СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ
§1. Общая характеристика работы.................. 3
§2. Основные понятия, определения и результаты,
используемые в работе......................... 10
ГЛАВА I. ЗАДАЧА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С ВЕЩЕСТВЕННЫМ СПЕКТРОМ
§1. Операторная трактовка задачи................. 14
§2. Случай положительного параметра т............ 18
§3. Случай отрицательного параметра т
и положительного С)........................... 28
§4. Задача Коши для динамического уравнения
и ее устойчивость............................. 42
ГЛАВА II. ЗАДАЧА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ПАРАМЕТРОМ гп И ПРОИЗВОЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ §1. Поведение собственных значений
в зависимости от параметра т.................. 47
§2. Задача Коши для динамического уравнения
и ее устойчивость............................. 66
РИСУНКИ............................................... 70
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..................................... 74
ВВЕДЕНИЕ
з
§1. Общая характеристика работы
Многие задачи математической физики приводят к вопросам определения собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов и изучения сходимости разложений в ряды но собственным функциям. К таким вопросам приходят всегда применяя метод Фурье для нахождения решения дифференциального уравнения в частных производных, удовлетворяющего начальным данным и краевым условиям.
Классические результаты о свойствах собственных функций были получены В.А.Стендовым [1] и Дж.Биркгофом [2,3]. Дальнейшим развитием этих работ стали работы Я.Д.Тамаркина [4], М.Стоуна [5] и многих других математиков. Позже, в 60-х годах независимо в трех работах Н.Данфорда и Дж.Шварца [6],
Г. М. Кессельмана [7] и В. П. Михайлова [8] была получена теорема о базисности Рисса собственных функций усиленно регулярных дифференциальных операторов. Различные вопросы спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов в последние годы изучали Ш.А.Алимов, В.А.Ильин, Е. И. Моисеев, М.Б.Оразов, Ю.В.Покорный, В.А.Садовничий, А. П. Хромов, А.А.Шкаликов. Мы не приводим здесь библиографию, которая заняла бы много места. Стоит отметить работу A.A. Шпаликова [9], где был предложен более общий подход операторной трактовки задач со спектральным параметром в краевых условиях в Соболевских пространствах.
В диссертации исследуются спектральные задачи Штурма-Лиувилля, содержащие спектральный параметр в граничных уело-
4
виях. Такие задачи часто встречаются в физике и технике, поэтому они привлекали внимание исследователей и ранее. Еще Пуассон [10] в своем мемуаре решает задачу о прямолинейном движении тяжелого тела, подвешенного к концу растяжимой нити. А. Н. Крылов [11] и С. П. Тимошенко [12] рассматривают задачу о продольных колебаниях стержня как одну из наиболее интересных точно решаемых моделей. Этот случай соответствует рассматриваемой ниже задаче при ^(т) = 0. В работах [11,12] было проведено исследование поведения собственных значений (СЗ) соответствующей задачи при малых и болщых нагрузках Вот математическая постановка задачи, которую изучали вышеперечисленные авторы [11,12].
д2 г д2
-^и(х^) = а2-^и{х,г) + Г(х,*),
с краевыми условиями
и*(°>0 = °
и'х(1,1) + ти"((1Л) = 0 . и начальными условиями
гх(0,х) = ц>(х) и[( 0, х) = ф(х).
Поясним, откуда появилось такое специфическое условие на нижнем конце х = I. Ось х направлена по оси струны вертикально вниз, точка закрепления струны принята за начало координат. На конце, соответствующем абсциссе х = I, висит груз р, с которым этот конец связан неизменно. Натяжение струны выражается формулой ких (^-модуль Юнга). Масса груза есть р!я (ё " ускорение силы тяжести), следовательно, при отнесении
5
всех действующих на груз внешних сил. в том числе и силы тяжести, к функции Р(ж,£), уравнение движения груза, а, значит,
Р
и второе граничное условие имеет вид -ии = —ких при х = / и
9
всех £. Поставленная задача решается методом Фурье, который в частности предполагает вычисление СЗ краевой задачи
Х" + АХ = 0, (1)
( Х(0) = 0,
, (2)
Х'(1) - М\Х{1) = 0.
р
где М = —. В более общей постановке спектральные задачи 9
такого типа рассмотрена в книге но уравнениям математической физики А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [13]. А именно, в [13] рассмотрена задача о колебаниях закрепленной струны, в нескольких точках которой х = = 1,..., Лт) помещены со-
средоточенные массы Мг (уравнение (1) при этом остается неизменным). В случае, когда масса сосредоточена только на одном из концов (т.е. для задачи (1), (2)) в [13] выписаны ассимпто-тические формулы СЗ АП(М) при М ->• 0 и М -> эо .которые имеют вид соответственно:
= п = 0,1,2,...
= + П = 0,1,2,... ,
где Аг^ и Ап2^ являются соответственно собственными частотами струны со свободным и закрепленными концами.
Особый интерес представляет работа [14]. В ней для задачи
М А2
(х + — )У"(х) + У(х) + —У (ж) = 0, ж € [0, /]
Р 9
у(0 = 0, 5У'(0) + Л2У (0) = о
6
где М-масса, р-плотность, а /-длина нити, Л - частота собственных колебаний, проведен численный рассчет пяти первых СЗ.
Спектральные задачи Штурма-Лиувилля, содержащие спек-4 тральный параметр в граничных условиях нельзя интерпретиро-
вать как задачи на собственные значения в гильбертовом пространстве Ь2. Это было замечено еще в работе J. Walter [15], в которой, в одной из простейших ситуаций предложена операторная трактовка задачи в пространстве Ь2 х С. В дальнейшем этот подход развивали В. Hinton [16], Т. Fulton [17], E. М. Рус-саковский [18], A. Schneider [19],A. Dijksma [20] и другие. Во всех работах [15]—[17] и [19] - [20] изучались вопросы о распределении СЗ и СФ только в случае самосопряженности линеаризующегося оператора в соответствующих гильбертовых пространствах. Стоит отметить работу [18], где одна задача была сведена к задаче на СЗ самосопряженного оператора в пространстве Понтрягина, при этом была получена оценка сверху числа невещественных СЗ. В последние годы появились две работы: f Н. Б. Керимова и Т. И. Аллахвердиева [21], P. A. Binding and
P. J. Browne [22],в которых авторы независимо получили осцил-ляциопные теоремы и более точные асимптотики распределения СЗ при условии самосопряженности линеаризующего оператора в гильбертовом прострастве.
Отметим также, что некоторые задачи теории осреденения в пределе приводят к задачам типа Штурма-Лиувилля со спектральным параметром в граничном условии. Такие эффекты были обнаружены в недавних работах О. А. Олейник, Ю. Д. Го-v ловатого, С. А. Назарова и Т. С. Соболевой (например, см. [23]).
В настоящей работе мы используем результаты указанных авторов. Однако, в отличие от предыдущих работ (кроме [11]-[13]) мы изучаем спектральные свойства задачи в зависимости от
- Киев+380960830922