Глобальная теория вещественных особенностей коранга 1 и ее приложения в контактной геометрии пространственных кривых

Оглавление
Введение 6
1 Топология мультиособенностей коранга 1 устойчивого гладкого
отображения в пространство нестрого ббльшей размерности 29
1 Устойчивые гладкие отображения коранга <1 .............................. 30
1.1 Основные определения и обозначения.............................. 30
1.2 Некоторые сведения из теории стратификаций...................... 34
1.3 Примыкание мультиособенностей отображения....................... 35
2 Ац-преобразование устойчивого гладкого отображения коранга <1 . . 39
2.1 Определение и основные свойства................................. 39
2.2 Вспомогательные утверждения .................................... 44
2.3 Доказательство теорем 2.1.1, 2.1.2 и 2.1.7...................... 46
3 Разрешение мультиособенностей
устойчивого гладкого отображения коранга <1.......................... 49
3.1 Основная конструкция............................................ 49
3.2 Вычисление относительных индексов
мультиособенностей............................................. 52
4 Каноническая стратификация
характеристического многообразия..................................... 56
4.1 Особенности типа ££(/).......................................... 56
4.2 Особенности канонической стратификации.......................... 61
4.3 Вспомогательные утверждения .................................... 62
4.4 Доказательство теоремы 4.2.2.................................... 64
5 Линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособенностей
устойчивого гладкого отображения коранга. <1......................... 75
5.1 Основная формула................................................ 75
5.2 Вычисление линейных соотношений между эйлеровыми
характеристиками многообразий особенностей образа отображения в пространство ббльшей размерности................. 77
2
5.3 Вычисление линейных соотношений между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособеиностей отображения .многообразий одинаковой размерности...................... 80
5.4 Некоторые соотношения по модулю 2 между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособеиностей отображения многообразий одинаковой размерности....................... 83
5.5 Полнота систем соотношений (1.10) и (1.19)...................... 87
2 Топология особенностей коранга 1
устойчивого волнового фронта 96
1 Лежандровы отображения, фронты
и их особенности..................................................... 97
1.1 Основные примеры лежандровых отображений........................ 97
1.2 Классификация особенностей лежандровых отображений .... 99
1.3 Устойчивые лежандровы отображения коранга < 1
и их фронты....................................................102
1.4 Примыкания особенностей устойчивого фронта
коранга <1.....................................................104
2 Разрешение особенностей
устойчивого фронта коранга <1........................................107
2.1 .^-преобразование фронта........................................107
2.2 Основная конструкция............................................110
2.3 Вычисление относительных индексов
особенностей фронта............................................116
2.4 Особенности канонической стратификации характеристического многообразия
особенностей фронта............................................116
3 Линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей устойчивого фронта коранга <1...................120
3.1 Вычисление соотношений между эйлеровыми
характеристиками...............................................120
3.2 Полнота системы соотношений (2.9)...............................124
4 Линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей на крае связной компоненты дополнения
к устойчивому фронту коранга <1......................................127
4.1 Правильные связные компоненты дополнения к фронту 127
4.2 Вычисление соотношений между эйлеровыми
характеристиками многообразий особенностей.....................129
4.3 Полнота систем соотношений (2.19) и (2.23)......................137
3
4.4 Специальные фронты в!п........................................140
4.5 Доказательство теоремы 4.3.7..................................144
4.6 Вспомогательные утверждения ..................................146
4.7 Доказательство теоремы 4.2.4..................................147
3 Приложения к некоторым задачам
анализа и геометрии 150
1 Топология особенностей множества
Максвелла семейства гладких функций.................................151
1.1 Множество Максвелла глобальных минимумов......................151
1.2 Случай некомпактного многообразия параметров..................156
1.3 Множество Максвелла глобальных максимумов.....................159
2 Топология особенностей множества опорных гиперплоскостей гладкого
подмногообразия в аффинном пространстве.............................159
2.1 Особые опорные гиперплоскости.................................159
2.2 Слабо выпуклые, подмногообразия в ............................163
3 Топология особенностей множества опорных гиперсфер гладкого подмногообразия
в евклидовом пространстве...........................................166
3.1 Особые опорные гиперсферы.....................................166
3.2 Доказательство теорем 3.1.5 и 3.1.9...........................169
3.3 Топология множеств симметрий, конфликтных множеств
и множеств средних точек гладких подмногообразий в Шк .... 171
4 Контактная геометрия
пространственных кривых 175
1 Многомерное обобщение теоремы Фридмана
о тройных касательных плоскостях кривой в R3........................176
1.1 Точки уплощения пространственной кривой.......................176
1.2 Фронт касательных гиперплоскостей кривой......................177
1.3 О четности числа п-касательиых гиперплоскостей
замкнутой кривой в RPn........................................179
2 Теорема о четырех точках уплощения
слабо выпуклой кривой в R3.........................................182
2.1 Формулировка результата ......................................182
2.2 Вспомогательные утверждения ..................................185
2.3 Доказательство теоремы 2.1.9..................................188
4
2.4 Дискретный вариант теоремы
о четырех точках уплощения....................................191
3 Решение задачи Арнольда о допустимых
гомотопиях кривой х = cos t, у = sin z = cos Zt.................193
3.1 Допустимые (по Арнольду) гомотопии кривых в RР3 ...............193
3.2 Замкнутые двойные линии фронта.................................195
3.3 Диаграмма главных уплощений кривой.............................197
3.4 Доказательство теорем 3.2.3 и 3.3.5............................198
3.5 Доказательство теоремы 3.2.5...................................199
3.6 Доказательство предложений 3.2.8 и 3.3.7.......................203
4 Обобщение классической формулы Бозе
на кривые в многомерных пространствах................................208
4.1 Особые опорные гиперсферы выпуклой кривой в R2m................208
4.2 Кривые выпуклые по Варнеру в RРп...............................209
4.3 Особые опорные гиперплоскости кривой
выпуклой по Варнеру в R2m+1...................................211
4.4 Доказательство теоремы 4.3.1...................................211
4.5 Вспомогательные утверждения ...................................212
4.6 Доказательство предложения 4.4.1 ..............................214
4.7 Доказательство предложения 4.4.2 ..............................215
4.8 Доказательство теоремы 4.1.1...................................216
5 Таблицы соотношений между
эйлеровыми характеристиками 221
1 Таблица...............................................................222
2 Таблица...............................................................223
3 Таблица...............................................................224
4 Таблица...............................................................225
5 Таблица...............................................................226
6 Таблица...............................................................228
7 Таблица...............................................................231
8 Таблица...............................................................233
9 Таблица...............................................................234
10 Таблица...............................................................236
11 Таблица...............................................................237
12 Таблица...............................................................240
13 Таблица...............................................................242
Список литературы 243
5
Введение
Опорными окружностями замкнутой кривой на евклидовой плоскости называются касательные окружности, от которых кривая лежит с одной стороны. Суммарная кратность касания опорной окружности с кривой общего положения не превосходит трех. При этом может быть лишь конечное число опорных окружностей, которые касаются кривой в трех различных точках или являются ее окружностями кривизны (последние касаются кривой ровно в одной точке с кратностью три).
Рассмотрим внешне-опорные окружности кривой, т.е. опорные окружности, от которых кривая лежит с внешней стороны по отношению к центру окружности. Через Т обозначим число внешне-опорных окружностей, касающихся данной кривой в трех точках, а через С - число ее внешне-опорных окружностей кривизны. Тогда
С-Т = 2 (0.1)
для любой замкнутой выпуклой кривой общего положения на плоскости. Аналогичное соотношение справедливо и для соответствующих чисел внутренне-опорных окружностей.
Эти замечательные формулы обнаружил Бозе [62] в 1932 году, получив, тем самым, простое доказательство классической теоремы Махопадхайя (84] о четырех вершинах. Согласно этой знаменитой теореме, любая замкнутая вложенная кривая на евклидовой плоскости имеет не менее четырех геометрически различных вершин (экстремумов кривизны). Для выпуклых кривых общего положения это мгновенно следует из формул Бозе.
Действительно, если окружность кривизны кривой в данной точке £ является опорной, то Ь - критическая точка функции кривизны этой кривой. Поскольку все критические точки функции кривизны кривой общего положения невырождены, то t - вершина рассматриваемой кривой. Остается заметить, что никакая окружность не может быть одновременно внешне-опорной и внутренне-опорной окружностью кривой общего положения (кривая общего положения не является окружностью).
Формула (0.1) послужила отправной точкой исследований, результатам которых посвящена данная диссертация. Основной нашей целыо было нахождение соотно-
б
шений между дифференциально-геометрическими характеристиками расположения гладких подмногообразий в пространствах с дополнительной структурой (в частности, получение многомерных обобщений формул Бозе). Основным результатом явились не только многочисленные таблицы найденных нами новых соотношений, но и те методы, которые позволяют эффективно их вычислять в некоторых задачах анализа, геометрии и топологии.
Рассматриваемые проблемы относятся к глобальной теории особенностей (см. главу 4 в обзоре [8]). Возьмем, например, замкнутую кривую общего положения в евклидовом пространстве Е*. Внешне-опорная гиперсфера кривой называется особой, если либо кривая касается этой гиперсферы в одной точке с кратностью, большей 1, либо она касается гиперсферы в нескольких разных точках. Центры особых внешнеопорных гиперсфер кривой образуют особую гиперповерхность в Е/с. Особенности этой гиперповерхности хорошо известны (см., например, [9]). Наша задача состояла в том, чтобы изучить условия сосуществования этих особенностей.
В случае выпуклой кривой на плоскости это сделать нетрудно. Указанная гиперповерхность представляет собой конечный граф, локальная степень вершин которого равна либо 1 (такие вершины являются центрами внешне-опорных окружностей кривизны кривой), либо 3 (центры внешне-опорных окружностей, касающихся кривой в трех точках). Формула Бозе следует из того, что этот граф односвязен, а его ребра удовлетворяют известному соотношению инцидентности: удвоенное число ребер графа равно сумме локальных степеней всех его вершин (это верно для любого конечного графа при условии, что вклад в локальную степень вершины каждого ребра, являющегося петлей, инцидентной этой вершине, равен двум; см. [34]).
В случае выпуклых кривых в пространствах большего числа измерений особенностей больше и ситуация значительно сложнее. Во-первых, необходимо найти топологические условия на гиперповерхность центров внешне-опорных гиперсфер кривой, которые следуют из условия выпуклости (напомним, что кривая в К* выпукла, если она пересекает любую гиперплоскость не более, чем в к точках с учетом кратностей; такая кривая может быть замкнутой только при четном к). Во-вторых, необходимо вычислить линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей у любой гиперповерхности с аналогичными особенностями (такие соотношения обобщают соотношение инцидентности в графах).
Обе эти задачи удалось решить. Более того, что касается второй из них, то мы предлагаем метод, который позволяет эффективно вычислять линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособенностей устойчивого гладкого отображения гладкого замкнутого многообразия в пространство той же или большей размерности при условии, что это отображение имеет только особенности коранга 1. Необходимость изучения глобального поведения особенностей таких
7
отображений возникает во многих областях современной математики и, в частности, в контактной геометрии пространственных кривых. Вычисление соотношений между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособенностей позволило нам получить важные результаты в ряде хорошо известных задач.
Для примера мы приведем обобщение формулы Бозе для замкнутых выпуклых кривых общего положения в К10. А именно, пусть х(д|'," число внешне-опорных гиперсфер, которые касаются данной кривой в &1+.. .+кр попарно различных точках, среди которых к%}г = 1,...,р точек с кратностью касания д,-, где > ... > цр и кфх +... + крЦр = 11. Тогда
42х(Л) - 14х(й) - 5*0 + ЬхО - 4х(й) " 2*(ад) + 2*6#)
- 2х(й) + Х(й) - х(зд) + х(й) - Х(¥) = 252 .
С точностью до знака каждый коэффициент в левой части этого соотношения является произведением нескольких членов из последовательности Каталана 1,1,2,5,14,42. Правая часть соотношения равна (10/2 + 1) • 42. Аналогичное соотношение справедливо и для внутренне-опорных гиперсфер кривой.
Эти формулы, как и многие другие результаты диссертации, получены при помощи оригинального разрешения устойчивых мультиособенностей коранга 1, возникающих в соответствующих задачах. Наш метод разрешения является обобщением известного в алгебраической геометрии принципа итерации Клеймана [75], который обычно используется в комплексных задачах при исследовании циклов кратных точек общих голоморфных отображений коранга 1 (см. [64],[68],[69],[76],[80] и др.).
В отличие от принципа итерации, мы рассматриваем циклы произвольных устойчивых мультиособенностей коранга 1, причем используем более тонкую процедуру при построении разрешающего многообразия. Это позволяет получить значительно большую информацию о топологии рассматриваемых особенностей, что и приводит к новым результатам в различных приложениях. Мы изучаем здесь только вещественные задачи. В комплексном случае использование обобщенного принципа итерации также привело к некоторым новым результатам в глобальной теории особенностей коранга 1 (см. [29],[30]).
Подробное описание полученных нами результатов приведено ниже. Мы предваряем его кратким содержанием диссертации, описанием структуры текста и важнейшими терминологическими соглашениями.
Краткое содержание и структура диссертации. Диссертация состоит из пяти глав. В первых двух главах описывается конструкция разрешения мультиособен-иостей коранга 1 устойчивого гладкого отображения в пространство той же или большей размерности, а также особенностей коранга 1 фронта устойчивого лежандрова
8
отображения. Вычисляются линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий этих (мульти)особеиностей. Третья и четвертая главы посвящены различным приложениям результатов глав 1 и 2 в теории особенностей множеств Максвелла глобальных минимумов семейств гладких функций, множеств симметрий гладких подмногообразий в R*, конфликтных множеств, множеств средних осей, а также в контактной геометрии пространственных кривых. В заключительной пятой главе мы собрали вместе таблицы линейных соотношений между эйлеровыми характеристиками многообразий (мульти)особенностей коранга 1 в пространствах небольшой размерности.
Каждая из первых четырех глав состоит из параграфов, разбитых на разделы. Параграфы нумеруются заново в каждой главе, разделы нумеруются заново в каждом параграфе. Номер раздела b в параграфе а имеет вид a.b.
Все определения, теоремы, следствия, предложения, леммы, замечания и примеры пронумерованы единым перечнем заново в каждом разделе. Номер имеет вид
а.Ь.с, где а - помер параграфа, b - номер раздела, а с- номер элемента перечня. При ссылках на элемент перечня из другой главы указывается, дополнительно, номер этой главы (например, теорема 4.2.5 из главы 1).
Рисунки, а также выключные формулы нумеруются заново в каждой главе. Нумерации формул и рисунков раздельные. Номер имеет вид (а, 6), где а - номер главы (для введения а = 0), а b - номер рисунка (или формулы). Нумерация таблиц является единой для всего текста.
Важнейшие терминологические соглашения. Если не оговорено противное, то слова “гладкий” и “дифференцируемый” везде далее означают “6f0°-дифференцируемый”, рассматриваемые многообразия вещественны и не имеют края. Гладкое компактное многообразие без края называется замкнутым. Эйлеровой характеристикой х(£) топологического пространства Е мы называем альтернированную сумму чисел Бетти групп гомологий с компактными носителями. Накрытием называется любое локально тривиальное расслоение с конечным слоем.
Все встречающиеся в дальнейшем пространства гладких отображений снабжены С°°-топологией Уитни (тонкой в случае некомпактного прообраза). Многие утверждения мы формулируем для отображений (в частности, для подмногообразий) общего положения. Это означает, что для каждого утверждения существует открытое всюду плотное подмножество в соответствующем пространстве, для всех отображений из которого справедливо указанное утверждение.
Пусть А - свободная абелева полугруппа по сложению со счетной системой образующих. Выберем подмножество В С А и рассмотрим вещественное векторное пространство Ев финитных функций В -4 К (т.е. равных нулю всюду, кроме конечного числа точек). Зафиксируем непустое подмножество Ü С Ев и возьмем произвольную
9
ненулевую линейную функцию а : Ев -> К. Если а принимает одинаковое значение /3 € Ж во всех точках из £1, то мы будем говорить, что имеется универсальное линейное соотношение а(х) = /3 между значениями функций х € П. Система универсальных линейных соотношений называется полной, если она определяет минимальное аффинное подпространство в Ев, содержащее П.
В дальнейшем мы изучаем подмножества П в пространствах вида Ев, построенные по некоторым классам гладких отображений следующим способом: отображению / сопоставляется функция х/ £ Ев, значение х/(*4) которой на элементе А € В равно эйлеровой характеристике х(*4/) некоторого гладкого многообразия А/> естественным образом определяемого по / и А.
Подробное описание полученных результатов. В первой главе мы изучаем топологию мультиособенностей устойчивого гладкого отображения гладкого многообразия в пространство большей или той же размерности в предположении, что это отображение имеет лишь особенности коранга 1.
Пусть М и V - произвольные гладкие многообразия положительных размерностей шип, соответственно, где / = п - т > 0. Рассмотрим гладкое собственное отображение / : М —> V. Его ростки в особых точках классифицируются относительно гладких замен локальных координат на многообразиях М и V. Классы эквивалентности ростков называются особенностями. Отображение / называется отображением коранга < 1, если размерность ядра его производной нигде не превосходит 1. Отображения общего положения многообразия М в многообразие V при т < 4+21 являются отображениями коранга < 1.
Предположим, что / - устойчивое отображение коранга < 1. Тогда .локальные алгебры ростков этого отображения изоморфны 1-алгебрам срезанных многочленов от одной переменной степени не выше д, где д. - целое неотрицательное число, р < т/(/+1). В подходящих гладких локальных координатах на многообразиях М и V все ростки отображения / с локальной алгеброй, изоморфной алгебре Щ(£]]/(<д+1), задаются одной и той же формулой Морена [83] (см. также [5]). Соответствующая особенность называется особенностью типа А(1 (объясняется это тем, что если I = 0 и локальная алгебра отображения / в точке х изоморфна алгебре К[М]/(£П+1), то множество критических значений ростка (/,#) диффеоморфно ростку в нуле замыкания множества неособых точек вещественной части многообразия нерегулярных орбит действия группы Вейля Ап на комплексификации евклидова пространства Кп).
Мультиособенностыо отображения / в точке у еУ называется неупорядоченный набор особенностей / в попарно различных точках х € М из полного прообраза Мультиособенности устойчивого отображения / коранга < 1 классифицируются по элементам А = + ... + Ан свободной абелевой полугруппы А по
сложению, образующими которой служат символы ... (в частности,
10
/ имеет мультиособенность тина 0 € А в любой точке у € V \ }(М)). Множество А/ точек у е V, в которых / имеет мультиособенность типа А, является гладким подмногообразием коразмерности
р
сосНт/Л = (1 + + < п
г=1
в V. Оно называется многообразием мультиособенностей типа А отображения /.
Образ /(М) отображения / является особым подмножеством коразмерности I в
V. Его ростком в точке у € V называется объединение образов ростков (/, х) в точках * € /"Чу)* Если / > 0, то особенности образа устойчивого отображения } коран га < 1 также классифицируются по элементам полугруппы А. А именно, множество ДМ) имеет особенность типа А € А в точке у € V, если мультиособенность отображения / в точке у имеет тип А. Две особенности образа устойчивого отображения / коранга < 1 в пространство большей размерности диффеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый тип. Многообразие А/ в этом случае называется многообразием особенностей типа А образа отображения /.
ПРИМЕР. Устойчивая поверхность (т.е. образ устойчивого гладкого собственного отображения двумерного многообразия) в трехмерном пространстве состоит из неособых точек типа А0 (образующих гладкие куски), а также может иметь точки типов 2Ао (образующих кривые) и ЗАо (изолированные точки) трансверсально го пересечения двух и трех гладких ветвей, и отдельные точки с особенностью типа Аи называемой зонтиком Уитни (см. рис. 0.1 на стр. 12). Устойчивая гиперповерхность в четырехмерном пространстве может иметь лишь особенности типов рА0,р < 4 (траисверсальиое пересечение р гладких ветвей), А\ (цилиндр над зонтиком Уитгш) и А\. + Ао (трансверсальное пересечение цилиндра зонтиков Уитни с гладкой гиперповерхностью).
В параграфе 2 мы определяем конструкцию, которая каждому устойчивому отображению / коранга < 1 сопоставляет новое отображение того же типа с той же коразмерностью образа, но с более простыми особенностями. Эта конструкция задается типом Ар особенностей отображения / и называется А ,4-преобразованием.
Пусть ФЛ/1 - замыкание множества точек х е М, в которых / имеет особенность типа А,,. Это - гладкое подмногообразие коразмерности р{1 + 1) в М. Чтобы определить Ар-преобразование (Ад](/) отображения /, необходимо взять замыкание Фл^,а0 подмножества в ФАй х Фд0, образованного парами (х,£) точек х € Ф^ \ ФА,л€ ФЛо \ Фдп£ Ф х таких, что /(х) = /(£). Это замыкание является гладким подмногообразием в Фа,с х Фа0 (теорема 2.1.1). По определению, [Ам](/) - композиция гладких отображений Фа^Ао х Фд0 Фл„> первым из которых является естественное
и
Рис. 0.1: Особенности устойчивых поверхностей в трехмерном пространстве.
вложение, а второе представляет собой проекцию прямого произведения на первый сомножитель.
Отображение [Лд](/) является устойчивым гладким собственным отображением кораига < 1 (теорема 2.1.2). Его свойства описаны в теореме 2.1.7. Оказывается, что особенности отображения [Л^](/) связаны с краевыми особенностями серии В, которые изучались Арнольдом в [3]. Например, если I = 0 и образ отображения / имеет особенность типа Аи, V > д, в некоторой точке у € V, то росток в точке /~1(у) пары в Фа,, , образованной подмногообразием Фд<<+1 и множеством критических значений отображения [Ад](/), диффеоморфен ростку в нуле прямого произведения пространства Еп_|/ и пары, состоящей из неприводимых компонент замыкания множества неособых точек вещественной части многообразия нерегулярных орбит действия группы Вейля Ви..ц на комплексификации евклидова пространства
В параграфе 3 определяется основная конструкция - разрешение мультиособен-
12
иостей устойчивого отображения / кораига < 1. Разрешение мультиособенпостей типа А = Ащ + ... + А(1р е А отображения / строится при помощи итерации Ам-преобразоваиий, где ц - дь...,др. Такая итерация сопоставляет элементу А гладкое многообразие Фд (пространство, в котором лежит образ последнего Ац-преобразования) и гладкое собственное отображение : Фл V такие, что:
1) образом отображения является замыкание в V объединения многообразий (Л + Ы0)/ по всем целым к > 0 (если / > 0, то это - замыкание многообразия Л/);
2) если мультиособенность типа X е А отображения / примыкает к мультиосо-бенности типа Л 4- кА0, то ~ конечное накрытие над многообразием X/;
3) кратность этого накрытия зависит только от Л и X (т.е. не зависит ни от отображения /, ии от многообразий М и V); она называется индексом мулътиособенпости типа X относительно мультиособенности типа Л и обозначается 1л{Х).
Пары (Фд,^), полученные при разных упорядочениях набора ци...,Цр естественно диффеоморфны (теорема 3.1.4). В теореме 3.2.1 мы приводим рекуррентную формулу, которая позволяет быстро вычислять индексы 1а(Х).
Пример. Рассмотрим устойчивую компактную поверхность в трехмерном пространстве. Многообразие $2л0 представляет собой одномерное многообразие, каждая связная компонента которого диффеоморфна окружности. Образом этого многообразия при отображении (/?2Ао является множество всех особых точек поверхности. Полный прообраз относительно отображения ^а0 любой особой точки типа зонтика Уитни состоит из одной точки. Полный прообраз любой точки двойного (тройного) самопересечения поверхности состоит ровно из двух (шести, соответственно) точек.
В параграфе 4 изучается каноническая стратификация многообразия на связные компоненты многообразий (р^(Х/) по всем типам X € А мультиособенностей отображения /. Эта стратификация является С00-стратификацией Уитни (теорема 4.2.5). Ее особенности описаны в теореме 4.2.2 с точностью до диффеоморфизмов многообразия Фд. Эти особенности устойчивы (относительно малых деформаций исходного отображения }) и просты (не имеют модулей). Росток остова коразмерности 1 канонической стратификации многообразия Ф^ в любой точке состоит из нескольких гладких неприводимых компонент (коразмерностей 1 и I + 1) и нескольких компонент, каждая из которых является ростком образа (при I > 0) или множества критических значений (при I = 0) устойчивого гладкого отображения кораига < 1.
Параграф 5 посвящен первым приложениям. Как известно, наличие (мульти) особенностей того или иного типа у отображения общего положения ограничивается различными условиями топологического характера. Для их нахождения используются различные методы и объекты: многочлены Томы, классы кобордизмов и пр. (см. |8], [29], [30], [99], [100]). В диссертации используется указанное выше разрешение для получения новых условий сосуществования (другой природы) устойчивых мультио-
13
собенностей коранга 1. Мы вычисляем универсальные линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособенностей устойчивых гладких отображений коранга < 1 замкнутых многообразий в многообразия нестрого бблыней размерности. Для каждой из четырех комбинаций четностей размерности многообразия-образа и коразмерности образа отображения в этом многообразии найдена полная система таких соотношений (теоремы 5.2.1. 5.3.1, 5.5.1 - 5.5.3).
А именно, пусть / : Мт -¥ Vй - устойчивое гладкое отображение коранга < 1, многообразие М замкнуто и / = п - т > 0. Тогда эйлерова характеристика Х/М) = х(Л/) любого нечетномерного многообразия А/ мультиособенностей типа А е А\{0} отображения / является лилейной комбинацией (с рациональными коэффициентами) эйлеровых характеристик Х/№ четномерных многообразий X/, образованных мультиособенностями типов Хек таких, что сосйт \Х е [со<Ит^Н- 1 ,п]. Каждый коэффициент этой комбинации зависит только от типов А, X соответствующих мультиособенностей и от четности числа I. Мы приводим комбинаторные формулы, которые позволяют быстро вычислять эти коэффициенты на компьютере для любых наперед заданных Ап X.
Например, для особенностей типа 2Ао образа отображения / многообразия М четной размерности в пространство V нечетной размерности п < Ы + 2,
Ыа) = Х(1) + 6х(о) - Ы1) ~ 5х($ - 40х(о)
+ 5хЙ) + 24х(г;о) + 12х(Ц) + 92х(!;о) + 672Х(2) •
Здесь хй;:: .^) обозначает эйлерову характеристику х/(АчАй1 4*.. • + крА11р) многообразия + .. . + крА[1р)1. Указанная формула является многомерным обобщением
соотношения инцидентности 2х(о) = х({) + ^х(о) в графе, образованном изолированными особенностями и особенностями, встречающимися на односвязных кривых, у устойчивой компактной поверхности в трехмерном пространстве (х(о) ” число °Д-иосвязных компонент множества точек пересечения двух гладких ветвей поверхности; х(о) ~ число точек тройного самопересечения; х(!) ~ число зонтиков Уитни). Система, состоящая из этого (единственного) равенства является полной системой универсальных линейных соотношений между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей таких двумерных поверхностей. Действительно, для любых Ль..., Л4 е Ж таких, что 4- ... 4 Х\ Ф 0, существует устойчивая компактная поверхность в К3, для которой А1х(о) + ^2Х(!) + А3х(о) + Л4 ф 0, где х(о) " эйлерова характеристика многообразия ее неособых точек.
Другие универсальные линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособенностей устойчивых отображений коранга < 1 в пространства не слишком больших размерностей приведены в таблицах 1-6. Следует отметить, что сам факт существования подобных соотношений (причем, даже в случае
14
произвольной стратификации Уитни гладкого замкнутого многообразия) можно в принципе извлечь из некоторых работ по топологии стратифицированных множеств (например, из [85] или [81]). Тем не менее этот факт нигде не формулировался, а указанные соотношения никогда не вычислялись, кроме некоторых частных случаев (сводящихся к соотношениям иицидентости в графах). Мы же предъявляем простой комбинаторный алгоритм для вычисления полной системы универсальных линейных соотношений между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособенностей устойчивых отображений кораига < 1 замкнутых т-мерных многообразий в пространства размерности п при любых фиксированных п и I = п — т > 0.
Этот алгоритм основам на том, что для любого устойчивого отображения / : Мт —> Уп кораига < 1 замкнутого многообразия М и для любого А Є А \ {0} многообразие Ф^ замкнуто, а его эйлерова характеристика х(Фд) вычисляется по формуле
Л'бА
где сумма берется по типам X всех мультиособенностей отображения /, примыкающих к мультиособенностям типов А+кАо, к > 0. Если размерность многообразия нечетная, то х{$л) = 0, что дает систему линейных уравнений на эйлеровы характеристики многообразий мультиособенностей отображения /. Искомые выражения для эйлеровых характеристик Х/М) нечетномерных многообразий И/ являются решениями этой системы уравнений. Полнота полученной системы соотношений между эйлеровыми характеристиками доказывается отдельно путем построения достаточного количества примеров отображений рассматриваемого типа.
Заметим, что найденные нами соотношения позволяют представить эйлерову характеристику х(/(-М)) образа отображения / в виде суммы эйлеровой характеристики х{М) многообразия М и линейной комбинации эйлеровых характеристик четномерных многообразий мультиособеиностей этого отображения. Каждый коэффициент этой комбинации зависит только от типа соответствующей мультиособенности. Например, при нечетном I и нечетном п < Ы + 2,
Х(/(М)) = Х(М) +1 ш + 2*®] - х© - 9x8)
+ Н5*(з) + 20х(зд) + іОхйд) + 80х(і,о) + 620х(о)1 •
Это - многомерное обобщение известной формулы Изумии-Марара [73]
х(ПМ)) = х(М) + \х(\) + х(1)
для устойчивой компактной поверхности в трехмерном пространстве.
По всей видимости результаты, аналогичные изложенным выше, справедливы и для устойчивых отображений коранга < 1 в пространство меньшей размерности.
15
Однако соответствующая теория еще не создана. Здесь пока получены лишь первые весьма предварительные результаты (см. [89]).
Во второй главе мы изучаем топологию особенностей фронта устойчивого лежан-дрова отображения коранга < 1.
Параграф 1 содержит все необходимые определения и факты теории особенностей лежандровых отображений. Напомним, что контактной структурой на нечетномерном гладком многообразии называется максимально иеинтегрируемое поле контактных элементов (гиперплоскостей в его касательных пространствах). Многообразие, снабженное контактной структурой, называется контактным. Подмногообразия контактного многообразия, являющиеся интегральными многообразиями контактной структуры и имеющие наивысшую размерность (равную п-1, если размерность объемлющего контактного многообразия равна 2п- 1) называются лежандровымн.
Гладкое расслоение называется лежандровым, если пространство этого расслоения является контактным многообразием, а все слои лежандровы. Примером ле-жандрова расслоения может служить проективизированное кокасателыюе расслоение РТ*У -> V гладкого многообразия V. Проектирование лежандрова подмногообразия пространства лежандрова расслоения в базу этого расслоения называется лежандровым отображением. В этой работе мы рассматриваем только собственные лежандровы отображения. Образ лежандрова отображения называется фронтом.
Рассмотрим произвольное лежандрово расслоение с п-мерной базой V и зафиксируем в его пространстве лежандрово подмногообразие Ь (размерности п - 1). Ле-жаидрово отображение / : Ь -> V называется лежандровым отображением кораыга
< 1, если размерность ядра его производной нигде не превосходит 1. Фронт Т = /(£) лежандрово устойчивого лежандрова отображения коранга < 1 называется устойчивым фронтом коранга < 1. Важным примером подобного фронта является множество критических значений устойчивого гладкого собственного отображения коранга < 1 многообразий одинаковой размерности. Вообще любой устойчивый фронт коранга
< 1 в V является проекцией некоторого лежандрова подмногообразия в пространстве расслоения РТ*У -+ V в базу этого расслоения.
Особенности устойчивого фронта коранга < 1 (а также соответствующие мультиособенности самого лежандрова отображения) классифицируются по элементам свободной абелевой полугруппы А+ С А по сложению, образующими которой служат символы Ль А2,..., Лд,.... А именно, устойчивый фронт Т коранга < 1 в многообразии У имеет особенность типа А = +... + ЛМр в А+ в данной точке у € У,
если его росток (Р, у) в этой точке диффеоморфен ростку множества критических значений устойчивого гладкого собственного отображения коранга < 1 гладких многообразий размерности п, имеющего в соответствующей точке многообразия-образа мультиособенность типа А. Множество А? точек у е V, в которых фронт Т имеет
16
особенность типа А, является гладким подмногообразием коразмерности
сосПт А = //! + ...+ /.1Р в V. Оно называется многообразием особенностей типа А фронта Т.
ПРИМЕР. Устойчивый фронт в трехмерном пространстве может иметь особенности только следующих типов: А\ (неособая точка), 2Л1 (трансверсальное пересечение двух гладких ветвей фронта), Л 2 (ребро возврата), ЗЛ1 (трансверсальное пересечение трех гладких ветвей), Л2+Л1 (трансверсальное пересечение ребра возврата с гладкой ветвыо фронта) и Л3 (ласточкин хвост). Ростки соответствующих гиперповерхностей изображены на рис. 0.2 (стр. 18).
В параграфе 2 мы описываем конструкцию разрешения особенностей устойчивого фронта коранга < 1. В основе этой конструкции лежит преобразование, которое сопоставляет данному устойчивому фронту коранга < 1 новый устойчивый фронт коранга < 1 в пространстве меньшей размерности. Как и в случае произвольных устойчивых отображений коранга < 1, это преобразование определяется классом особенностей типа Аи (д > 1) и также называется Л^-преобразованием.
Пусть Т - фронт устойчивого собственного лежандрова отображения / : Ь —► V коранга < 1. Рассмотрим замыкание Фл„ множества точек х € Ь, в которых / имеет особенность типа Л^. Это - гладкое подмногообразие коразмерности р - 1 в
Ь. Замыкание [А^Т) в многообразии ФА)1 множества точек х таких, что фронт Т имеет особенность типа Лд4- А\ в точке /(т), является устойчивым фронтом коранга < 1 (теорема 2.1.3). Этот фронт мы и называем Лд-преобразованием фронта Т.
Разрешение особенностей типа А = АМ1 +... + Л^ е А+ фронта Т строится при помощи итерации Лм-преобразований, где ц = //ь..., др. Такая итерация сопоставляет элементу А гладкое многообразие Фд (пространство, в котором лежит фронт, полученный в результате последнего Л^-преобразования) и гладкое собственное отображение (рл : Фа У такие, что:
1) образом отображения является замыкание в V многообразия Ат',
2) если особенность типа X 6 А+ фронта Т примыкает к особенности типа Л, то срА - конечное накрытие над многообразием Хт\
3) кратность этого накрытия зависит только от А и X (т.е. не зависит ни от фронта Т, ни от объемлющего многообразия V).
Пары (Фд,<рд), полученные при разных упорядочениях набора есте-
ственно диффеоморфны (теорема 2.2.5). Кратность отображения над многообразием Хт равна /д(Х) для любого X £ А4. (раздел 2.3).
Пример. Рассмотрим устойчивый компактный фронт в трехмерном пространстве. Многообразие Фал, представляет собой одномерное многообразие, каждая связная компонента которого диффеоморфна окружности. Образом этого многообразия
17
Рис. 0.2: Особенности устойчивых фронтов в трехмерном пространстве.
18
при отображении ц>^ является замыкание множества точек трансверсального пере сечения двух гладких ветвей фронта. Полный прообраз относительно отображения (f2Ai любой особой точки типа ласточкин хвост состоит из одной точки. Полный прообраз точки трансверсального пересечения ребра возврата с гладкой ветвыо фронта состоит из двух точек. Полный прообраз точки трансверсального пересечения двух (трех) гладких ветвей фронта состоит ровно из двух (шести, соответственно) точек.
Многообразие Фд, также представляет собой одномерное многообразие, каждая связная компонента которого диффеоморфна окружности. Образ этого многообразия при отображении рЛ2 получается замыканием ребер возврата фронта. Полный прообраз относительно отображения у>л2 любой особой точки типа ласточкин хвост, ребро возврата или точки трансверсального пересечения ребра возврата с гладкой ветвыо фронта состоит из одной точки.
Отметим, что все локальные свойства рассматриваемого нами разрешения особенностей фронтов следуют из локальных свойств разрешения мультиособенностей устойчивого гладкого собственного отображения кораига < 1 многообразий одинаковой размерности (предложение 2.2.3). Используя это наблюдение, а также соответствующие результаты главы I, мы формулируем свойства - п реобразова.н и я фрон-
тов (теорема 2.1.8) и описываем особенности канонической стратификации многообразия Фа на связные компоненты многообразий (Х?) по всем типам X особенностей фронта Т (раздел 2.4).
Например, пусть f - точка остова ЗМФ^) коразмерности 1 канонической стратификации многообразия Ф^. Предположим, что фронт Т имеет особенность типа А„ в точке у = (рл{0- Тогда к = и — сосИтЛ > тах{1,р — 1} и на многообразии Фа существуют гладкие локальные координаты А = (Аь..., Ап-со^тл) с началом в точке £ такие, что росток (£^(Ф.д),£) является ростком в нуле объединения следующих гиперповерхностей в пространстве М”-сос1'т,л = {А}:
1) фронта, образованного точками, для которых функция
к
i-V
как многочлен от t имеет кратный вещественный корень;
2) р гладких гиперповерхностей
5|i=-(A1+...+Ap_,) = 0, i = l,...,p-1; S\t=o = 0;
3) р(р - 1)/2 гиперплоскостей
A* -f... + \j-i = 0, 1 < х < j < р.
Все эти результаты мы используем в параграфе 3. Здесь вычисляются универсальные линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий
19
особенностей компактных устойчивых фронтов коранга < 1. Отдельно для случаев нечетной и четной размерности пространства, объемлющего фронт, найдена полная система таких универсальных соотношений (теоремы 3.1.4, 3.2.1 и 3.2.2). Алгоритм вычислений аналогичен описанному выше в случае произвольных устойчивых гладких отображений коранга < 1. Результаты также аналогичны.
А именно, пусть Т - устойчивый компактный фронт коранга < 1 в гладком п-мерном многообразии V. Тогда эйлерова характеристика Хг{А) — х{Ат) любого нечетномерного многообразия А? особенностей типа А € А+ \ {0} фронта Т является линейной комбинацией (с рациональными коэффициентами) эйлеровых характеристик Хг(Х) четномерных многообразий X?, образованных особенностями типов X £ А+ таких, что сосПт А € [сосИт А 4- 1,п]. Каждый коэффициент этой комбинации зависит только от типов А и А соответствующих особенностей. Имеются комбинаторные формулы, которые позволяют быстро вычислять эти коэффициенты на компьютере для любых наперед заданных А и А.
Например, для особенностей коразмерности 2 (всего два типа, 2А.1 и Аг) фронта Т в пространстве V нечетной размерности п < 5 имеем:
2Х(?) = 6х(?) + 2х(2л) + ?с(з)
- 40Х(?) - 18*(#) - 8х®) - ИхО - 5x62) - 7х(Ц) - 4x6),
ы\) = 2хб:1)+2хб) - 4*62) - 4х©) - 4x6:1) - зх6;1) - 4x6:1) - 4x6).
Здесь хС'й'■'■%) обозначает эйлерову характеристику хИ^Ач +• ■■ + крА11р) многооб-разия [к\А^+.. .+крАц)?. Указанные формулы являются многомерным обобщением соотношений инцидентности 2х(!) = 6х(?) + 2x6:1) + х6)> 2х6) = 2х6:1) + 2х6) в двух графах, образованных изолированными особенностями и односвязными кривыми, состоящими из особенностей типов 2и А‘2, соответственно, у устойчивого компактного фронта в трехмерном пространстве (х(?) ~ число односвязных компонент множества точек пересечения двух гладких ветвей фронта; х(?) ~ число точек тройного самопересечения; х® “ число одиосвязных компонент множества, полученного из ребер возврата выбрасыванием точек пересечения с гладкими ветвями фронта; х(гд) “ число точек пересечения ребер возврати с гладкими ветвями фронта; х(з) -число ласточкиных хвостов). Другие универсальные линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей устойчивых фронтов ко-раига < 1 в пространствах не слишком больших размерностей приведены в таблицах 7 и 8.
Отметим, что эти соотношения позволяют представить эйлерову характеристику фронта Т в виде суммы эйлеровой характеристики х(£) многообразия Ь, фронтом которого является А, и линейной комбинации эйлеровых характеристик четномерных многообразий особых точек этого фронта. Каждый коэффициент этой
20
комбинации зависит только от типа соответствующей особенности. Например, при нечетном п < 5
Х(Т) = х(£) + М + 2х©]
- 11x6) + Зхйд) + х(й) + 4x63) + ЫЦ) + вхбд) + 18х(!)) ■
Это - многомерное обобщение известной формулы Изумии-Марара (72)
х(?) = Х(Ь) + \х(1) + х(\)
для устойчивого компактного фронта в трехмерном пространстве.
В параграфе 4 изучается топология особенностей на крае правильной связной компоненты дополнения к устойчивому фронту Т коранга < 1 в гладком п-мерпом многообразии V. Связная компонента и дополнения У\Р называется правильной, если ее замыкание V является С^-подмногообразием с краем Г = II \ и в V. Мы рассматриваем правильные связные компоненты нескольких типов, в основном, -эллиптические и гиперболические. Правильная компонента и называется эллиптической, если фронт Т имеет на ее крае Г только особенности типов АМ1 +... + А^р с нечетными кратностями ..., /1Р. Определение гиперболичности см. в разделе 4.1.
Ростки краев двух эллиптических (или двух гиперболических) связных компонент дополнения к Т диффеоморфны тогда и только тогда, когда диффеоморфны ростки самого фронта Т в соответствующих точках. Край Г эллиптической (или гиперболической) связной компоненты II дополнения V \ Т имеет особенность типа А 6 А+ в данной точке у 6 Г, если фронт Т имеет в у особенность типа А.
В диссертации вычисляются универсальные линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей на компактных краях эллиптических и гиперболических связных компонент дополнений к устойчивым фронтам коранга < 1. Отдельно для случаев нечетной и четной размерности пространства, объемлющего фронт, и для каждого типа связных компонент дополнения к фронту (эллиптическая, гиперболическая) получена полная система таких универсальных соотношений (теоремы 4.2.10, 4.2.13, 4.3.1, 4.3.2 и 4.3.3).
А именно, как и для особенностей всего фронта Т, эйлерова характеристика Хг(А) = *(Аг) любого нечетномерного многообразия Аг = АгПГ особенностей типа А € А+ края Г является линейной комбинацией (с рациональными коэффициентами) эйлеровых характеристик Хг(^) четномерных многообразий Хр, образованных особенностями типов X € А+ таких, что сосНт X € [сосНт А +1,гг]. Каждый коэффициент этой комбинации зависит только от типов А,Х соответствующих особенностей и типа компоненты (эллиптическая, гиперболическая). Имеются комбинаторные формулы, позволяющие вычислять эти коэффициенты для любых наперед заданных А и X.
21
Например, для особенностей типа 2А\ края Г эллиптической связной компоненты дополнения к фронту Т в пространстве V нечетной размерности п < 5
образия +... + кРАцр)г- Другие универсальные линейные соотношения между
эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей на краях эллиптических (а также гиперболических) связных компонент дополнений к устойчивым фронтам коранга < 1 в пространствах небольших размерностей приведены в таблицах 9 - 12.
Используя указанные универсальные соотношения можно при нечетном п представить эйлерову характеристику края Г эллиптической (или гиперболической) связной компоненты дополнения к фронту Т в виде линейной комбинации эйлеровых характеристик четиомериых многообразий особенностей этого края. Каждый коэффициент этой комбинации зависит только от типа соответствующей особенности. В частности, если п < 5, то
для края Г эллиптической компоненты. Последний факт совершенно неожиданно привел к следующему результату.
Пусть А0м С А+ - свободная абелева полугруппа по сложению, образующими которой служат символы Л3,..., А^+и • ■ Каждому элементу А = АР1 + ... + Ацр € к0(1(1 сопоставим степень
(что является к-м числом Каталана, к > 0).
Рассмотрим теперь эллиптическую связную компоненту дополнения к устойчивому фронту Т коранга < 1 в гладком многообразии V нечетной размерности п. Предположим, что край Г этой компоненты компактен и Хг(Д) = 0 для любого А € Аом \ {0} такого, что А < п. Тогда
Х(Г) = Х(\) + \ [хй) - х(1)} + \ [хЦ) + 2Х©]
с1её- А = СОСІІШ А н- р
и вес
ю{Л) = (-1 )ь,/2|ш(Лт).. -ЦЛ*,).
где [х] - целая часть числа х, а
•4 6 Аое£^: сосііт А—п
(0.2)
22
где Хо = хСП ~ эйлерова характеристика гиперповерхности Г.
Эта формула проверена мной вручную при п < И и на компьютере вплоть до п = 17. Я думаю, что она верна для любого (нечетного) п. Формулы (0.2) для всех п < 13 приведены в таблице 13.
В третьей главе рассматриваются приложения указанных выше результатов к некоторым задачам анализа и геометрии. Здесь мы допускаем наличие у многообразия связных компонент разных размерностей, в том числе нульмерных.
В параграфе 1 изучается топология особенностей множества Максвелла глобальных минимумов семейства F(x> Л) гладких функций на гладком замкнутом многообразии М, гладко зависящих от /о-мерного параметра Л. Множеством Максвелла этого семейства называется множество значений Л, при которых глобальный минимум функции F(’y Л) достигается либо в одной вырожденной критической точке, либо в нескольких разных точках многообразия М.
Множество Максвелла Е семейства F(х. А) общего положения является множеством особых точек функции минимумов этого семейства, сопоставляющей точке Л пространства параметров А абсолютный минимум функции ^(-,Л). График Г функции минимумов семейства F(x, Л) является краем правильной связной компоненты дополнения к некоторому фронту. Если к < 6 или размерность каждой связной компоненты многообразия М не превышает 1, то Г имеет только особенности типов Л £ А\ {0}, т.е. является краем эллиптической компоненты (см. [9]).
Легко видеть, что для любого А естественная проекция графика функции минимумов в пространство Л путем забывания значений этой функции осуществляет гладкое вложение многообразия Лг особенностей типа А гиперповерхности Г в А. Если codim.4 > 1, то образ многообразия Аг принадлежит множеству Максвелла Е и состоит из точек, в которых ростки Е диффеоморфны. По определению, множество Е имеет в этих тючках особенности типа А.
Таким образом, если многообразие Л замкнуто, то при указанных ограничениях на его размерность (или на размерности связных компонент многообразия М) эйлеровы характеристики хеМ) — х(*^е) = хМг) многообразий А% особенностей типов Л £ A0dd \ {0, Лх} множества Максвелла Е семейства F(x, Л) общего положения удовлетворяют всем соотношениям, полученным в главе 2 для эйлеровых характеристик многообразий особенностей компактного края эллиптической связной компоненты дополнения к устойчивому фронту коранга < 1 (теорема 1.1.6). В разделе 1.2 мы показываем, что при четном к и некоторых дополнительных условиях формула (0.2) сп = А: + 1ихо = х(Л) имеет место даже для семейств F(x, Л) с некомпактным пространством параметров Л (теорема 1.2.3).
В параграфе 2 изучается топология особенностей множества опорных гиперплоскостей гладкого замкнутого подмногообразия М в R71. Опорной гиперплоскостью
23