Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 4
1 АСИМПТОТИКА ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ: КОНСТАНТЫ РЕНОРМИРОВКИ И КРИТИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ 0(п) - СИММЕТРИЧНОЙ ф4 МОДЕЛИ В 4 - е РАЗЛОЖЕНИИ. 21
1.1 Основные положения л и натовского подхода... 22
1.2 Схема вычисления асимптотик разложений констант ренормировки.................................... 30
1.3 Асимптотики констант ренормировки............... 37
1.4 Обсуждение полученных в данной главе результатов 45
2 АСИМПТОТИКА ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ В СХО-ДЯЩИХСЯ РЯДАХ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ КРИТИЧЕСКИХ ИНДЕКСОВ МОДЕЛИ ф* В 4-е РАЗЛОЖЕНИИ 47
2.1 Метод построения сходящегося ряда для критических индексов....................................... 49
2.2 Асимптотика высоких порядков сходящихся разложений 52
2.3 Характер особенности в сходящемся разложении для критических индексов............................ 55
1
3 АСИМПТОТИКА ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ: СКЕЙЛИНГОВЫЕ ФУНКЦИИ 0{п)
- СИММЕТРИЧНОЙ фА МОДЕЛИ В 4 - € РАЗЛО^ ЖЕНИИ. 61
3.1 Основные положения липатовского подхода при т ф 0 63
3.2 Инстантон в массивной модели ф4.................. 66
3.3 Скейлинговая функция парного коррелятора......... 68
3.4 Асимптотика р2 << т; скейлинговая функция (7^(р) 71
3.5 Асимптотика т << р2; скейлинговая функция Э^(т) 75
3.6 Каноническая нормировка результатов ............. 78
4 ПЕРВАЯ ПОПРАВКА К АСИМПТОТИКЕ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ ДЛЯ КОНСТАНТ РЕНОРМИРОВКИ О(п) - СИММЕТРИЧНОЙ МОДЕЛИ фА В (4 - е)
- РАЗЛОЖЕНИИ 82
4.1 Поправки по 1/А и е в липатовском подходе........ 83
4.2 Особенности формализма в е - разложении.......... 85
4.3 Об интеграле по флуктуациям в пространстве размерности 4 — е........................................ 87
4.4 Вычисление поправки по б к флуктуационному интегралу в гауссовском приближении....................... 90
/|ул
4.5 Асимптотика при больших N......................... 95
§4.5.1 Вклад гауссовской части интеграла по флуктуациям ............................................... 95
§4.5.2 Поправка к гауссовскому приближению в интеграле по флуктуациям................................ 97
4.6 Константы ренормировки и критические индексы 100
4.7 Обсуждение полученных в данной главе результатов 103
2
5 Заключение 105
Приложение 1...................................... 108
Приложение 2...................................... 110
Приложение 3...................................... 111
3
Введение
Диссертация просвещена разработке инстантонного формализма при исследовании высоких порядков полевых разложений констант ренормировки, критических индексов (аномальных размерностей) и скейлинговых функций на примере Оп- симметричной модели фА в размерной регуляризации и схеме минимальных вычитаний. Опишем коротко историю задачи и ситуацию, сложившуюся сейчас в данной области.
К настоящему времени теория критического поведения является хорошо развитой и формализованной ветвью теоретической физики. Существенный прогресс в этой области был достигнут в результате внедрения идей универсальности и критического скейлинга, а также применения технического аппарата ренормализационной группы.
Универсальность критических явлений заключается в том, что поведение системы оказывается не зависящим от деталей взаимодействия и определяется лишь общими свойствами рассматриваемой модели - типом полей, числом их компонент, симметрией взаимодействия, размерностью пространства и.т.п. Например, для изотропного ферромагнетика Гайзенберга критическое поведение зависит только от числа компонент вектора спина и размерности пространства, но не зависит от типа решетки и деталей обменного взаимодействия спинов.
4
Вторая идей - гипотеза подобия (критического скейлинга) Вай-дома - Каданова - Паташинского - Покровского [65]. Согласно этой гипотезе в окрестности критической точки всем физическим величинам (точнее, их отклонениям от критических значений) можно сопоставить определенные “критические размерности". Математически это выражается в свойстве обобщенной однородности: если величина Р с размерностью (2 зависит от набора переменных х, с размерностями соответственно и некоторого масштабного параметра Л, то
F(Л<<lx 1, Л*а®2> • • • Л4*х„) = Л^(гь х2 . • • хп). (1)
Строго говоря, этим свойством обладают не сами термодинамические функции, а ведущие члены асимптотик при Л —У 0 их "сингулярных частей", получаемых отбрасыванием регулярных членов тейлоровского разложения в критической точке (при х, = 0).
Гипотеза подобия позволила согласовать множество различных данных по критическому поведению. Из экспериментов и численных расчетов известно, что при подходе к критической точке различные термодинамические величины ведут себя как степенные функции параметра отклонения; показатели степеней получили название "критических индексов". Таких индексов очень много, так как есть много различных термодинамических величин (восприимчивость, намагниченность, теплоемкость и. т. д.) и различные способы подхода к критической точке (например, температура Т стремится к своему критическому значению Тс при нулевом внешнем поле Л или, наоборот, Л -*■ 0 при Т = Тс). Согласно гипотезе подобия, все эти индексы должны выражаться через размерности тех параметров, от которых зависит термодинамический потенциал. Для магнетика та-
ких параметров всего два - Л и т = (Т — Тс)/Тс. Размерность самого термодинамического потенциала не является независимым параметром - ее можно считать фиксированной. Действительно, потенциал (точнее, его удельное значение на единицу объема для пространственно - однородной системы) выражается через удельное значение логарифма статсуммы. Статсумма и ее логарифм безразмерны (имеется ввиду не тривиальная безразмерность в обычном смысле, а равенство нулю критической размерности (I в выражении (1)), поэтому потенциал имеет размерность обратного объема. Замена Л —> Ла в (1) приводит к умножению всех размерностей на а, что позволяет фиксировать одну из размерностей произвольно. Обычно за единицу принимают размерность импульса, этот выбор будет принят и в данной работе.
Таким образом, согласно гипотезе подобия все критические индексы выражаются через размерности независимых переменных термодинамического потенциала. Вытекающие отсюда связи между критическими индексами подтверждаются экспериментально и в настоящее время справедливость гипотезы подобия считается твердо установленной. Однако сама по себе эта гипотеза не содержит рецептов вычисления размерностей независимых переменных.
Такой рецепт был дан в 1971 году Вильсоном [40] (и разработан им позже в [44]), который предложил использовать для расчета размерностей технику ренорм ал изационной группы (РГ). В квантовой теории поля эта техника давно известна: впервые существование группы ренормировок в квантовой теории поля было отмечено в работе Штюкельберга и Петермана [35], через год Гелл-Манн и Лоу [15] использовали функциональные уравнения типа РГ для анализа
6
ультрафиолетовой асимптотики в квантовой электродинамике, еще через год в работах Боголюбова и Ширкова [54, 55, 56, 5] была установлена связь между результатами [35] и [15], впервые получены полные дифференциальные уравнения РГ и указан рецепт их практического использования в комбинации с расчетом РГ - функций по теории возмущений. Впоследствии Овсянников [64], а затем, независимо, Каллан и Симанзик [11, 36) предложили еще один вариант уравнений РГ, сформулировав их в виде одного уравнения в частных производных для функции многих переменных. Дифференциальные уравнения [54] играют роль характеристической системы для уравнения в частных производных [64, 11, 36]. Дифференциальные уравнения в форме [54] или [64, 11, 36] являются основой стандартной квантово-полевой техники РГ.
Предюженная Вильсоном в [40] процедура "рекурсионных соотношений" основана на идее РГ, но технически отличается от квантовополевой формулировки. В более поздних работах (например, [7, 8]) используется уже стандартная квантово-нолевая техника РГ совместно с идеей размерной регуляризации, также заимствованной из квантовой теории поля [37, 38]. В настоящее время в большинстве работ, относящихся к критической теории, используется стандартная полевая техника РГ. Отметим также, что упомянутая техника также используется для описания моделей развитой турбулентности [45, 46, 47, 48, 29, 33, 34].
Метод РГ естественно объясняет критический скейлинг и универсальность: в инфракрасно - устойчивой фиксированной точке РГ уравнение Каллана - Симанзика принимает вид дифференциального уравнения обобщенного подобия, общим решением которого яв-
7
ляются функции со свойством (1), а универсальность объясняется эквивалентностью критического поведения всех систем, гамильтонианы которых различаются лишь инфракрасно - несущественными операторами. В соответствии со своей канонической размерностью все составные операторы делятся на инфракрасно (ИК) - существенные, ИК - несущественные и логарифмические: у первых каноническая размерность меньше размерности пространства £), в котором рассматривается модель, у вторых - больше, а у последних равна О. Несущественные операторы не влияют на критическое поведение, определяя лишь поправки к скейлингу [7, 8, 39]. Поэтому, если действия двух моделей различаются лишь несущественными членами, эти модели оказываются эквивалентными в асимптотической области, что и объясняет гипотезу универсальности.
Критическая размерность (I произвольной величины (поля, параметра, составного оператора) есть сумма канонической и аномальной размерностей, последняя появляется в результате ренормировки. Как уже упоминалось, для фиксированной модели и данной физической величины ее размерность (I зависит лишь от глобальных характеристик типа размерности пространства О и не зависит от значений конкретных параметров модели - масс, констант связи и.т.п. Например в О(п) - симметричной модели ф* с п - компонентным полем ф критические размерности зависят лишь от и п. Методов вычисления точных размерностей не существует, практически их находят лишь в форме различных асимптотических рядов. Исторически первым, наиболее универсальным, является предложенное Вильсоном [41, 42, 43] 4 — € - разложение по параметру е = 4 — О -отклонению размерности пространства от критической размерности
8
- Киев+380960830922