — формулы для характеров соответствующих неприводимых представлений. Так, при // = -1 мы получаем, что характер неприводимого д^-модуля с нулевым старшим весом и центральным зарядом —1 равен
Мы доказываем, что присоединенные факторы фильтрации Янцена представления Тпйц просты и-что членами фильтрации Янцена исчерпываются все подмодули 1пд.ц\ в частности, мы получаем явные формулы для характеров высших неприводимых присоединенных факторов фильтрации Янцена.
Рассматривая алгебру Ли д12м вместо д!^, мы получаем «конечные формы» всех тождеств и формул.
Другая формула для детерминанта формы Шаповалова представления получена Янценом [см. [ККа]).
Существуют д^ 5-модули , аналогичные д^-модулям 1пд^. Рассматривая
обратные образы д^,-модулей Тпдпри вложениях 08 : д((А) > д^^,
мы получаем 2-х параметрическое семейство представлений алгебры .Ли д[(А) с 1-мерным первым уровнем. Как уже отмечалось в 0.7, для этих представлений мы можем решить задачу о приводимости. Оказывается, однако, что так получаются представления, индуцированные со всех параболических подалгебр соответствующего размера, кроме двух (при общем А). Детерминант формы Шаповалова представления 01{1пЛ^9) — это некоторое произведение, и когда параболическая подалгебра стремится к исключительной, некоторые сомножители имеют простой нуль или полюс. Из теоремы о неприводимости (при общем А) представлений д!(А), индуцированных с двух исключительных параболических подалгебр следует, что порядок нуля равен порядку наноса. Приравнивая соответствующие числа на всех уровнях, мы получаем локальное тождество (см. 0.11).
Далее, для доказательства самой теоремы о неприводимости индуцированных с исключительных подалгебр представлений д1(А) (при общем А) мы рассматриваем вложения 93 : д((А) *-> старший вес индуцированного с исключитель-
ной параболической подалгебры представления равен старшему весу прообраза при вя некоторого ИНДуЦИрОВаННОГО представления / б^ос.Л'ОДД2)* а так как попа1не-ния 6% : д1(А) -> б^ДСМД2) сюръективны, то, аналогично п. 0.7, это сводит задач}'- к вычислению характера неприводимого фактора модуля /. Этому всему посвящена глава II.
0.4
В главе III мы рассматриваем алгебры Ли д1(А), А 6 С, как соответствующие конечным точкам римановой сферы 52. При этом в окрестности точки {оо} €
алгебра Ли 0І(А) деформируется п алгебру Ли регулярных функций на невырожденном симплектическом листе стандартного слоения в 515, с индуцированной скобкой Пуассона (алгебры Ли функций для всех невырожденных листов изоморфны). Таким образом, мы считаем, что точке {оо} Є 5'2 соответствует эта алгебра Ли, и все семейство алгебр Ли на 52 распадается в бесконечную прямую сумму линейных расслоений на в2.
При этом выбирая в каждой то'іке некоторое индуцированное представление соответствующей алгебры Ли, голоморфно зависящее от точки, мы можем добиться того, чтобы в точке {оо} было любое индуцированное представление алгебры Ли функций на гиперболоиде. Тогда детерминант формы Шаповалова некоторого уровня является голоморфным сечением некоторого линейного расслоения на 52, его класс Чженя находится без труда. С другой стороны, этот класс Чженя равен сумме нулей с кратностями по £ € £Р детерминанта формы Шаповалова но всем точкам сферы (на этом уровне). Мы доказываем теорему о неприводимости индуцированных представлений алгебры Ли функций на гиперболоиде при общих значениях параметров, и тогда сумма распространяется только на конечные точки сферы, в которых мы можем посчитать эти кратности методами глав I и II. Объединяя эти вычисления для всех уровней, мы получаем глобальное тождество (см.
0.11).
На самом деле мы доказываем неприводимость индуцированных представлений (при общих параметрах) алгебры Ли функций на конусе — вырожденном листе слоения в ЯІ2, из чего уже следует утверждение для невырожденных листов (алгебры Ли функций на всех невырожденных листах изоморфны). Алгебра Ли функций на конусе, с точностью до подалгебры 5І2, нильпотентна: функции, имеющие точку О Є С3 нулем определенной степени, образуют в ней идеал, и мы применяем теорию Кириллова [Кі], согласно которой индуцированные с наибольших подалгебр представления нильпотептных алгебр Ли неприводимы.
Локальное тождество:
(1_
да
ПО всем диаграммам Юнга V^u_^lk
8
L
da
Глобальное тождество: 1 1
(l-<7) (1 - aq2){l - a2q2) (1 - a2g3)(l - a3<?3)(l - a4g3)
a=l
d_
da
гг I-------------------
a=l
г—' (i
+ 2 E fa
fc+>l
E
L й(1 -?,)i' .=P+i(1 - \ L
a))*.
длина «центральной» диагонали Vix ik
по всем диаграммам Юнга Т>1и..,л1к
Здесь X— диаграмма Юнга, состоящая из блоков 1 х /1э2 х ^ ...,к х «центральная» диагональ — это диагональ, исходящая из сс левой верхней вершины (см. рис. 1), #£>*1 — число клеток в 2^ь,.д.
К I,
Figure 0.1:
Рис. 1: Диаграмма Юнга и ее «центр&тьная» диагональ.
х(^ь--л) — это соответствующий шолубесконечный» характер, определяемый
следующим образом: рассмотрим ачгебру Ли gljs матриц (о^), i,j = 1,... ,оо;
пусть «^,0-21* •• — ее кокорни. Тогда х(Х>(ь...,**) — это характер псприводимого
д[оо-модуля со старшим весом х> таким что x(ai) — hf- >X(afc) = =
7 ' ' 1 ... = 0. Например, если V — это один блок 1 х к или к х 1, то х(£>) = —ф----------^ ^
Вообще, xi^h <*) лсгко находится по формуле Вейля [Ка].
9
- Киев+380960830922