Влияние кинетических процессов на электромагнитные свойства мелких частиц сложной структуры и тонких металлических проволок

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение...............................................................5
Глава 1 Анализ современного состояния проблемы........................10
Глава 2 Магнитное дипольное поглощение неоднородной сферической
частицы...............................................................19
2.1 Постановка задачи.................................................19
2.2 Случай диффузного рассеяния электронов на поверхностях сферической частицы из металла с диэлектрическим ядром.......................22
2.3 Случай зеркально-диффузного рассеяния электронов на поверхностях сферической частицы из металла с диэлектрическим ядром...........37
2.4 Магнитное дипольное поглощение биметаллической сферической частицы ............................................................55
Глава 3 Магнитное дипольное поглощение неоднородной цилиндрической частицы..........................................................70
3.1 Постановка задачи.................................................70
3.2 Случай диффузного рассеяния электронов на поверхностях цилиндрической частицы из металла с диэлектрическим ядром................73
3.3 Случай зеркально-диффузного рассеяния электронов на поверхностях цилиндрической частицы из металла с диэлектрическим ядром........91
3.4 Магнитное дипольное поглощение биметаллической цилиндрической частицы.........................................................109
3.5 Магнитное дипольное поглощение неоднородной цилиндрической частицы конечной длины.............................................124
Глава 4 Электрическое дипольное поглощение неоднородной цилиндрической частицы..................................................146
4.1 Постановка задач и................................................146
4.2 Случай диффузного рассеяния электронов на поверхностях цилиндрической частицы из металла с диэлектрическим ядром...............150
4.3 Случай зеркально-диффузного рассеяния электронов на поверхностях цилиндрической частицы из металла с диэлектрическим ядром 166
4.4 Электрическое дипольное поглощение биметаллической цилиндрической частицы....................................................179
Глава 5 Электрическая проводимость тонких металлических проволок..................................................................194
5.1 Постановка задачи.........................................194
5.2 Случай диффузного рассеяния электронов на внутренней поверхности
тонкой цилиндрической проволоки...........................196
5.3 Случай зеркально-диффузного рассеяния электронов.на внутренней поверхности тонкой цилиндрической проволоки 207
5.4 Случай диффузного рассеяния электронов на внутренней поверхности тонкой проволоки прямоугольного сечения........................221
Глава 6 Электрическая проводимость тонкой цилиндрической проволоки из металла в продольном магнитном иоле..........................233
6.1 Постановка задачи.................................................233
6.2 Случай диффузного рассеяния электронов на внутренней поверхности тонкой цилиндрической проволоки....................................235
6.3 Случай зеркально-диффузного рассеяния электронов на внутренней поверхности тонкой цилиндрической проволоки.........................250
Заключение.........................................................258
Список литературы..................................................261
5
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность работы
На данном этапе развития физики наиболее востребованными являются результаты, полученные при описании манометровых объектов, т. к. эго имеет определяющее значение для практического внедрения нанотехнологий. В связи с чем, в научной литературе опубликовано большое количество теоретических и экспериментальных работ по указанной тематике. В частности работ, посвящённых исследованию электромагнитных свойств мелких частиц и тонких проволок. Причём в основе только малой части из этих работ лежит физическая кинетика.
Однако для корректного описания процесса диссипации энергии электромагнитного поля в мелкой частице или аналитического расчёта электрической проводимости тонкой проволоки использование кинетического подхода необходимо, поскольку указанные процессы напрямую связаны с кинетикой электронов (с их объёмным и поверхностным рассеянием внутри частицы или проволоки). Поэтому выбранная тема исследования является актуальной.
Цель работы
Настоящая работа посвящена изучению влияния кинетических процессов на электромагнитные свойства мелких частиц сложной внутренней структуры и тонких метшишческих проволок (вытянутых наночастиц круглого или прямоугольного сечения). В диссертации подведены итоги исследований автора, направленных на:
Описание взаимодействия электромагнитного излучения с мелкой неоднородной сферической частицей, е использованием кинетической теории электронов в метаплах.
6
Изучение электромагнитных свойств неоднородной цилиндрической частицы с использованием кинетической теории электронов в металлах.
Аналитический расчёт электрической проводимости для тонких проволок из металла различной формы сечения с использованием кинетического метода.
Исследование с помощью кинетического подхода влияния на электрическую проводимость тонкой цилиндрической проволоки из металла наличия продольного магнитного поля.
Научная новизна работы
В работе впервые получено аналитическое решение задачи о взаимодействии магнитной компоненты электромагнитного излучения с мелкой сферической частицей сложной структуры.
Впервые получено аналитическое решение задачи о взаимодействии магнитной компоненты электромагнитного излучения с неоднородной цилиндрической частицей, что позволяет провести сравнение сечений магнитного дипольного поглощения для частиц различной геометрической формы.
Впервые построена теория взаимодействия электрической компоненты электромагнитного излучения с мелкой цилиндрической частицей сложной структуры.
Впервые получено аналитическое решение задачи по расчёт}' электрической проводимости вытянутых тонких проволок из металла различных видов сечения: прямоугольного и круглого, к концам которых приложено переменное электрическое напряжение. Результаты теоретического расчёта сравниваются с экспериментальными данными.
Впервые для проволоки круглого сечения, к концам которой приложено переменное электрическое напряжение, построена теория электрической проводимости, учитывающая характер рассеяния электронов на внутренней
7
поверхности проволоки, что позволяет качественно объяснить влияние характера рассеяния электронов на электрическую проводимость проволок других видов сечения, а также определять коэффициент зеркальности металлов (с помощью этой теории в работе определены зеркальности меди и серебра).
Впервые рассчитана электрическая проводимость тонкой цилиндрической проволоки, помещённой в продольное магнитное поле, и проведено сравнение теоретического расчёта с результатами эксперимента.
Впервые на основе полученного аналитического решения найдено теоретическое объяснение для экспериментальных данных по магнитосо-противлению гонкой цилиндрической проволоки.
Впервые на основе полученного аналитического решения задачи о магнитосопротивлении тонкой проволоки цилиндрической формы определён коэффициент зеркальности поверхности металла (натрия).
Из выше сказанного можно сделать вывод о том, что рассмотренная в работе теория необходима для инициирования проведения новых экспериментов в области физики нанометровых объектов.
Практическая значимость
работы заключается в том, что, кроме чисто научного интереса, изучение влияния кинетических процессов на электромагнитные свойства мелких частиц сложной внутренней структуры и топких металлических проволок важно и для технологических приложений.
В частности, при нанесении на поверхность твердых тел лакокрасочных материалов, содержащих мелкие частицы сложной структуры, может резко измениться поглощение таких поверхностей и отражение от них. Для управления упомянутыми процессами нужно знать свойства мелких частиц.
В связи с интенсивным развитием вычислительной техники и вредом излучения, возникающего в помещениях, где установлены компьютеры, МО-
8
жет иметь место применение покрытий, с входящими в их состав мелкими частицами.
Изучение электромагнитных свойств мелких частиц сложной структуры важно для физики атмосферы.
В космосе мелкие частицы представляют серьёзную угрозу для летательных аппаратов. Такие частицы можно разрушать лазерными пучками, зная основные закономерности поглощения этих частиц.
Кинетический расчет электрической проводимости тонких проволок из металла позволяет уточнить границы применимости известной из классической электродинамики формулы Друде, а также закона Видемана-Франца.
Учёт влияния на электрическую проводимость тонких проволок формы их поперечного сечения необходим при создании микроканалов в диэлектрических матрицах композиционных материалов.
Аналитический расчёт электрической проводимости тонких проволок, помещённых в продольное магнитное поле, позволяет определять такую важную кинетическую характеристику металлов как коэффициент зеркальности электронов.
Теоретические результаты, полученные в данной работе, могут быть применены и при расчёте рабочих параметров реальных технических устройств.
Например, при использовании наночастиц с ядрами (“с усилением”) появляется возможность создания новых типов оптических переключателей.
Заметим, что задачи о проводимости гонких металлических проволок становятся особенно актуальными в связи с бурным развитием микроэлектроники, где такие проволоки широко применяются.
На защиту выносится следующие результаты:
11остроение теории взаимодействия магнитной компоненты электромагнитного излучения с неоднородной сферической частицей.
9
Построение теории взаимодействия магнитной компоненты электромагнитного излучения с неоднородной цилиндрической частицей. Построение теории взаимодействия электрической компоненты электромагнитного излучения с неоднородной цилиндрической частицей.
Построение теории электрической проводимости тонких металлических проволок.
Построение теории электрической проводимости тонкой цилиндрической проволоки из металла в продольном магнитном поле.
Апробация работы
По теме диссертации опубликованы следующие работы: [99-129].
Материалы диссертации докладывались на 21 международной конференции стран СНГ “Дисперсные системы” (Одесса, 2004 г.), на 6 международном конгрессе по математическому моделированию (Нижний Новгород, 2004 г.), на 3 всероссийской конференции “Необратимые процессы в природе и технике (Москва, 2004 г.), на 3 международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, Крым, 2005 г.) и международной конференции “Аэрозоли и безопасность - 2005 ” (Обнинск, 2005 г.). Основные результаты диссертации обсуждались на научных конференциях и семинарах кафедры теоретической физики Московского государственного областного университета и кафедры физики Московского государственного университета леса.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Объём диссертации 276 страниц машинописного текста; диссертация содержит 70 рисунков.
10
ГЛАВА 1.
АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРОБЛЕМЫ
Известно, что электромагнитные свойства мелких металлических частиц (тонкие металлические проволоки можно считать вытянутыми частицами) существенно отличаются от свойств массивных образцов металла [I]. Если линейный размер К образца металла будет порядка Л - длины свободного пробега электронов или меньше её: К < Л, то взаимодействие электронов с границей металлического образца начинает оказывать заметное влияние на их отклик на внешнее электромагнитное ноле. Следствием этого и являются особые электромагнитные свойства образца (металлической частицы или проволоки). Поэтому, когда выполняется условие Я< Л, основные электромагнитные характеристики частиц - плотность тока, локальная и интегральная проводимости, сечение поглощения - обнаруживают нетривиальную зависимость от отношения Я /Л.
При комнатной температуре в металлах с хорошей проводимостью (алюминий, медь, серебро и др.) длина свободного пробега электронов Л лежит в следующих характерных пределах: 10-г-100 нм. Размеры же экспериментально исследуемых частиц достигают нескольких нм, т.е. ситуация Я< Л реализуется.
Электромагнитные свойства мелких металлических частиц изучаются сравнительно давно. Основные результаты этих исследований довольно полно отражены в имеющихся монографиях [2-5] и монографических обзорах [1,6, 7].
В последнее время интерес к проблеме взаимодействия электромагнитного излучения с мелкими металлическими частицами значительно возрос и в связи с рядом технологических приложений. В частности, при созда-
11
нии композитных материалов из несущей нейтральной (не поглощающей) среды и вкрапленных в неё металлических частиц [8].
Для определения электромагнитных свойств таких сред был проведён ряд экспериментов [9-12], которые привели к неожиданным результатам. Оказалось, что поглощение дальнего инфракрасного (ИК) излучения в таких средах существенно выше (па несколько порядков), чем следует из классической теории [13-15].
Общепринятого объяснения имеющихся экспериментальных данных до сих пор не существует [13, 16], хотя для описания данной аномалии был рассмотрен целый ряд моделей.
Среди исследователей работающих над данной проблемой наиболее популярной является теория, связывающая данное явление с коллективными эффектами в дисперсной системе [17, 18]. Но эта теория не в состоянии объяснить весь спектр имеющихся экспериментальных данных [13, 19, 20].
Возникшая ситуация делает необходимым тщательное теоретическое изучение электромагнитных свойств мелких металлических частиц. Из сказанного выше следует, что для этого нужно уметь описывать отклик электронов проводимости на внешнее электромагнитное поле в образце размером К при произвольном соотношении между К и Л (т.е. с учётом взаимодействия электронов с границей образца) [21-23].
В качестве аппарата способного описывать отклик электронов на внешнее электромагнитное поле, с учётом взаимодействия электронов с границей образца, может быть использована стандартная кинетическая теория электронов проводимости в металле [21]. В этом случае ограничения на соотношение между длиной свободного пробега электронов и размером образца не накладываются.
Уравнения макроскопической электродинамики применимы лишь в случае «массивных» образцов: Я »Л. Поэтому известная теория Ми [24], которая описывает взаимодействие электромагнитной волны с металличе-
12
скими телами в рамках макроскопической электродинамики, непригодна для описания упомянутого размерного эффекта.
Попутно заметим, что большое значение при кинетическом описании имеет точность решения интегро-дифференциального уравнения Больцмана. Часто для решения этого уравнения применяется моментный метод. В связи с чем, отдельного внимания заслуживает работа [25], в которой изложена техника вычисления моментов интеграла столкновений для произвольного класса задач.
Большинство работ о взаимодействии электромагнитного излучения с мелкими металлическими частицами посвящено их электрическому диполь-ному поглощению.
В ряде работ [8, 13, 26] предлагалось использовать некоторый рецепт экстраполяции классических результатов теории Ми на случай Я< А путём введения явной зависимости диэлектрической проницаемости 8 от величины Я /Л. Такая процедура позволяет грубо учесть влияние границ образца на релаксационные свойства электронов. В некоторых случаях, таким образом, удастся правильно оценить влияние указанного размерного эффекта даже для весьма мелких частиц [8, 13, 26]. Впрочем, использование таких приёмов не представляется вполне обоснованным и не может заменить последовательный кинетический расчёт отклика электронов на внешнее электромагнитное поле в образце конечных размеров.
В работах [27, 28] высказывалось предположение о возможном существенном влиянии зеркального отражения электронов от поверхности на электромагнитные свойства мелких металлических частиц. Автор попытался связать возможное преобладание зеркального рассеяния с наблюдаемым аномальным поведением сечения поглощения мелких металлических частиц в дальнем Ж - диапазоне.
В работах (29, 30] проанализировано ИК-поглощение мелких металлических частиц сферической формы с помощью упрощённой кинетической
13
модели. Обнаруженное ИК-поглощение на несколько порядков превышает величину поглощения, полученного по обычной формуле Ми.
В работах [31, 32] в рамках классической теории проведена оценка поглощения электромагнитного излучения металлическими частицами. Авторы пытаются получить согласие расчётных и экспериментальных частотных зависимостей “эффективного фактора поглощения’' частицами серебра, золота и алюминия. Также в работах рассматривается размерная зависимость поглощения электромагнитного излучения мелкими металлическими частицами в ИК-диапазонс. Проблема аномального поглощения инфракрасного излучения мелкими металлическими частицами обсуждается в работе [33].
В работах [34-35] обсуждаются вопросы, связанные с нелокальностью оптической проводимости мелких металлических частиц, а работах [36, 37] зависимость их электромагнитного поглощения от размера и температуры.
Альтернативный подход к проблеме предложен и развивается в работах |38-42]. В данных работах проведены численные расчёты “фактора эффективности поглощения'’ ультрадисперсной сферической частицы серебра (частица радиусом 14.2 нм) по соотношениям теории электрооптического эффекта и теории Друде (обобщённой на случай классического размерного эффекта) с рассмотрением влияния на “фактор эффективности поглощения” собственного теплового излучения частицы. К этой же серии можно отнести работы [43-45].
Однако при облучении мелких металлических частиц электромагнитными волнами, частоты которых принадлежат дальнему ИК-диапазону, превалирующим является их магнитное дипольнос поглощение. Ряд работ посвящён теоретическому анализу этого эффекта.
В работах [46, 47], а также [48], рассмотрено взаимодействие электромагнитного излучения со сферической частицей.
В [46] авторами в дипольном приближении вычислено сечение поглощения электромагнитного излучения металлической частицы сфериче-
14
ской формы. Расчёт выполнен для случая достаточно низких частот (ИК-диапазон и ниже), когда вклад вихревых токов в поглощение доминирует, и для сравнительно мелких частиц (~ 10 нм), что позволяет пренебречь скин-эффектом. Авторами показано, что в пределе больших длин свободного пробега имеет место осциллирующая зависимость сечения поглощения от частоты внешнего излучения. Также в работе обсуждается возможность экспериментального наблюдения указанных осцилляций.
В [47] рассчитано сечение магнитного дипольного поглощения сферической частицы металла при условии, что отражение электронов от поверхности образца носит смешанный (зеркально-диффузный) характер. Проведён анализ связи дайной теории с феноменологическим описанием, которое основано на нелокальной модификации известных формул Друде для проводимости и диэлектрической проницаемости металла. Проанализирована возможная связь между аномально высокой степенью зеркальности отражения электронов и аномально большим наблюдаемым сечением поглощения в дальнем ИК-диапазоне. При этом, как и в работе [46], счи тается, ч то радиус частицы мал по сравнению с характерной глубиной скин-слоя.
В предельном случае Я«А на низких частотах (дальний ИК-диапазон) этот результат совпадает с результатом, полученным в работах [26, 49]. В упомянутых работах применяется подход, основанный на решении кинетического уравнения Больцмана для электронов проводимости в металле.
Работы [50, 511 посвящены рассмотрению взаимодействия электромагнитного излучения с мелкой цилиндрической частицей из металла с учётом аномального скин-эффекта. К сожалению, окончательных результатов, которые можно было бы сравнить с результатами других авторов, в этих работах нет. Аналитическое описание скин-эффекта в металле с использованием двухпараметрического кинетического уравнения проведено в работе [52].
15
Отдельно можно отметить работы [53-55], в которых учитывается температурная зависимость плотности вихревого тока и сечения магнитного дипольного поглощения мелкой сферической проводящей частицы, а также работу, посвящённую изучению поведения электронной плазмы внутри тонкой металлической пластины в переменном электрическом поле |56].
Сравнительно недавно возрос интерес к проблеме взаимодействия электромагнитного излучения с несферическими частицами [57]. Авторы [57] провели исследование зависимости сечения поглощения малой эллипсоидальной металлической частицы в ИК-диапазоне, но ими не учтены объёмные столкновения электронов внутри частицы.
Ряд работ 158-67] был посвящён описанию взаимодействия электромагнитного излучения с цилиндрической частицей. В этих работах подробно рассматривалось магнитное дипольное поглощение металлической частицы цилиндрической формы (в том числе и конечной длины) и было выполнено сравнение удельных (на единицу объёма) сечений поглощения сферической и цилиндрической частиц.
В работе [68] рассматривались системы ультратонких нитей металлов и полупроводников. Было проведено исследование высокочастотных свойств (СВЧ-излучение) этих систем в относительно широком диапазоне температур - от низких до комнатных.
Отметим также работы, в которых предпринята попыт ка учет а квантовомеханических эффектов в данной проблеме, что особенно существенно при низких температурах [69, 70].
Во всех перечисленных выше работах описывалось электрическое или магнитное дипольное поглощение однородных мелких металлических частиц, т. е. не поднимался вопрос о внутренней структуре поглощающих частиц.
Кроме того, в последнее время в литературе появились сообщения об экспериментальных исследованиях частиц со сложной внутренней структу-
16
рой [71-74]. Такие частицы состоят из диэлектрического (или металлического) ядра, окружённого металлической оболочкой, что, естественно, сказывается на электромагнитных свойствах этих частиц. Важность рассмотрения частиц со сложной внутренней структурой становится очевидной в связи с технологическими приложениями, т. к. при создании композитных материалов часто наблюдается чередование структур металл-ди электрик и т. п. [75-80].
Не менее важно исследование электрической проводимости тонких проволок из металла. Дело в том, что в этой области существуют значительные теоретические пробелы.
В фундаментальной работе [81] впервые рассчитана электрическая проводимость тонкой цилиндрической проволоки (отношение ее радиуса к длине много меньше единицы). В первой части этой работы описаны приближённые методы для определения электрической проводимости металлических плёнок и проволок, размер которых сравним со средней длиной свободного пробега электронов. Во второй части построена строгая теория электрической проводимости тонких проволок на основании утверждения о том, что ферми-поверхность электронов является сферической, и, что на поверхности проволок происходят неупругие столкновения электронов. В третьей части эта теория обобщена на случай упругого рассеяния электронов. В заключительной части приведены экспериментальные результаты для тонкой проволоки из ртути и оценена средняя длина свободного пробега электронов. Однако в этой работе рассматривались только стационарные поля и не проводилось сравнение с экспериментом.
Позже подобные вопросы, относящиеся к тонким проводникам, не раз обсуждались в литературе [82-86].
В работе [87] приведено большое количество экспериментальных данных по исследованию температурной зависимости электрического сопротивления тонких цилиндрических проволок из серебра и меди.
17
Ряд работ [88-90] посвящён расчёту электрического сопротивления тонких металлических проволок прямоугольного сечения. Но говорить о том, что в этих работах проведено последовательное теоретическое описание электромагнитных свойств тонкой проволоки прямоугольного сечения не приходится. Приведённый результат написан по аналогии с результатом автора [82] для цилиндрической проволоки. При этом авторы [88-90] допустили неточности, которые не позволяют корректно описывать сопротивление прямоугольной проволоки. Кроме того, следует отметить, что влияние формы сечения проволоки на её проводимость изучено недостаточно и почти не отражено в научной литературе.
В работе [91] описан эксперимент по определению электрического сопротивления тонких проволок прямоугольного сечения. В металл, из которого изготавливались проволоки, добавлялись различные примеси.
В работе [92] исследовано влияние воздействия поперечного и продольного магнитного поля на изменение величины электрической проводимости тонких плёнок из металла.
Вопросы, касающиеся проводимости тонкой цилиндрической проволоки помещённой в магнитное поле, обсуждались в работах [93-95].
В работе [93] для чисто диффузных граничных условий рассмотрена задача о влиянии продольного магнитного поля на электрическую проводимость металлической цилиндрической проволоки. Автору этой работы не удалось получить аналитическое выражение для расчёта проводимости. Им численными методами были получены результаты только для отдельных значений параметров задачи. При этом автору [93] также не удалось получить согласие результатов с экспериментальными данными.
В работе [94] рассмотрен эффект магнитосопротивлсния щелочных металлов при низких температурах. Выяснено, что отклонение от модели электронного газа очень заметно в случае тяжёлых металлов.
18
В работе [95] проведено измерение при низких температурах электрического сопротивления стержней из чистого натрия в постоянном магнитном поле. Показано, что при относительно слабом магнитном поле в стержнях радиусами с электронную орбиту сопротивление уменьшается. В сильных полях линейное увеличение сопротивления наблюдается вместе с увеличением поля. Рост сопротивления относительно меньше при высоких температурах, когда преобладает рассеяние электронов от вибрации решётки.
Для полноты картины отметим, что в последнее время в научной литературе стали появляться работы, в которых описываются электромагнитные свойства квантовых проволок [96-98]. Например, в работе [98] исследована статистическая электропроводность квантовых проволок в продольном и поперечном магнитном поле для вырожденного и невырожденного электронного газа. Расчёт электропроводности проводился по формуле Кубо с учётом процессов упругого рассеяния носителей на длинноволновых колебаниях решётки. Проведено сравнение конечных результатов для проводимости с экспериментальными данными. В частности, предлагаемая модель проводимости квантовой проволоки позволяет объяснить немонотонное поведение поперечного магнитосопротивления от величины магнитного поля.
19
ГЛАВА 2.
МАГНИТНОЕ ДИПОЛЬНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ НЕОДНОРОДНОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ЧАСТИЦЫ
2.1 Постановка задачи
Рассматривается сферическая частица, состоящая из диэлектрического (или металлического) ядра, радиус которого И., окружённого оболочкой из немаг нитного металла радиуса Я2, помещённая в поле плоской электромагнитной волны частоты со, которая ограничена сверху частотами ближнего ИК - диапазона (со < 2* 10й с“'). Неоднородность внешнего поля волны и скин-эффекг не учитываются (предполагается, что 5 - глубины скин-слоя). Линейный размер частицы Я, мал по сравнению с длиной волны X электромагнитного излучения. В рассматриваемом диапазоне частот вклад токов дипольной электрической поляризации будет мал по сравнению с вкладом вихревых токов, которые индуцируются внешним магнитным полем волны [46]. Поэтому действие внешнего электрического поля волны не учитывается.
Также используются общепринятые физические допущения: электроны проводимости в металлической оболочке (и в металлическом ядре, если частица биметаллическая) рассматриваются как вырожденный ферми-газ, и описывается их отклик на внешнее переменное магнитное поле с помощью уравнения Больцмана в приближении времени релаксации.
Однородное периодическое по времени магнитное поле волны Н = Н0 ехр(-1ы) вызывает появление в частице вихревого электрического поля. Оно, в силу симметрии задачи, определяется из уравнения индукции Максвелла
20
”M;)f
и может быть представлено в виде
со
Е = — 2с
311
г.
= —[r,H0] exp(-io)t), (2-1)
2ic
ді
где г - радиус - вектор (начало координат О в центре частицы), Н0 - амплитуда магнитного поля волны, с - скорость света. Вихревое электрическое поле воздействует на электроны проводимости в частице и вызывает отклонение f, их функции распределения for равновесной фсрмиевской f0:
f(r,v) = f0(e)+f, (r,v), e = mv
2
где V и ш - скорость и эффективная масса электрона.
Это приводит к возникновению вихревого тока
(2-2)
(где И - постоянная Планка, е - заряд электрона), а также к диссипации в объеме частицы энергии. Энергия 0 диссинируемая в единицу времени равна [23]
0= |(Й?ЁЯЙё]У"(1,г = 1ке |)Е'(13г, (2-3)
здесь чертой обозначено усреднение по времени, а звездочкой - комплексное сопряжение.
В формуле (2-2) используется стандартная нормировка функции распределения £ при которой плотность электронных состояний равна 2/Ь3.
Для равновесной функции Г0(е) далее используется ступенчатая аппроксимация [130]:
, ч [1, 0 <,г йк,
Г0(£) = еЕг-г) =
[0, £г <е
21
где &( - т\)!2 - энергия Ферми (уг - скорость Ферми). Предполагается, что ферми-поверхносгь имеет сферическую форму.
Задача сводится к отысканию отклонения {} функции распределения электронов от равновесной £0, возникающего под действием вихревого поля (2-1). В линейном приближении по внешнему полю, функция ^ удовлетворяет кинетическому уравнению [21,130]
где предполагается стационарная зависимость от времени (^ ~ ехр(4 о г)), а интеграл столкновений взят в приближении времени релаксации:
где х - электронное время релаксации.
Решая уравнение (2-4) методом характеристик [131-133], получаем
Причем V и А постоянны вдоль траектории (характеристики). Параметр 1' в выражении (2-5) имеет смысл времени движения электрона вдоль траектории от границы, на которой происходит отражение, до точки г со скоростью
(2-4)
Г, =Сехр(-у(')+Л, Г'>0,
(2-5)
где
(2-6)
V.
22
2.2 Случай диффузного рассеяния электронов на поверхностях сферической частицы из металла с диэлектрическим ядром
Для однозначного определения функции ^ необходимо задать для нее граничные условия на сферических поверхностях металлической оболочки и диэлектрического ядра частицы. В качестве таковых принимаем условия диффузного отражения электронов от этих поверхностей [21]. Поскольку электроны могут отражаться от внутренней границы (Я,) и от внешней границы (И.,) металлического слоя, то необходимо записать два граничных условия:
Гц(г>у) = 0 при |Г1 К|, (2-7)
[Г V > О
Г|2(г»у)= 0 при (2-8)
Случай г\ >0 (г\ <0 ) соответствует движению электронов от ядра (к ядру).
В момент начала отсчёта времени (I = 0) , т. е. при отражении от любой из поверхностей частицы
(г, V) = С + А = 0.
Откуда следует, что
С = -А.
При отражении электрона от внутренней границы (К,) параметр С в выражении (2-5) определяется как
1,={гу4гу)2+(к?-г2У1^|/у2, (2-9)
а при отражении электрона от внешней границы (Л2) он определяется как
Х2 =|гу + [(гу)2 + (и2 -г2)у2]^|/у2. (2-10)
Это ясно из следующих геометрических соображений. Из очевидного векторного равенства г = г0 + где г() - радиус-вектор электрона в момент
23
отражения от любой из границ металлического слоя, можно получить, возводя обе части этого равенства в квадрат, и, разрешив полученное уравнение относительно I, или Ц , выражения (2-9) или (2-10).
Поэтому уравнение (2-4) имеет два разных решения в зависимости ог места отражения электрона проводимости внутри металлического слоя частицы.
Соотношениями (2-5), (2-6), (2-9) и (2-10) полностью определены решения ^u и уравнения (2-4) с граничными условиями (2-7) и (2-8), что позволяет рассчитать ток (2-2) и диссипируемую мощность (2-3).
При вычислении интегралов (2-2), (2-3) удобно перейти к сферическим координатам как в пространстве координат (г, 0, <р; полярная ось - ось
Z; вектор Н0 параллелен оси так и в пространстве скоростей (V, а, Р; по-
лярная ось - ось уг). Поле (2-1) в сферических координатах имеет лишь ф -компоненту:
Е = Еч>е,; = ~гНо8Ш0ехрНаИ). (2-11)
Соответственно, и ток (2-2) обладает лишь ф - компонентой (линии тока являются замкнутыми окружностями с центрами на оси Z, в плоскостях перпендикулярных оси Ъ):
Л. =7^4— |’^8(е-бг)(1-е"',')<1^. (2-12)
Здесь мы учли, что концентрация электронов проводимости в метап-лах определяется как
При интегрировании выражения (2-12) следует иметь в виду, что место отражения электронов внутри частицы определяется полярным углом а в пространстве скоростей:
24
1) Если выполняется неравенство а0 < а< я-а0, где угол а0 определяется выражением
то траектория электрона не пересекается с ядром и он претерпевает отражение от внешней границы металлического слоя частицы. Под функцией Г, в этом случае понимается 1\2 (г, \) (1' = Г,).
2) Если тг-а0 < а < л, то электроны летят к ядру частицы и под
функцией Г, снова понимается Г12(г, у)(4' = ц).
3) Наконец, если 0 < а < а0, то электроны летят от ядра частицы и под функцией Г, понимается (г, V) (Г = Г,).
Легко заметить, что в первых двух случаях интегралы можно объединить.
Сечение поглощения электромагнитного излучения а находим, разделив среднюю диссипируемую мощность р (см. 2-3) на средний поток энергии в волне сНр/8л:
а0 = агссоБ
(2-13)
Г
/
(2-14)
или, учитывая (2-12),
Далее, воспользовавшись (2-11), имеем
После несложных преобразований, получаем
25
Учитывая, что = у$іпасо5р, и, подставляя пределы интегрирования
во внутреннем интеграле, приходим к выражению
л: 2х
а = И.с
ї—2— ( Г Г віп асов рб(у-уг)(і-е" )с1\ч1асір
4тс у; V } J J J
ООО
г2 віп2 0 <Гг
Проинтегрировав по переменным V и (5, а также подставляя пределы интегрирования во внешнем интеграле, имеем
Я? я 2x1 х
|(,-е )віп’ааа
К. О о _ о
г4 віп30 drdBdф
Интегралы по переменным 0 и <р элементарные, поэтому
к?
А
а = Яс
4тс
Окончательно, получаем
2
3 п е 0) Гг4 <і г Г(і-е“уґ)віп3а dа
4шс у} V г 3 J J4 '
а = И.е
я?
2 я2 п е2со2 Г Г/ _у,л . з
--------г ІГ dr 111-е 1вШ (X СІСХ
тс V ] J
(2-15)
и, о
Для дальнейших вычислений и анализа результатов, сложное выражение (2-15), по которому определяется сечение поглощения, удобно представить в виде
о = а, + с2, (2-16)
где
а, = Яе
к.
2 я2 п е2 (о2 Гб -уі, Ь з ,
г 1г dr |\1-е ’ктааа
тс V ^ J
су 2 = 1*е
2 я2 п е2©2
К, а0
а„
т с V
|г4 сіг |*(і -є"'"1 ^іп’а сіа
(2-17)
(2-18)