Вычисление радиационных поправок в Стандартной Модели к наблюдаемым величинам на современных ускорителях высоких энергий

2
Оглавление
Введение....................................................... 6
1 Схема перенормировок на массовой поверхности в унитарной калибровке. 12
1.1 Тождество Уорда в унитарной калибровке..................... 13
1.2 Перенормировка............................................. 16
2 Расчёт поправок для различных каналов распада Хиггс бозонов 19
2.1 КЭД, слабые и КХД поправки для ферм ионных мод распада 19
2.1.1 КЭД поправка.................................... 21
2.1.2 Слабая поправка................................. 26
2.1.3 КХД поправка.................................... 27
2.1.4 Полная поправка. ................................... 30
2.2 Поправки для бозонных мод распада ........................ 32
2.2.1 Распад на два фотона................................ 32
2.2.2 Распад на 2 - бозон и фотон......................... 33
2.2.3 Распад на два 2 - бозона............................ 36
2.2.4 Распад на пару IV - бозонов......................... 39
3 О(а) поправки от тормозного излучения жёстких фотонов к е+е~ аннигиляции на ЬЕР с реалистическими обрезаниями 47
3.1 Древесное приближение ..................................... 47
3.2 Тормозное излучение жёстких фотонов................... 49
3.2.1 Фазовое пространство тормозного излучения жёстких фотонов................................................ 50
3.2.2 Общий подход интегрирования в трёх областях ... 54
3.2.3 Полностью проинтегрированный вклад излучения реального фотона из конечных частиц в области III . . 56
4 Однопетлевые электрослабые поправки к глубоконеупругому рассеянию поляризованных частиц 59
4.1 Кинематика эксперимента для процесса I 4- N —* I +■ X, . . 60
4.2 Древесное приближение................................. 68
4.2.1 Нейтральный ток................................. 68
4.2.2 Заряженный ток.................................. 74
3
4.3 Однопетлевые виртуальные поправки.......................... 76
4.3.1 Слабые поправки для процесса с нейтральным током 77
4.3.2 Слабые поправки для процесса с заряженным током . 80
4.3.3 Виртуальные КЭД поправки. Нейтральный ток. ... 82
4.3.4 Виртуальные КЭД поправки. Заряженный ток 87
4.4 Тормозное излучение фотона. Нейтральный ток................ 91
4.4.1 Излучение мягкого реального фотона.................. 96
4.4.2 Излучение жёсткого реального фотона.................104
4.5 Тормозное излучение фотона. Заряженный ток..................121
4.5.1 Излучение мягкого реального фотона..................124
4.5.2 Излучение жёсткого реального фотона.................127
4.6 Поляризованный HECTOR версия 1.11 ........................ 135
4.6.1 Древесное приближение.............................. 137
4.6.2 Тормозное излучение фотона......................... 147
5 Разработка системы SANC, создание ветви по тормозному излучению фотонов и глюонов 154
5.1 Амплитуда тормозного излучения............................ 157
5.2 Вычисление вклада мягкого тормозного излучения ........... 159
5.2.1 Элементарный фазовый объём для мягкого тормозного излучения ............................................. 160
5.2.2 Составление таблицы интегралов..................... 163
5.3 Вычисление жёсткого тормозного излучения.................. 165
5.3.1 Элементарный фазовый объём для жёсткого тормозного излучения с тремя конечными частицами .... 168
5.3.2 Элементарный фазовый объём для жёсткого тормозного излучения с четырьмя конечными частицами . . 179
5.4 Электрослабые поправки для процесса е+е“ —> // 181
5.4.1 Вклад в амплитуду от box - диаграмм Фейнмана . . 186
5.4.2 Вклад тормозного излучения фотонов................. 189
5.5 Электрослабые поправки дли процессов распадов топ кварка
t —* Ы+vz и t —* bud .................................... 194
5.5.1 Древесное приближение.............................. 195
5.5.2 Вклад тормозного излучения фотонов................. 197
5.5.3 Результаты с учётом ширины топ кварка.............. 198
6 Применение системы SANC к прецизионному анализу процессов типа Дрюлла-Яна на LHC 200
6.1 Процессы Дрелла-Яна с заряженным током ...................201
6.1.1 Древесное приближение...............................202
6.1.2 Однопетлевые виртуальные КХД поправки...............203
4
6.1.3 Однопетлевые виртуальные КЭД поправки................206
6.1.4 Вклад тормозного излучения глюонов...................208
6.1.5 Вклад процессов Дрелл-Яна заряженного тока с начальным глюоном ............................................212
6.1.6 Вклад тормозного излучения фотонов.................218
6.1.7 Учет кварковых массовых сингулярностей ..............224
6.1.8 Адронный уровень.....................................229
6.1.9 Численные результаты.................................230
6.2 Процессы Дрелла-Яна с нейтральным током...................236
6.2.1 Древесное приближение................................236
6.2.2 Однопетлевые виртуальные КХД поправки................239
6.2.3 Однопетлевые виртуальные КЭД поправки................240
6.2.4 Вклад тормозного излучения глюонов.................242
6.2.5 Вклад процессов Дрелл-Яна нейтрального тока с начальным глюоном 243
6.2.6 Вклад тормозного излучения фотонов...................244
6.2.7 Учет кварковых массовых сингулярностей ..............249
6.2.8 Адронный уровень.....................................251
6.2.9 Численные результаты.................................251
7 Однопетлевые КХД поправки в ЭА1ГС к одиночному рождению и распаду £ кварка 256
7.1 КХД поправки к одиночному рождению £ кварка в 5 канале 258
7.1.1 Древесное приближение................................258
7.1.2 Виртуальные КХД поправки.............................258
7.1.3 Мягкое тормозное излучение глюонов.................260
7.1.4 Жёсткое тормозное излучение глюонов..................264
7.1.5 Вклад тормозного излучения из конечных частиц . . 267
7.1.6 Результаты на кварк - партонном уровне...............269
7.2 КХД поправки к одиночному рождению топ кварка в £ канале ............................................................270
7.2.1 Древесное приближение................................271
7.2.2 Виртуальные КХД поправки.............................272
7.2.3 Мягкое тормозное излучение глюонов..................274
7.2.4 Жёсткое тормозное излучение глюонов..................279
7.2.5 Численные результаты на кварк - партонном уровне 281
7.3 КХД поправки к процессам распада £ - кварка .............282
7.3.1 Виртуальные КХД поправки.............................283
7.3.2 Мягкое тормозное излучение глюонов..................285
7.3.3 Жёсткое тормозное излучение глюонов..................289
5
7.3/1 Вычисление вклада жёсткого излучения глюона без
учёта и с учётом ширины £ кварка ................293
7.3.5 Численные результаты ...........................296
Заключение.................................................299
8 Приложение 303
Литература 307
6
Введение
Актуальность темы исследований.
Единственная на сегодняшний день теория, которая продолжает оставаться фундаментом прецизионных теоретических расчетов, необходимых для корректной интерпретации экспериментальных данных — Стандартная Модель (СМ) взаимодействий элементарных частиц. В течение последних двадцати лет проводились многочисленные эксперименты по проверке СМ на ускорителях высоких энергий. В пределах точности этих экспериментов не было обнаружено ни одного расхождения от предсказаний СМ. Более того, в декабре коллаборации ATLAS и CMS докладывали, что вполне вероятно обнаружить и бозон Хиггса с массой « 126 GeV, который так долго оставался неуловимым на экспериментах. С появлением новых ускорителей ( LHC, ILC, CLIC) появляется возможность проверки СМ с точностью « 1%. Чтобы не вносить дополнительную систематическую погрешность при сравнении результатов экспериментов с предсказаниями теории, выполнение теоретических расчетов должно происходить с еще большей точностью.
Высокоточные теоретические предсказания в физике высоких энергий известны со времен экспериментов на LEP1 и LEP2, где точность измерений значительно превысила 1% и 0.1% соответственно. Во времена LEP прецизионные расчеты, в основном, проводились для проверки СМ. Еще большая точность потребуется на будущих электронных линейных ускорителях (ILC, CLIC) и мюонных фабриках. На адронном коллайдере LHC ожидается точность измерений ~ 1%. Это потребует соответствующих теоретических предсказаний, по крайней мере, на уровне однопетлевых (NLO) расчетов в электрослабом секторе (ЭС) СМ, а в квантовохромодинамическом КХД секторе СМ — двухпетлевых (NNLO) поправок.
Из-за присутствия большого числа диаграмм и энергетических масштабов (массы бозонов, топ-кварка), вычисление полных ЭС радиационных поправок является несравненно более сложной задачей, чем вычисления квантовоэлектродинамических (КЭД) радиационных поправок. В силу этих причин в последние годы стала актуальной проблема автоматизации вычислений ЭС радиационных поправок. Известными примерами компьютерных систем, автоматизирующих эти вычисления, являются FeynArts/FeynCalc [1, 2] и GRACE-loop [3]. В течение ряда последних лет в ЛЯП ОИЯИ была создана и продолжает развиваться компьютерная система SANC, позволяющая вычислять однопетлевые ЭС и КХД радиационные
7
поправки к множеству процессов, исследуемых в экспериментах на современных ускорителях высоких энергий.
Процедура вычисления ЭС радиационных поправок должна учитывать специфику эксперимента. Не всегда удаётся сделать это аналитически, как, например, это было сделано в программе ZFITTER. Намного удобнее проделать эту работу с помощью методов Монте Карло. Вычисление радиационных поправок можно реализовать лишь в тесном сотрудничестве теоретиков и экспериментаторов, поэтому возникло понятие “теоретическая поддержка” эксперимента.
В настоящей диссертации представлен цикл работ именно по теоретической поддержке экспериментов физики высоких энергий за последние 30 лет вплоть до настоящего времени, При этом ставились следующие цели: Цели диссертационной работы
• Разработка схемы перенормировки в СМ, максимально близкой к схеме перенормировки в электродинамике. Вычисление однопетлевых ЭС и КХД поправок к ширине распада бозона Хиггса па фермионные и бозонные пары в унитарной калибровке в схеме перенормировок на массовой поверхности (OMS).
• Полное аналитическое вычисление 0(a) КЭД поправок к рождению пары фермионов в е+е~ аннигиляции на LEP с реалистическими обрезаниями.
• Расчеты однопетлевых электрослабых поправок к процессам глубо-конеупругого рассеяния поляризованных электронов на поляризованных протонах в лептонных переменных как теоретическая поддержка эксперимента HERMES на ускорителе HERA.
• Создание многочисленных автономных модулей компьютерной системы SANC по аналитическому расчёту вкладов тормозного излучения фотонов и глюонов для большого числа процессов взаимодействия элементарных частиц в экспериментах на современных ускорителях высоких энергий (LHC, ILC и др.). Аналитические вычисления однопетлевых ЭС и КХД поправок для анализа процессов типа Дрелла-Яна в каналах нейтрального и заряженного токов для эксперимен тов на LHC.
• Создание КХД сектора SANC на языке FORM для аналитического вычисления собственно-энергетических, вершинных и диаграмм типа “box”' и контрчленов на однопетлевом уровне, вычисление соответствующих формфакторов амплитуд множества процессов с виртуальными глюонами и сопутствующее тормозное излучение глюонов.
8
• Вычисление в среде SANC однопетлевых КХД поправок для четырёх-фермионньгх процессов с топ кварком с учётом его ширины распада: распадов топ кварка, процессов одиночного рождения топ кварка в s и t каналах.
Научная новизна результатов диссертации состоит в следующем:
• Впервые была разработана схема перенормировки в Стандартной Модели с набором независимых переменных: заряд электрона, массы W и Z бозонов, массы трёх поколений кварков и заряженных лептонов и масса бозона Хиггса.
• Впервые вычислены полные однопетлевые электрослабые и квантовохромодинамические поправки к ширине распада Хиггсовского бозона на фермионные пары. Рассмотрено нестандартное поведение КЭД и КХД поправок при больших значениях массы Хиггсовского бозона. Вычислены полные однопетлсвые электрослабые поправки к ширине распада на бозонные пары (фотоны, Z бозоны и W бозоны).
• Впервые проделано полное аналитическое вычисление О (at) КЭД поправок к полному сечению и ассимерию вперёд-назад с реалистическими обрезаниями для процесса рождения пары фермиоиов в е+е~ аннигиляции на LEP. Результаты вошли в фортранную программу ZFITTER, использованную при обработке данных на LEP.
• Впервые в среде компьютерной системы SANC вычислены аналитически ЭС и КХД радиационные поправки к процессам Дрелла- Яна. Результатом является создание фортранных модулей, нацеленных на теоретическую поддержку экспериментов на ускорителе LHC.
• Впервые на языке FORM в среде компьютерной системы SANC при аналитическом вычислении поправок от излучения виртуальных и реальных глюонов для процессов с участием топ кварка учитывается ширина топ кварка.
Достоверность результатов контролировалась посредством многочисленных внутренних тестов: аналитическое сокращение калибровочных параметров, выполнение тождеств Уорда и т.п., а в случаях, где это было возможно, путем сравнения с результатами вычислений других групп. Практическая ценность
Фортранная программа ZFITTER использовалась для анализа данных на ускорителе LEP. Также она полезна для многих экспериментальных и феноменологических исследований.
9
Фортранная программа HECTOR 1.11 ( “New beta version of the source code” (http://www. ifh.de/theory/publist .html)) использовалась как рабочая программа для анализа данных по глубоконеуиругому рассеянию поляризованных электронов на поляризованных протонах в эксперименте HERMES на ускорителе HERA.
Созданные программные продукты в в рамках проект SANC нацелены на теоретическую поддержку анализа данных в эксперименте ATLAS на LHC.
Содержание работы
Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется основная цель и задачи, возникающие при ее достижении, рассматривается научная новизна проведенных исследований, а также представляется обзор литературы в данной области.
Первая глава диссертации посвящена описанию разработки схемы перенормировки в СМ в унитарной калибровке на массовой поверхности, максимально близкой к схеме перенормировки в КЭД.
В разделе 1.1 рассматривается однопетлевая вершина ff Л (ферми-он-фермион-фотонная) с участием W бозонов внутри петли. Исследуется справедливость тождества Уорда в унитарной калибровке.
В разделе 1.2 описана выбранная процедура перенормировки в СМ в унитарной калибровке. Набор независимых параметров: электрический заряд е, массы калибровочных бозонов Mw и масса бозона Хиггса Ми и массы всех элементарных фермионов. Вводятся константы перенормировки бозонов, фермионов и электрического заряда.
Вторая глава диссертации посвящена описанию вычисления ЭС и КХД поправок для различных каналов распада бозонов Хиггса.
В разделе 2.1 описано вычисление КЭД, слабые и КХД поправки для фермиониьтх мод распада.
В разделе 2.2 описано вычисление ЭС поправок для бозонных мод распада.
Третья глава диссертации посвящена вычислению 0(a) КЭД поправок к сечению и к асимметрии “вперёд - назад” процесса е+е~ —» \Г +ц+ на LEP с реалистическими обрезаниями.
В разделе 3.1 даётся выражение дифференциального сечения процесса e‘"(/ci)-f е+(/с2) —> M~(pi) +Д+(Р2) в древесном приближении с учётом поляризации начальных и конечных частиц.
В разделе 3.2 рассматривается тормозное излучение жёстких фотонов с учётом поставленных условий.
Четвёртая глава диссертации содержит подробное описание вы-
10
числений однопетлевых электрослабых поправок, выраженных в лсптон-ных переменных, к глубоконеупругому рассеянию поляризованных электронов на поляризованных протонах для эксперимента HERMES на ускорителе HERA.
В разделе 4.1 расматривается кинематика эксперимента для про-цесса е(к{]+ р{рш) -» е{к2) + X(pj).
В разделе 4.2 рассматривается древесное приближение этого процесса.
В разделе 4.3 представлено вычисление одпопетлевых виртуальных поправок.
В разделе 4.4 вычисляется вклад от тормозного излучения фотона для процесса с нейтральным током.
В разделе 4.5 вычисляется вклад от тормозного излучения фотона для процесса с заряженным током.
В разделе 4.6 представлены результаты в случае, когда поляризован и поток электронов и поток протонов. Сравниваются поправки, полученные разными методами: через Кварк-Партонную Модель в нашей программе HECT0R1.11. через ведущие логарифмы и с помощью программы POLRAD Шумейко и Акушевича.
Пятая глава диссертации посвещена разработке системы SANC. В ней представлены три модели взаимодействий элементарных частиц: КЭД, ЭС и КХД.
В разделе 5.1 описывается создание соответствующих процедур для получения амплитуд рассматриваемых процессов с тормозным излучением фотона или глюона.
В разделе 5.2 рассматривается вычисление вклада мягкого тормозного излучения.
В разделе 5.3 рассматривается вычисление вклада жёсткого тормозного излучения.
В разделе 5.4 обсуждаются электрослабые поправки для процесса е+е- -> ff.
В разделе 5.5 представлено получение электрослабых поправок для процессов распада топ кварка t —> Ы+ьц и t —> bud.
В шестой главе диссертации подробно рассматривается применение системы SANC к прецизионному анализу процессов типа Дрелла Яна на LHC. Показано как вычисляются в системе SANC полные однопетлевые электрослабые и КХД поправки к сечениям процессов рождения одиночных калибровочных бозонов W± и Z на адронных коллайдерах (рр и рр) с их последующим распадом на пару лептонов или на пару кварков.
В разделе 6.1 показан процесс вычисления однопетлевых поправок к процессам Дрелла-Яна с заряженным током. Приводятся результаты для
11
мягкого тормозного излучения фотонов. Показано сокращение инфракрасных расходимостей при сложении КЭД вкладов от виртуальной поправки и соответствующих вкладов от мягкого тормозного излучения фотонов. Получено выражение с массовыми сингулярностями, которое надо вычесть из нашего результата, потому что оно уже учтено в РОК. Описан выход на адронный уровень. Представлены численные результаты.
В разделе 6.2 показан процесс вычисления однопетлевых поправок к процессам Дрелла-Яна с нейтральным током. Описание такое же, как и в предыдущем случае.
В седьмой главе диссертации описывается вычисление однопетлевых КХД поправок в системе ЗАЫС к одиночному рождению и распаду топ кварка.
В разделе 7.1 рассматривается процесс вычисления КХД поправки к одиночному рождению топ кварка в 5 канале. Вычисляется поправка от мягкого тормозного излучения глюонов. Пропагатор топ кварка не имеет полюса при энергии глюона стремящейся к нулю, если учитывается ширина топ кварка. В этом случае нет его вклада при мягком тормозном излучении глюона. Рассматриваеся вычисление вклада жёсткого тормозного излучения глюонов с учётом ширины топ кварка. Сравниваются наши результаты с результатами программы СошрНЕР для вкладов жёсткого тормозного излучения.
В разделе 7.2 рассматривается процесс вычисления КХД поправки к одиночному рождению топ кварка в £ канале. Описание такое же, как и в предыдущем случае.
Раздел 7.3 посвящён вычислению КХД поправок к процессам распада тон кварка. Приводятся КХД поправки от диаграмм Фейнмана с виртуальными глюонами для различных каналов распада топ кварка. Вычисляются поправки от мягкого тормозного излучения глюонов для этих канатов распада топ кварка. Рассматриваеся вычисление вклада жёсткого тормозного излучения глюонов. Обсуждается каскадное приближение. Учитывается ширина топ кварка. Представлены численные результаты и сравнение наших результатов с результатами программы СотрНЕР для вкладов жёсткого тормозного излучения.
В Заключении кратко суммируются основные научные результаты, представленные в диссертации, формулируются положения, выносимые на защиту. Приводится список семинаров и научных конференций, где докладывались и обсуждались основные реззотьтаты диссертации. Выражаются благодарности коллегам по совместной работе.
12
1. Схема перенормировок на массовой поверхности в
унитарной калибровке.
В основе Стандартной Модели [4, 5, 6] лежит спонтанно нарушенная неабелева калибровочная симметрия 5(7(2)®(/(1), объединяющая слабые и электромагнитные взаимодействия. Здесь 5(7(2) - группа слабою изоегшна, а (7(1) - группа гиперзаряда. Фермионные поля объединяются в лептонньте и кварковые дублеты:
Левополяризованные фермионные ноля
/Фь = \^-+ъ)'Ф (1-2)
преобразуются по фундаментальному представлению 5(7(2) - группы, а правополяризованные фермионные поля
Фп=^{ 1-ъ)Ф (1-3)
являются синглетами. Калибровочные поля 5(7(2) 0 (7(1) группы — это триплет векторных безмассовых бозонов Ж*, г = 1,2,3, связанных с тремя генераторами группы 5(7(2), т.е. Тг = и синглет безмассового бозона В/п связанного с генератором группы (7^(1), т.е. ^У. Часть Лагранжиана
имеет вид: -фп,1 (ё - гд\Т ■ Щ,. - {д'\УВ,,') фь~фр (ё - 1д'\У В,,) фр, где д и д' — константы взаимодействия, тг — матрицы Паули, а У — гиперзаряд. Три независимых линейных комбинации этих четырёх калибровочных полей приобретают массы в результате применения Хиггсовского механизма |7, 8] спонтанного нарушения локальной калибровочной 5(7(2) 0(7(1) симметрии, а одна независимая линейная комбинация остаётся безмассовым бозоном, а это и есть фотон. Таким образом, механизм Хиггса блестяще справляется с задачей сделать векторные калибровочные бозоны Ж+, Ж“ и 2Г° массивными. Но фотон должен остаться безмассовым, и следовательно, одна из четырёх степеней свободы скалярного комплексного дублета Хиггса должна реализоваться как физический скалярный бозон - это Хиггс бозон.
В современном понимании Стандартная Модель (СМ) включает кроме электрослабые ещё и сильные взаимодействия. Квантовая Хромодинамика или КХД [9. 10, 11, 12, 13. 14], описывающая сильные взаимодействия
13
между кварками, основана на калибровочной группе симметрии вис(3), где символ с обозначает цвет. Каждому кварковому аромату соответствует 5{/с(3) кварковый триплет в трёхмерном пространстве цветов. С восемью генераторами группы 5£/с(3) связаны безмассовые калибровочные векторные поля С“, а = 1,..., 8, так называемые глюоны, не наблюдавшиеся в свободном состоянии, но входящие в состав адронов и полностью определяющие сильные взаимодействия между ними. Так как группа 5С/с(3) является неабелевой, существует взаимодействие между глюонами (трехточечные и четырёхточечные). Существенная нелинейность теории, проявляющаяся в самодействии глюонов, приводит к важным физическим следствиям. Одним из них является так называемая асимптотическая свобода (11,14], т.е. уменьшение “константы “ взаимодействия кварков и глюонов при их сближении до очень малых расстояний. Она играет важную роль в процессах с большой передачей импульса и облегчает задачу вычисления характеристик таких процессов, допуская применение методов теории возмущения. Вместе с тем, на больших расстояниях (> 10 13 см) эта же нелинейность теории приводит к таким силам между кварками и глюонами, которые не позволяют этим объектам появляться в свободном состоянии - это так называемый коифайнмент (12, 13]. Таким образом объясняется тот факт, что в свободном состоянии адроны являются бесцветными объектами.
1.1. Тождество Уорда в унитарной калибровке
Пропагаторы калибровочных векторных бозонов IV и Z в унитарной калибровке имеют простой вид:
+
ЯпЯа
мі
$а/3 +
Я2 V МІ, ’
ЯаЯ$_ М1
Я2 + Щ ’
(1.4)
Элементарная трёхбозонная вершина \УУУ А, где А - фотон, сохраняет ток на массовой поверхности. Действительно, рассмотрим УУ - бозонный элек-
УУ
Рис. 1.1. Вершит УУУУА, где А - фотон.
тромагнитный ток
Ц = в (Ч - К) - <4 (да + Ч) - (Яо - 2^)1 (1.5)
14
Выполняется ли условие = 0 ? Имеем
М/Г = е [5С.Д {я2 -(я- к)2) - ка [Я0 - к9) - qaks) И^И^. (1.6)
Очевидно, первый член в квадратных скобках равен нулю, так как на массовой поверхности имеем ц2 — —Мцг и (с/ - к)2 = — М^,'. Дальше, в унитарной калибровке на массовой поверхности имеем <?аИ/а = 0 и (<7—к)р\Ур = О, так как в этом случае IV - бозон удовлетворяет условие Лоренца
д1У„ д\у}, , ч
я^ = 0 и С1-7)
С/Х & 0X0
Следовательно, мы действительно имеем к^' = 0 в унитарной калибровке. Поэтому можно не сомневаться, что фотонная вершина с \У - бозоном внутри петли не помешает выполнению тождества Уорда в унитарной калибровке.
Рассмотрим однопетлевую фермион-фермион-фотонную вершину с участием IV - бозонов внутри петли. Исследуем справедливость тождества Уорда в этом случае,
к,Х™ (р, р-к,к)=еС}/ (Еи'(р) - Еи'(р - *)|, (1.8)
где Г* (р.р — к, к) - вершинная функция с IV - бозонами внутри петли, а £и/(р) и — к) - собственная энергия ферм ионов тоже с IV - бозоном
внутри петли. Вершинная функция в левой стороне тождества является суммой двух вершинных функций.
На Рис. 1.2 показана диаграмма Фейнмана, от которой приходит первая вершинная функция. Имеем соответствующее выражение для скаляр-
ного произведения
к„Т1^ (Р,Р~ к, к) = —ге (<2/ - 2/}3>) ~ 7«(1 + 75)
15
Л о і
k + 7,(1+7Л 10_Мк (L9]
(p — q — к)2 -f m'2 (p — q)2 -f m'2 ‘ q2 + MyV
После некоторой элементарной алгебры
7а(1 +7э) (p-q~k + im'^j к (p - q + im'} 7p(l + 75) = 27a(- (p - q)
[(P - q ~ к)2 + ma) + {p-q-k) [(p - qf + m'2]) 7p(l + 75) (1.10)
получаем
k„ Г™ (p, p-k,k) = e {Qj - 2/‘3)) [Еи'(р) - Ew(p - к)], (1.11)
На Рис. 1.3 мы видим диаграмму Фейнмана, от которой приходит вторая вершинная функция. Здесь мы сталкиваемся с той самой трехбо-
зонной IVIV А вершиной (Рис. 1.1). Памятуя выражение для скалярного произведения в (1-6), мы можем записать скалярное произведение для этой вершинной функции в следующем виде:
X „ I (я-к)а(д-к)х
к Г2И' (V V - к к) - —2ге /(3) 9- м"
к»(р,р к,к)- ге!, 8 I {2п)п {д_к)2 + М2
W
ЧвЧи
7 п + 7.) 1 + 7.) 6ви +
74 75' (р - + т*70[ Ъ> У- + М2,
[<5а1/ {я2 - {я- к)2) - (я - к)ьк„ ~ кхя»). (1.12)
Выполняя суммирование по повторяющимся индексов во второй строчке этого выражения, мы приходим к следующему его виду:
к„Г2™ (р,р- к, к) = 2ге /}3) ^ 7^(1. + ъ)
16
^а0 + $а0 +
{д-к)а{д-к)0 \
"Ж
д2 + Мц, (д - к)2 + МЪ
= 2с/'3) [Е1У(р) - 2% - к)}, (1.13)
Очевидно, суммируя левые стороны равенств (1.11) и (1.13), мы получим искомое тождество Уорда (1.8) в случае с IV - бозонами внутри петли.
1.2. Перенормировка
В периоде с 1973 но 1983 год были испробованы множество схем перенормировки [15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37). Проблема заключалась в том какой набор независимых переменных надо перенормировать. При этом одни группы использовали унитарную калибровку, другие - калибровку Т’ Хуфта - Фейнмана.
В схеме [15] электрический заряд е и массы калибровочных бозонов Ми/ и Мг были независимыми параметрами, хорошо, но перенормировка была сделана вне массовой поверхности, что уже нехорошо. Внешние линии свободных частиц давали дополнительный конечный вклад, что входит в противоречие с процедурой перенормировки Квантовой Электро-Динамики (КЭД), а ведь КЭД является частью СМ. В следующей схеме [16) наряду с электрическим зарядом е выбрали как независимые параметры слабый заряд д и масса только одного из калибровочных бозонов, М\у. Это привело к массе трудностей. Как задать условие перенормировки на массовой поверхности для слабого заряда д? В то время как условие перенормировки электрического заряда е в КЭД работает как надо, похожее условие для слабого заряда д даст нефизические инфракрасные и массовые сингулярности. Приходится привлекать процесс распада 1М-бозона, чтобы убрать эти сингулярности [16|, [17], [18], загоняя их в дополнительную перенормировку.
В коротком интервале времени 1979 - 1980 годов группы Вельтма-на и его сотрудники [38, 19, 20, 21], как и Консоли с его сотрудниками [22, 23, 24, 25), работая в калибровке Т Хуфта - Фейнмана, испробовали несколько схем перенормировок, выбирая в качестве независимых параметров то электрический заряд с и массы калибровочных бозонов Ми/ и М^, то слабый заряд д, синус угла Вайнберга 8ш0и/ и масса М\у с вытекающими из второго набора трудностями. В то же время Марчиано и Сирлин [26, 27, 28, 29] пришли к пониманию, что лучше всего взять в наборе независимых параметров электрический заряд е, массы калибровочных бозонов М[у и Мг и массы всех элементарных фермионов. Соответственно, синус
17
угла Вайнберга определяется равенством
q- 2 л _ , Щ,
(1.14)
которое остаётся точным на однопстлсвом уровне и на более высоких порядках теории возмущений. К этой же системе перенормировки пришли Флейшер и Йсгерленер [30], Дубненская группа [31, 32, 33] и (39, 40], японская группа [35, 36, 37]. В том числе и я в составе Дубиеиской группы . Скоро стало ясно, что независимо от того в какой калибровке ведется работа в СМ, унитарная или Т' Хуфта - Фейнмана, перенормируемость и унитарность обеспечены. Тем не менее, разные группы умудряются различаться в дегалях процедуры перенормировки, что конечно затрудняет сравнивание их результатов. Так например, Дубненская группа использовала схему перенормировки на массовой поверхности (OMS = On Mass-Shell) в полной аналогии с КЭД. В то время как некоторые группы использовали способ простого отбрасывания расходимостей (M~S = Minimal Subtraction scheme).
Процедура перенормировки в унитарной калибровке соответственно описана, например, в работах [39, 40) и [41].
Итак, тождество Уорда в силе как в секторе обычной КЭД, так и в полной СМ, где внутри петли имеем фотоны, Как следствие, перенормировка электрического заряда имеет простой вид:
Тут мы ввели константу перенормировки Ха фотонного поля. Константы перенормировки заряженного векторного бозона V/ и нейтрального бозона Хиггса II вводятся просто:
Посложнее надо вводить константы перенормировки нейтральных векторных бозонов А и X,
так как на однопетлевом уровне и выше возможен переход фотона в X -бозон и наоборот.
Соответственно, для перенормировки масс бозонов имеем
(1.15)
W0 = Zll2 W Но = Z1,!2 H.
(1.16)
(1.17)
ML — ZmwZw1Mw> Мог — ZmxZz1Mz, Mqw — ZmhZhxM2h. (1.18)
Перенормировка фермионных нолей имеет матричный вид:
Д = {Z'lX Я /о„ = (ZrX Я, (119)
18
Л ^ Z Z А А
ЛАЛАААА^рДАЛ/WWWV WWWVWV^pvVVVVVV
Рис. 1.4. Смешанные AZ и ZA - линии.
где //, - левый столбик фермионов всех поколений, а /в - правый столбик, а именно
к = / /л = /• (1.20)
Если пренебречь смешиванием фермионов, матрицы Z1I|2)г; и 2)[2)13 диагональные. Тогда матричная запись перенормировки фермионных масс
м1 = г11П гт, (1.21)
превратится в линейную запись для каждого фермиона, так как матрица масс фермионов и матрица констант перенормировки масс с размерностью массы Zmf станут диагональными.
Все приведенные выше константы перенормировки определяются требованием чтобы вычет для всех пропагаторов частиц на массовой поверхности равнялся единице.
После появления книги Бардина и Пассарино [42], Дубненская группа стала работать в обобщённой калибровке. Это означает, что в Лагранжиан включаются члены с голдстоуновскими полями Теперь, к
примеру, пропагатор ИV} - бозона выглядит следующим образом:
ЯаЯр
Mb QaQp 1
q2 + M& M'I q2 + ЄМІ '
(1.22)
Пропагатор соответствующего ему ноля ф+ имеет вид -г—\ - ,
я +
Надо добавить фиксирующие калибровку члены, которые, однако, нарушают калибровочную инвариантность. Поэтому необходимо ввести “призрачные” поля — духи Фадеева—Попова, чтобы компенсировать это нарушение. Калибровочная инвариантность восстанавливается, но в Лагранжиане присутствуют духи - скалярные фермионы Х+, Х~, УА и Yz, которые имеют неправильную связь между спином и статистикой. Однако, они только пропагируют и в сумме всех необходимых вкладов для данного процесса любой след от них исчезнет. Поэтому не подлежат перенормировки. Вопреки некоторой перегружености Лагранжиана, схема перенормировки осталась той же OMS. Тот же набор независимых параметров, тс же константы перенормировки.
19
2. Расчёт поправок для различных каналов распада
Хиггс бозонов
Стандартная модель электрослабых взаимодействий Глсшоу - Вайн-берга - Салама [4, 5, 6], несмотря на наблюдавшегося в многих экспериментах ДЕР, ТЕУАТЯСШ и др.) подтверждения её предсказаний, тем не менее имеет некоторые теоретические проблемы. Наиболее актуальным
November 2011
CMS PAS НІб-11-023. ATLAS-CONF-201-157
ATLAS ♦ CMS Preliminary, s s L,m a 1.0-2.3 lb '/experiment
34 — - і— —S»-
—•— Observed ■Ц ExpocSedi to
Expected» 2o
E3LEP excluded
Tevatron excluded LHC excluded
LEP (95%CL) mH> 114.4 GeV
Tevatron exclusion (95%CL) 100 < тн< 109 6e V 156 < тн< 177 6e V
200 300 400 500 600
Higgs boson mass (GeV/с2)
Рис. 2.1. Предсказания для массы бозона Хиггса (13.12.2011).
является вопрос об истинной природе механизма спонтанного нарушения SU(2)xU(l) - калибровочной симметрии. Общепринятый механизм Хиггса [7, 8] требует существования, по крайней мере одного, нейтрального скалярного бозона, слабо взаимодействующего с векторными калибровочными бозонами и с фермионами. Предсказание коллаборации ATLAS, представленные 13 декабря 2011 года, показаны на Рис. 2.2. Можно предположить, что масса бозона Хиггса % 126 GeV.
2.1. КЭД, слабые и КХД поправки для фермионных мод распада
На электрон - позитронном ускорителе ЬЕР надеялись обнаружить бозон Хиггса по его распадам в фермионные пары:
н - / + /. (2.1)
20
1.0-4.9 fb
Ldt =
AUAS
ATUS-CMS
Combination
145 MH [GeV]
Рис. 2.2. Предсказания коллаборации ATLAS для массы бозона Хиггса.
Этот процесс остаётся актуальным и для экспериментов на современном ускорителе протонов LHC. Несмотря на имеющуюся обширную литературу по распадам бозона Хиггса на фермионы (например, |30, 43, 44]), стоило углубиться в рассмотрении его проблем.
Рассмотрим в этой главе проведённое в унитарной калибровке вычисление [45] однопетлевых электрослабых и КХД поправок к ширине этого распада, имеющих, как известно, нетривиальное поведение в пределе больших масс хиггсовского бозона. Использовалась схема перенормировок на массовой поверхности. В этом исследовании было получено точное выражение для электрослабых поправок к ширине распада Я - бозона на фермионы. Дополнено асимптотическое выражение для этих поправок, полученное ранее Вельтманом [46], что позволило расширить область его применения до больших масс бозона Хиггса. Исследована связь между появлением массовых сингулярностей в КЭД части поправки с нарушением равенства констант перенормировки заряда и волновой функции. В конечном счёте представлено полученное нами полное выражение для ширины распада (2.1) с учётом электрослабых поправок порядка а и КХД поправок.
Лагранжан взаимодействия бозона Хиггса с фермионами имеет вид
i = (2'2)
21
В древесном приближении ширина распада выражается формулой
Г“ = Мс£т2Мнт'№' (2-3)
где 1УС - цветовой фактор, равный единице для лептонов и 3 для кварков,
4771
01 = (1 —м/)5 “ скорость вылетающих фермионов, С? = 1,166389.10~5 ГэВ~2 - константа Ферми, взятая из мюонного распада с учётом того, что она вобрала в себя однопетлевую слабую поправку к ширине мюонного распада |39, 40).
Ширину распада на фермионы (2.1) с учётом однопетлевых электро-слабых и КХД поправок определим следующим образом:
Г = ЕГо(1 + ^Й<5ЕО) (1 + ^к) (1 + . (2.4)
где через <5сда), (5^г°ек и обозначены КЭД, слабая и КХД поправки, которые будут рассматрмваться ниже.
2.1.1. КЭД поправка
/ / /
Рис. 2.3. Диаграммы Фейнмана, дающие вклад в 5У.
Подчеркнём, что КЭД поправка <$^Е£) является калибровочно - инвариантной. В неё дают вклад вершинная диаграмма с промежуточным виртуальным фотоном и соответствующие контрчленные диаграммы на Рис. 2.3, а также диаграммы с излучением реального фотона на Рис. 2.4.
Вклад вершинной части КЭД поправки складывается из вклада первой диаграммы
,„2^,2 Г <^Р . Скі - V + гт}){к2 - р + гт}) 1
^/ (2ІР2“2Р^кЖ- 2р ■ кг) ’ ? 7“ ( 5)
и вклада соответствующих контрчленных диаграмм на Рис. 2.3. Здесь к\ и к<2 - 4-импульсы конечных фермионов, ар- 4-импульс виртуального фотона.
22
/
7
/
7
/
Рис. 2.4. Диаграммы Фейнмана, дающие вклад в 5Вгеш.
Производя перенормировку в рамках квантовой электродинамики, связываем “голые” величины с физическими
тк = т, 4- (5т/, /0 = 2) /.
(2.6)
те
С другой стороны, перенормировка юкавской константы связи ду = Ятггг~
2М\у
имеет вид:
9к0 = ду2Яггг 1. Таким образом получаем контрчленный вклад
сі. = г9У -1 = 2> -1 +
ті
(2.7)
(2.8)
где имеем
11 ?-н 1 -с? 2?г у
8т / т./ -д2г 2тг '
1 1 3, т| Л
— + т 4- ~ 1п —« — 2
2є є 2 р,2
3 3 т}
й + 2,П^-2
(2.9)
(2.10)
1
1
Здесь ввели - - полюсный ультрафиолетово расходящийся член, - - по-Є £
люсный фактор инфракрасного происхождения, р - параметр размерности
массы.
После взятия интеграла в (2.5) имеем
к
+
"*"^2 + I + ^2(1)
т2
777/
Щ
Ь^С+1п*ІГ&
1+0/ 1+Р/
4 т) 1 , 1-0/Л
мISlnГTa) + c■,■
(2.11)
23
В конечном счёте получаем для вклада <5У вершины выражение
(2.12)
которое содержит инфракрасные расходимости. Устранение этих расходимостей производится прибавлением вклада £Вгеш от тормозного излучения фотона. Так как инфракрасные расходимости содержатся лишь во вкладе от излучения мягких фотонов, при вычислении (5Вгет производилось разбиение фазового объёма излучающихся фотонов по энергии посредством введения искусственного параметра обрезания щ, который, естественно, не входит в конечный результат. Вклад мягких фотонов вычислялся в п -мерном пространстве, используя размерную регуляризацию. Окончательное выражение для <5Вгст имеет вид
^Вгот _
2т? \
1 . гп} 13 01 т?
— — 1x1 —7Г + — + 31п
щ
3 т)
2 М2Н ,6}
+
- 1-
+ 1-
2 т)
\
м%) щ
\-S3f
М],) Р, \+РГ\
4т)\ 1 1 — 0г ( Л 3 гп) \
2-«г)а,п1Та(21п,,'-2|"4)
1-0,
21п/3/ - 21п
т)
Щ.
1п + 1п2
1 + /?/
2т}\_
Щ ) Р1
4- 71л2(1)
2 Мн0}) Р{ 1 + Р/
(2.13)
1
31п‘
1=Л
1+/?/
4- 2Ь\2
(1 + Р})‘
4~ 4Ы2
Суммируя оба вклада (2.12) и (2.13), получаем окончательное выражение для КЭД поправки к ширине распада бозона Хиггса на пару фермиоиов
юеб _ 9 __ ^т/ 1 4 2 Щ0)
4-
+ 1-
мн ) Р{ 1 + 0Г
2 т,)\
(2.14)
М2Н) Р;
31п2тт§+2и'2
(1 -ад: (1+ад2.
4- 41л2
1 -Р!
1 + Р/.
24
В пределе т/ Мн имеем 0j —► 1 и тогда получаем
Р = ^ІП^'
4 2 M/j
(2.15)
Видно наличие в КЭД поправке логарифмической массовой сингулярности. Результат (2.14) и, как следствие, (2.15) был получен впервые в [43], а затем воспроизведён в работе М. Dress и К. Nikasa (CERN-TH 5393/89; CERN-TH 5642/90). Однако, он не совпадает с выражением (£Brem = |)} приводимым в более поздней работе [44], в которой отсутствие в КЭД поправке массовой сингулярности ошибочно принимается за критерий правильности расчёта. Впрочем, легко убедиться, что приводимый в [44] вклад от перенормированной вершины не относится к рассматриваемому распаду, а соответствует распаду виртуального фотона на ферм ионную пару.
На Рис. 2.5 графически изображена КЭД поправка — ф? <5^Е0 (в
7Г
процентах) к парциальной ширине распада Я —> ЬЬ. Как видно из рисунка, а также из таблицы 2.1, она отрицательна и мала, порядка -0.14- -0.3 %. Её поведение при больших массах хиггсовского бозона определяется асимптотической формулой (2.15).
Обсудим появляющийся в предельном выражении (2.15) член, содержащий логарифмическую массовую сингулярность. Прежде всего отметим, что, как было показано в [43], его наличие не приводит к нарушению теоремы Киношиты - Ли - Науенберга [47, 48]. Легко видеть, что сумма вкла-
25
дов тормозного излучения и вершины, с неперенормированной константой связи, свободна от массовых сингулярностей. Таким образом, появление в (2.15) логарифмического члена является следствием перенормировки юкавской константы взаимодействия ду.
Рассмотрим более общий случай скалярного взаимодействия произвольного нейтрального бозона с фермионами. Лагранжиан взаимодействия выглядит следующим образом:
Ь = -ду}75, (2.16)
где ду ~ произвольная юкавская константа, 5 произвольное скалярное иоле. Перенормировку делаем аналогично (2.6) и (2.7). Как обычно, фиксируем контрчлены условием равенства нулю на массовой поверхности суммы вклада от вершины с виртуальным фотоном и вклада от контрчленов. Обнаруживается интересная связь между константами перенормировки:
с
2ду = 2/ Н + const. (2.17)
ттг/
Отсюда видно, что, какова бы ни была юкавская константа в случае скалярной вершины, её перенормировка всегда влечёт за собой перенормировку массы, что в свою очередь приводит к появлению в поправке массовой сингулярности. Однако, если юкавская константа пропорциональна, массе, что и имеет место в Стандартной Модели, то драматической ситуации не возникает, поскольку в полную ширину тогда войдёт член 6т/, а не 6т г
член —являющийся источником массовой сингулярности. Как видно 771/
из (2.10), при ту —> 0 имеем 6т/ —► 0 и, следовательно, ширина распада бозона Хиггса не содержит логарифмических массовых сингулярностей:
9 3 . 777/ "
4 + 21пМЪ
(2.18)
Как видно из (2.8), в случае скалярного взаимодействия хиггсовского бозона с фермионами не выполняется равенство констант перенормировки заряда и волновых функций [2д = 2’/), которое в квантовой электродинамике являлось следствием выполнения тождества Уорда. Из (2.8) видно
6т г
также, что именно член —являющийся источником массовой сингуляр-
777/
ности, нарушает равенство констант перенормировки. Поэтому естественно предположить, что появление массовой сингулярности в поправке связано с нарушением этого равенства. Па возможность существования такой зависимости обращал внимание Киношита [47].
/
/
Рис. 2.6. Диаграммы Фейнмана, дающие вклад в £иеск.
2.1.2. Слабая поправка
В слабый формфактор ^ЛУеек распада дают вклад вершинные диаграммы, представленные на Рис. 2.6. Здесь // - промежуточный фермион. Вклад этих диаграмм имеет громоздкий вид (см. (45]). Контрчлены выражаются через константы перенормировки следующим образом:
15М1 ^ 5_ д 9 '
т} 2v ' 2 Мц,
(2.19)
Обозначения и выражения для всех констант перенормировки можно найти в работах [49, 39, 40]. В пределе тп/ < Мц для поправки 5и°ек получаем
;\Veek
1
(IS
4(1 -R)
[(f-и
Mk, 1 Л Ш?
Ml 2 V Ml
w
In
M}
Ml
1 -R
R
(2(1 - R)Q) - \Q,\) (ln! Щ-7-£+ (2.20)
1
Ml
10Ml\lnMl + i _____
4 R\ Ml j Ml 4 I Ml - Mw
Mh
In R 1 + 1 - R 2 R
rn:
2 Ml
In"
mt
—T + о + 47t 17—^l2 ^ —
mf 2 MH \
Ml
mf
- 37Г
Ml
где Я = ~ГТ2‘ (2-20) видна интересная особенность слабых поправок
Мн
к ширине распада Н - бозона на фермионы - их квадратичный рост при больших массах хиггсовского бозона. Заметим, что квадратичный рост поправок, т.е. первое слагаемое в (2.20), впервые был обнаружен Вельтманом
27
[46], однако пренебрежение остальными слагаемыми, очевидно, допустимо лишь в области Мц М\у. Как видно из Рис. 2.7, при массах Я - бозона порядка 600 ГэВ квадратичный рост слабой поправки ещё мало заметен, так как основной вклад в неё дают логарифмические члены. Поэтому при средних массах бозона Хиггса недопустимо учитывать только первое слагаемое в (2.20). При меньших же массах бозона Хиггса приближение (2.20) сильно отличается от действительного поведения слабой поправки. Следовательно, если масса Я - бозона меньше 500 ГэВ, то для вычисления слабой поправки следует использовать точное выражение (см. [45], формула (3.1)). Отметим также, что квадратичный рост слабой поправки, как может показаться, делает невозможным применение теории возмущений. Однако, из графика на Рис. 2.7 видно, что при Мн = 1000 ГэВ слабая поправка составляет 16%, следовательно, теория возмущений ещё применима.
2.1.3. КХД поправка
В случае распада бозона Хиггса на кварки необходимо учитывать КХД поправку <^СЕ>. Она получается из <5^ЕГ) стандартной процедурой [50],
28
т.е. поправка с учётом только КХД поправок имеет вид
Г«со = Го (і + ^ | ^Е0) ,
(2.21)
где в однопетлевом приближении бегущая КХД константа связи а8 выражается через феноменологический параметр Л и число Лг/ кварковых ароматов следующим образом:
12тг
а., «
33 - 2ЛГ/
1п
-і Мн А2 *
(2.22)
Комбинаторный фактор -, появляющийся в (2.21), связан с цветным взаимодействием кварков. Реккурентная зависимость парамегра Л от числа кварковых ароматов IV/ вычислялась по формулам, приведённым в [51]. При этом в качестве начального бралось значение А4 = 0.180 ГэВ.
В пределе т/ <С Мн имеем :
Г’
екю
771/
9 3,
- 4- - т я ~ 4 2 М%
(2.23)
В пределе Мн —> оо при = 6 из (2.23) получаем Г/СЕ) = ~|Г0. Такой результат не является физическим. Следовательно, нельзя ограничиваться приближением порядка а3. Используя результат суммирования по всем порядкам теории возмущений в приближении ведущих логарифмов, полученный в [43], имеем
6*™ - £ 1п 2
777/ "
М.
(2.24)
где через
24
Го = Го
2 т;
ХП-А-
1п
М
н
А
33 -
(2.25)
обозначено модифицированное древесное приближение ширины распада, включающее в себя часть КХД поправок.
Как видно из Рис. 2.8 и Табл. 2.1, КХД поправка, определённая выражением (2.24), положительна и составляет 10 -г 15 % при Мц » 100 ГэВ.
29
О 250 500 750 /ООО
Мн, ГэВ
Рис. 2.8. КХД поправка.
Рис. 2.9. Полная поправка для фермионных мод распада Н - бозона.