Оглавление
Введение. 3
1. Непрерывность ^-выборок на обобщённые рациональные функции в пространствах Ьр, 0 <
р < оо. 19
§1.1. Положительные результаты.......................20
§1.2. Отрицательные результаты.......................24
1.2.1. Случай пространств Ьр[0; 1],0 < р < 1. . 24
1.2.2. Случай пространств //ДО; 1]..............27
§1.3. Замечания......................................35
2. О липшицевых ретракциях на многообразия и на множества 71т,п» 38 §2.1. Липшицевы ретракции на многообразия. ... 39
2.1.1. Геометрические свойства липшицевой поверхности.....................................41
2.1.2. Доказательство теоремы 2.2...............42
2.1.3. Доказательство теоремы 2.1............. 49
§2.2. О липшицевых ретракциях на множества рациональных функций.................................55
2.2.1. Геометрические свойства 7^о,1............56
2.2.2. Доказательство теоремы 2.3............. 58
1
►
2.2.3. Замечания...........................60
3. Равномерная непрерывность ^-выборок на обобщённые рациональные дроби. 63
§3.1. Положительные результаты..................63
3.1.1. Обшая теорема........................63
3.1.2. Приложения теоремы................... 71
§3.2. Отрицательные результаты..................72
Список литературы. 85
А
4
2
►
Введение.
В диссертации рассматриваются вопросы, связанные с устойчивостью операторов обобщённого рационального приближения.
Напомним несколько стандартных определений геометрической теории приближений. Пусть (Л', (I) метрическое пространство, А С А”; положим р(х,А) := <£(х,а). Назовём
оператором метрического проектирования многозначное отображение, сопоставляющее каждой точке х £ X множество РА(х) = {а £ А : с1(х,а) = р(х,А)}. Может случиться, что для некоторых точек х 6 X выполнено Рл(х) = 0. Любую точку а £ РА(х) мы называем элементом наилучшего приближения для х. Множество А называется чебышёвским в А”, если #РА(х) = 1 для любой точки X £ X.
Теория приближений началась с работы П.Л. Чебышева 1859 года [1], в которой была показана единственность элемента наилучшего приближения множеством Рт алгебраических полиномов степени не выше т и множеством алгебраических рациональных дробей, т.е. множеством функций
Кт,п - {*) = £ С[0; 1] : у 6 Тт, т € Р„|
в пространстве С[0; 1]. Заметим, что вопросам существования в 19 веке не уделяли должного внимания. В [1] был опи-
3
сан оператор метрического проектирования на 1Іт,п (теорема об альтернансе). Существование наилучшей дроби было доказано в работах Уолша [2] и Н.И. Ахиезера [3]. Кирхбер-гер [4] показал, что в пространстве С[0; 1] (однозначный) оператор метрического проектирования на множество Vm непрерывен и локально Липшицев; С.Н. Бернштейн [5] установил, что этот оператор не является равномерно непрерывным на единичном шаре С'[0; 1] при т> 1. В 50-60 годы Кли, Н.В. Ефимов, С.Б. Стечкин заложили основы геометрической теории приближений. Благодаря работам Л.П. Власова. Вулберта, А.Л. Гаркави, Зингера, Коллатца, Линденштраус-са, Е.В. Ошмана, Райса, Ривлина, Рудина, Фелпса, С.Я. Ха-винсона, т1шш, Шапиро и других она получила дальнейшее развитие. Одним из первых её приложений к задачам классической теории аппроксимаций стала теорема Н.В. Ефимова и С.Б. Стечкина [6] о том. что 1Zm^n > 1 не является че-бышевским множеством в Lp[0; 1], 1 < р < ос. Джексон [7], М.Г. Крейн [8], С.Я. Хавинсон [9], А.Л. Гаркави [10] и другие исследовали единственность элементов наилучшего приближения в метрике L\. Вопросами единственности в пространствах Lv,0 < р < 1, занимался Д. Камунтавичюс [11]; эта тематика получила дальнейшее развитие у Н.К. Рахметова [12].
Основным объектом исследования в диссертации являются обобщённые рациональные дроби. Пусть X - некоторое функциональное пространство, V, W - его подпространства. Назовем обобщенными рациональными, функциями (дробями) элементы следующего множества
R{V. W) = {г = ^ : v Є V, w Є W, г Є А'} .
4
Заметим, что если V = Рт9 W = то R(V, W) = Ит,п. Если W =< 1 > - подпространство констант, то R(VAV) = V - подпространство в X. Таким образом, множества 7v,„,„ и подпространства входят в класс обобщённых дробей. Мы рассматриваем подобные множества в различных функциональных пространствах и данное определение придётся подправлять.
Важнейшими для теории приближений являются следующие вопросы: существование, единственность элемента наилучшего приближения и устойчивость оператора метрического проектирования.
А.Н. Колмогоров в работе [13] получил критерий элемента наилучшего приближения для подпространств в С (К). Г.Ш. Рубинштейн [14] установил критерий наилучшей обобщённой дроби, а Чини и Леб [15] указали достаточное условие для её единственности. Ньюмен и Шапиро [16] и Бём [17] дали достаточные условия того, что для любой / £ С (К) существует обобщённая дробь наилучшего приближения. В работах Брозовского [18] и Шашкина [19] были получены результаты о чебышовском ранге обобщённых дробей и аналог теоремы Мэрхьюбера.
Браесс, Н.С. Вячеславов, А.К. Рамазанов, М.А. Назаренко и другие исследоваш вопрос о возможной мощности метрической проекции на множества алгебраических дробей (см. например [20], [21], [22]) в пространствах Lp, 1 < р < ос.
Устойчивость оператора метрического проектирования (в различных ситуациях) изучали также Ньюмен и Шапиро [23], Вулберт [24], Л.П. Власов [25], П.В. Галкин [26], A.B. Колушов [27], Бьернестат [28], B.C. Баяаганский [29] и другие. Мэли и Впцгапь [30] доказали, что для непрерывности
ни
оператора метрического проектирования Рптп • С'[0;1] —> 'К'Ш'ГцП > 1 в точке / € С[0; 1] достаточно, чтобы степень числителя или знаменателя наилучшей несократимой дроби была максимальна, а Верне]) [31] показал, что это условие является и необходимым (если / € С[0:1] \ Ана-
лог этого утверждения для обобщённых дробей получил Чини [32]. A.B. Колушов [33] исследовал дифференцируемость по направлению оператора метрического проектирования на Ищп в С[0; 1].
Из результатов Бернштейна [5], Мэли и Вицгаля [30] и Вернера [31] следует, что оператор наилучшего приближения, вообще говоря, не является устойчивым. В связи с этим естественно исследовать устойчивость операторов почти наилучшего приближения (е-выборок).
Определение. Пусть (A\ d) - метрическое пространство, А - его подмножество, е > 0. Отображение Ф : А —> А называется мультипликативной (аддитивной) е-выборкой из X на .4, если для всех х £ X выполнено д(Ф(х)ух) < (1 + е)р(х. А) (соответственно д(Ф(х),х) < р(х,А) 4-£).
Из определения мультипликативной ^-выборки следует, что ограничение Ф на .4 — тождественное отображение. Выборка называется непрерывной (равномерно непрерывной, Липшицев ой), если Ф — непрерывно (равномерно непрерывно, липшицево). Отметим, что при е = 0 получается определение выборки из метрической проекции. Ниже мы поясним, какова связь между аддитивными и мультипликативными выборками. Понятие “почти наилучшее приближение" впервые встречается в работе Вулбсрта [24].
Пусть X - линейное нормированное пространство, У* С X конечномерное выпуклое замкнутое множество. Для е > 0
6
- Київ+380960830922