Содержание
Введение 3
1 Модель Хаббарда и модель спиновой решетки в пределе бесконечно сильного взаимодейсвия. Собственные функции и формфакторы моделей. 12
1.1 Одномерная модель Хаббарда и модель спиновой решетки 17
1.2 Преобразование Жордана-Вигнера................ 19
1.3 Предел бесконечно сильного взаимодействия..... 22
1.4 Собственные функции и спектры модели Хаббарда и мо-
дели спиновой решетки в пределе бесконечно сильного взаимодействия............................... 24
1.5 Формфакторы локальных операторов.............. 30
2 Корреляционные функции в термодинамическом пределе. Матричная задача Римана-Гильберта 34
2.1 Статсумма в термодинамическом пределе......... 35
2.2 Корреляционные функции в термодинамическом пределе
при конечной температуре...................... 37
2.3 Частные случаи................................ 40
2.3.1 Однокомпонентный предел ....................... 41
2.3.2 Корреляционная функция полного числа частиц 44
2.
2.3.3 Одновременные корреляционные функции .... 44
2.3.4 Корреляционные функции при нулевой температуре 46
2.4 Матричная задача Римаиа-Гильберта............... 50
3 Сложность Арнольда и топологическая энтропия семейства бирациональных отображений 58
3.1 От решеточных моделей статистической физики к дискретным динамическим системам 59
3.2 Определения и обозначения....................... 69
3.3 Сложность Арнольда и сложность роста............ 74
3.4 Динамическая дзета-функция и топологическая энтропия 79
3.5 Выводы.......................................... 83
4 От топологической энтропии к метрической 85
4.1 Определения и обозначения....................... 86
4.2 Вещественная топологическая энтропия............ 90
4.3 Вещественная сложность Арнольда ...................... 94
4.4 Метрическая энтропия............................ 98
4.5 Выводы......................................... 106
Заключение 108
Приложение 1. Средние значения билокальных операторов 121
Приложение 2. Сложность факторизационных схем бирациональных отображений, действующих в пространстве матриц 3 х 3 128
Введение
Системы, которые объединяются 15 настоящее время под названием интегрируемые, особенно активно стали изучаться в последние пятнадцать лет. Концепция интегрируемости встречается как в физике твердого тела и квантовой механике, так и в статистической физике на решетке и в теории поля. В случае классических моделей понятие интегрируемости связано с решением уравнений Ян га-Бакстера. Для квантовых систем речь может идти о нахождении собственных функций рассматриваемого гамильтониана в виде так называемого анзатца Бете.
Интересные и нетривиальные результаты, накопленные вокруг проблематики интегрируемых систем, указывают на то, что в различных разделах математической физики механизмы, определяющие интегрируемость, одни и те же. Между понятиями интегрируемости в различных контекстах существуют тесные взаимоотношения. Например, можно показать, что семейство трансферматриц модели статистической физики коммутирует с квантовым гамильтонианом соответствующей модели квантовой механики.
История интегрируемых моделей в физике твердого тела начинается с работ Г.Бете, опубликованных в тридцатых годах. Он предложил искать волновые функции квантовой спиновой цепочки в частном виде
[1], который теперь известен под названием анзатца Бете. Этот видсоб-
4.
ственных функций позволил решить такие модели спиновых цепочек Гейзенберга, как ХУ и XXZ магнетики во внешнем магнитном иоле или анизотропный ХУгZ магнетик. Следует отметить, что в случае анизотропного ХУ 2 магнетика наложение внешнего магнитного поля разрушает интегрируемость модели. Заметим также, что анзатц Бете позволяет найти собственные функции гамильтонианов рассматриваемых интегрируемых моделей лишь в некотрых случаях. За прошедшее время эволюция интегрируемых моделей происходила не только в физике твердого тела, но и в статистической физике и в теории поля. Существуют методы, позволяющие связать интегрируемые модели физики твердого тела, описываемые гамильтонианами, и интегрируемые модели статистической физики (вершинные модели), описываемые трансферматр и I ;ам и.
В настоящей работе изучение моделей физики твердого тела и статистической физики на решетке проводится по двум различным направлениям. Мы стремимся дать более детальное описание поведения рассматриваемых моделей квантовой механики и выйти из контекста интегрируемости Янга-Бакстера моделей статистической физики па решетке.
Наиболее детальная информация о поведении физической системы может быть получена из корреляционных функций. Несмотря на то, что для интегрируемых моделей известен вид собственных функций рассматриваемых гамильтонианов, аналитическое вычисление корреляционных функций возможно лишь для некоторых из них. К этому немногочисленному кругу моделей принадлежат модели физики твердого тела, рассматриваемые в настоящей работе. Одна из моделей известна уже несколько десятилетий и представляет как теоретический, так и экспериментальный интерес. Речь идет о модели Хаббарда
[2], которая описывает систему сильно связанных электронов на цепочке. Интегрируемость этой двухкомпонентной модели была показана в [3] с: помощью обобщенного (двухкомпонентного) анзатца Бете [4]. За время ее существования было изучено много частных случаев и обобщений модели Хаббарда, например, модель рассматривалась на плоскости или в пространстве, или вводились различные взаимодействия между спинами. Одной из наиболее известных модификацией модели Хаббарда является модель ( - <7, но она интегрируема лишь в суперсимметричной точке .1 = 2t [5, 6] и в точке бесконечно сильного взаимодействия .7 = 0 [7, 8].
Безусловно список интегрируемых моделей в физике твердого тела не исчерпывается моделью Хаббарда и частными случаями модели I - г1. В работах [9]-[15] рассматриваются интегрируемые модели, описывающие сильно связанные фермионы.
Анзатц Бете позволяет найти спектр и собственные функции гамильтониана интегрируемой модели, однако вычисление корреляционных функций, позволяющих получить более детальную информацию о рассматриваемой физической системе, вызывает много сложностей. В контексте интегрируемых моделей были предложены различные приближения, позволяющие оценить асимптотическое поведение корреляционных фукций.
Один из методов [16, 17] позволяет вычислить критическую экспоненту, описывающую асимптотическое поведение корреляционных функций, опираясь на собственные функции, найденные с помощью анзатца Бете. Этот метод применим к большому классу одномерных моделей, например, к модели Хаббарда [18]-[20] или к модели Ь — J в суперсимметричной точке [21].
Начало другому приближению для изучения квантовых спиновых
с.
цепочек при конечной температуре было положено в [22, 23]. Основная идея этого метода состоит в использовании преобразования Троттера-Сузуки [22] для того, чтобы ^-мерную квантовую систему отождествить с (г/4-1)-мерной классической системой. После чего анализ стат-суммы и корреляционных функций проводится с помощью квантовой трансферматрицы [24]. Однако этот метод имеет преимущество перед стандартными процедурами лишь в том случае, если преобразование Троттера-Сузуки может быть сделано так, что задача на собственные значения квантовой трансферматрицы явно решаема. Для вычисления стагсуммы необходимо знать лишь наибольшее собственное значение трансферматрицы. Следующие но величине собственные значения позволяют найти длину корреляций. Этот метод был применен к спиновой цепочке Гейзенберга [25]-[29], а также к модели Хаббарда [30].
В настоящей работе мы рассматриваем классическую одномерную модель Хаббарда в пределе бесконечно сильного взаимодействия между спинами. В этом случае двухкомпоиентный аизатц Бете имеет специальный вид, что позволяет представить собственные функции гамильтониана модели в явном виде, благодаря чему корреляционные функции могут быть вычислены аналитически.
Другая интегрируемая модель физики твердого тела, для которой вычисление корреляционных функций может быть осуществлено аналитически, представляет собой частный случай спиновой решетки. Спиновыми решетками называются одномерные системы, состоящие из некоторого числа квантовых спиновых цепочек, имеющих одинаковое число узлов каждая и связанных между собой взаимодействиями спинов ближайших соседей. Интересующая нас спиновая решетка образована двумя ХХО цепочками, связанными ^-компонентами спинов. Мы будем рассматривать эту модель в пределе бесконечно сильного взаи-
7.
модействия между цепочками. Собственные функции соответствующего гамильтониана могут быть найдены с помощью двухкомпонентного анзатца Беге, и в этом частном случае спиновой решетки они могут быть представлены в явном виде, позволяющем найти корреляционные функции аналитически.
Для обеих этих моделей корреляцонные функции в термодинамическом пределе могут быть представлены в виде интегралов по параметру от определителей Фредгольма интегральных операторов, имеющих специальный вид. Структура этих интегральных операторов позволяет вывести для корреляционных функций интегрируемые дифференциальные уравнения, что открывает возможность для вычисления асимптоти к корреля ционных фу н к ци й.
Подобное точное представление для корреляционных функций двухкомпонентных дискретных моделей получено впервые.
В свою очередь, изучение дискретных симметрий интегрируемых моделей статистической физики на решетке позволяет выйти из контекста интегрируемости Янга-Бакстера и перейти от моделей статистической физики к дискретным динамическим, системам. Первые работы в этом направлении были опубликованы в начале девяностых годов [31, 32]. В них была построена бесконечная группа дискретных симметрий уравнений Янга-Бакстера для ряда спиновых и вершинных моделей.
Конечно, кроме хорошо известных п подробно изученных шестивершинной и симметричной восьмивершинной моделей [33], в статистической физике существуют и другие интегрируемые модели, например, вершинные модели с q состояниями [34, 35]. Можно было бы поставить перед собой задачу поиска других моделей, 77-матрица которых удовлетворяет уравнениям Я ига-Бакстера. Однако, изучение дискрет-
8.
ных симметрий моделей, не обязательно интегрируемых, не менее познавательно, так как оно позволяет получить дополнительную информацию о свойствах рассматриваемых моделей. Для интегрируемых моделей удается эффективно найти канонические параметризации и, тем самым, более просто решить уравнения интегрируемости. Анализ неинтегрируемых моделей приводит к нетривиальным и интересным результатам. Оказывается, существуют модели, которые, сами не являясь интегрируемыми, имеют интегрируемые дискретные симметрии. Такова ситуация, например, для киральной модели Поттса с шестью состояниями (так называемая модель ВМУ) [36, 37] или для шестнадцати верш и н ной модели [38], введенной Бакстером [33].
Следует отметить, что эти дискретные симметрии могут быть представлены естественным образом в виде бирациональных отображений в фазовом пространстве параметров рассматриваемой модели. В общем случае они образуют дискретную группу бесконечного порядка.
В работах [39]-(4‘2] рассмотрение бирациональных отображений стало проводиться не в контексте статистической физики, а. рамках изучения дискретных динамических систем, задаваемых этими отображениями. В настоящей работе.мы продолжаем и развиваем именно этот подход. Новизна настоящей работы заключается в том, что в ней анализируются топологические свойства двумерных бирациональных отображений двухпараметрического семейства в зависимости от значений параметров. Оказывается, отображения этого семейства являют собой пример отображений, задающих метрически регулярные (квази-периодические) и одновременно топологически хаотические динамические системы. Это семейство интересно также и тем, что даже малое возмущение, оставляющее отображения бирациональными и величину топологической энтропии неизменной, приводит к появлению странных
9.
аттракторов.
На защиту выносятся следующие положения:
• Впервые полученные для двухкомпонентных дискретных моделей точные представления динамических температурных двухточечных корреляционных функций операторов рождения и уничтожения и операторов числа частиц в термодинамическом пределе.
• Дифференциальные уравнения для полученных корреляционных функций.
• Равенство между экспонентой топологической энтропии и основанием, характеризующим экспоненциальный рост сложности Арнольда и также характеризующим экспоненциальный рост степеней полиномов последовательных итераций.
• Верность этого равентства и в случае адаптации рассматриваемых величин к вещественному анализу.
• Бирациональные отображения изучаемого семейства являются метрически регулярными, но топологически хаотическими.
10.
Организация диссертации. Диссертация включает в себя введение, четыре главы, заключение, список литературы и два приложения.
В первой главе мы вводим две интегрируемые модели, а именно, модель Хаббарда и модель спиновой решетки, которые являются предметом нашего изучения, приводим преобразование Жордана-Вигнера, которое их связывает, и обсуждаем предел бесконечно сильного взаимодействия. Далее мы представляем собственные функции и спектры этих моделей, а затем переходим к выражениям для формфакторов локальных операторов.
Во второй главе мы приводим точные представления для етатсуммы и корреляционных функций, полученные в термодинамическом пределе. Мы также даем несколько частных случаев значений параметров моделей, позволяющих судить о корректности полученных выражений. Эта глава заканчивается рассмотрением матричной задачи Римана-Гильберта, позволяющей получить дифференциальные уравнения для корреляционных функций, определяющие их асимптотическое поведение при больших временах и расстояниях.
В третьей главе мы вводим двухпараметрическое семейство двумерных бирациональных отображений, задающих дискретные динамические системы. Краткий обзор позволяет понять, каким образом осуществляется переход от решеточных моделей статистической физики к дискретным динамическим системам. Мы изучаем топологические свойства отображений рассматриваемого семейства, описываемые такими величинами, как сложность Арнольда, сложность роста и топологическая энтропия. Последняя вводится через динамическую дзета-функцию.
В четвертой главе мы адаптируем рассматриваемые в предыдущей главе величины к вещественному анализу. Мы сравниваем их не толь-
- Киев+380960830922