Распространение волн в неоднородной среде

Введение
1 Постановка задачи и описание проблемы
Основная цель настоящей работы - описать в адекватных математических терминах процесс переноса воли в неоднородной среде и установить связи между различными математическими формами описания переноса волн и различными математическими формами описания эволюции среды.
Здесь необходимо сразу уточнить, что имеется в виду, поскольку в существующей литературе понятие "волна” является чрезвычайно расплывчатым. Суммируя все употребляемые смыслы, можно прийти к заключению, что волной называется "все, что движется". Это. вообще говоря, не вполне оправдано. Отметим, кстати, что понятие "волна" не фигурирует ни в математических энциклопедиях, ни в математических справочниках. Что же касается физической справочной литературы, то в ней понятие волны автору Удалось найти только в физической энциклопедии [59].
Для уточнения смыслов приведем следующую табличку:
Г-" Волны в среде Эволюция среды Колебания в среде
Дифф. форма Уравнения переноса Уравнения сплошной среды Уравнения геометрической оптики
Интегр. форма Формула распр. волн Формула Римана Формулы контурного интегрирования
В ней "переносу волн" (т.е. процессу преобразования движущихся форм) соответствует левая колонка, средняя колонка отвечает за "эволюцию среды "в динамической системе представлений (как процесс преобразования с течением времени "фазовых"характеристик - состояния среды и скорости изменения этого состояния), правая - за "колебания в среде", т.е. изменение состояния среды, являющееся синусоидальным по времени и сохраняющим свою форму в пространстве.
Конечно, поскольку речь ИДЄ1' по существу об одном и том же процессе, лишь описываемом разными способами, между этими колонками не может быть принципиальной разницы. Однако для того, чтобы ясно представить
- 3 -
и точно описать переход одного смысла в другой, необходимо четко зафиксировать разделение этих смыслов.
К дифференциальной форме описания состояния среды можно отнести практически все уравнения, называемые сейчас "волновыми1' - уравнения акустики, систему Максвелла, уравнения упругого тела, уравнения гидродинамики и газовой динамики.
К интегральной форме описания состояния среды можно отнести интегральные формулы решения этих уравнений (таких, как формулы Далам-бера. Римана, Пуассона, Кирхгофа). Несколько промежуточное положение здесь занимают интегральные уравнения (например, известная формула С.Л.Соболева [146], распространенная затем В.Г.Гоголадзе [63) на анизотропный случай), которые являются важным средством установления эквивалентности дифференциальной и интегральной формы описания одного и того же явления. Такого рода эквивалентность на самом деле чрезвычайно важна как математическая связь между представлениями о близко-и дальнодействии (см., напр., [108, Гл. IV, п. 95а)).
Уравнения геометрической оптики - это уравнения, получающиеся из уравнений состояния среды при подстановке в них решения вида
общее же решение уравнений состояния получают интегрированием решений (1.1), причем, поскольку параметр и обычно допускается не только вещественным, но и комплексным, это интегрирование происходит в комплексной области по некоторому контуру:
Хотя в формуле (1.1) не написано ничего более чем "рассматриваются гармонические колебания среды с фазой и амплитудой, зависящей от точки этой среды", эти решения часто называют, следуя Уизему [160], "дисперсионными волнами". В целях разделения смыслов мы будем эту систему представлений называть "колебаниями в среде", чтобы рельефнее выделить основной смысл понятия "волна", который идет от непосредственных наблюдений за волнами, например, на воде и который состоит в том, что волна - это некоторое поле, скалярное или векторное, которое изменяется с течением времени путем переноса его, в силу связанности среди, из одних точек пространства в другие. Носителем волны является фронт, а направление переноса определяется лучами. Под фронтом понимается набор линий уровня решения уравнения характеристик (уравнения эйконала)
и{1.х9и)) = А(х9и))ег^
(1.1)
(1.2)
соответствующего волнового уравнения, а под лучами - интегральные линии поля коградиентов этого решения уравнения эйконала (или, другими словами, бихарактеристики волнового уравнения).
Обоснованность такой дискриминации по отношению к "дисперсиоин-ным волнам" мы хотели бы проиллюстрировать на двух совершенно тривиальных примерах.
Пример 1. Рассмотрим одномерное уравнение
Иц 3— Ихх О/ и,
где а константа. Решениями этого уравнения являются, очевидно, функции и - 8ш(и;£ — кх), где к = \472 — а2. Можно ли эти решения считать "волнами"?
На первый взгляд - да, поскольку налицо некая движущаяся форма (синус). Однако в полученной формуле скрыт хорошо известный парадокс фазовой скорости. Он состоит в том, что скорость движения этой формы (которая и называется "фазовой") и/к—ш/^иР- - а2 больше единицы, т.е. характеристической скорости распространения конечных возмущений, и поэтому получается, что наша синусоидальная форма, рассматриваемая как целое, двигается с большей скоростью, чем та же самая синусоидальная форма, мысленно разбитая на конечные фрагменты (например, по полпериода).
Парадокс этот не только обнаруживается, но и разрешается мысленным экспериментом: выделим в некоторый момент времени одну из полуволн ("горбик"), отметим его точку максимума (пусть это будет точка А), затем посмотрим, куда этот максимум переместился за время Д£ и обозначим эту точку через В. Теперь вернемся назад, к начальному моменту времени, удалим полуволну, содержащую точку А (т.е. заменим на полупери-оде синус нулем), и посмотрим, что будет происходить с такой испорченной движущейся формой дальше. Элементарные рассуждения, основанные на линейности дифференциального уравнения, показывают, что созданный нами дефект будет распространяться с единичной скоростью, поэтому он будет отставать от синусоидальной формы, и в результате через время Ас в точке В, как ни в чем не бывало, появится максимум синусоидальной формы.
Проведенные рассуждения показывают, что в нашем примере в точке В форма синуса из точки А не переносится, ома в этой точке воспроизводится на основе предшествующего состояния среды в пределах области влияния точки В, в которую точка А, естественно, не попадает.
Пример 2. Усугубим ситуацию, удалив из уравнения производную по
- 5-
х и рассмотрев для функции и(1, х) уравнение
Щь " ~а2и.
У этого уравнения, как и в предыдущем примере, имеется решение вида г — 8ш(ш£ - кх), только здесь и> = а, а к может быть любое. Значит ли это, что мы получаем волны с различной скоростью распространения?
Оказывается, что нет. Считать полученные решения волнами абсурдно, ибо написанное уравнение описывает континуум никак не связанных с собой гармонических осцилляторов. И поэтому наличие "волны" является здесь иллюзией, следствием случайного согласования фаз колебаний этих осцилляторов.
Второй пример делает несомненным заключение, которым мы завершили первый пример, и которое хотели бы рафинированно выразить в следующей форме: гармонические колебания среды, вообще говоря, не совпадают с волнами, так как форма колебаний в них не переносится, а воспроизводится. Несомненно, что этот эффект носит совершенно общий характер и не связан с постоянством коэффициентов рассматриваемых уравнений. Совпадение гармонических решений с волнами -• эффект, возникающий только в однородной среде.
Возвращаясь к основной задаче настоящей работы, мы теперь можем сказать, что основной целью является получение для неоднородной среды описания переноса волн в дифференциальной и интегральной форме, т.е. уравнений переноса (аналогичных уравнениям V* ^ г)х ~ 0» на которые, как известно, распадается классическое одномерное волновое уравнение ии = ихх) и формулы распространяющихся воли (аналогичных формуле и(Ь,х) = ф(х — £) + д(х -Ь Ь) для того же уравнения) и установление связи такого описания с уравнениями состояния среды (также и в дифференциальной и в интегральной форме).
Основная проблема здесь состоит в том, что несмотря на базовый, для всей теории гиперболических уравнений и систем, характер математического представления о том, что волны (некоторые величины) переносятся фронтами (линиями уровня решений уравнения характеристик) вдоль лучей (бихарактеристик), оказывается, что уже в хоть сколько-нибудь неоднородной среде эти представление оказывается несколько "дефектным". Уже в случае кусочно-однородной среды исходная движущаяся форма начинает дробиться с течением времени, "перемешиваться", так что возмущение, пришедшее в одну точку из другой, при этом проходит довольно извилистый путь. Ситуация усугубляется в среде более высокой размерности: хотя вроде бы для однородной среды формулы плоской и сферической волны во всем пространстве соответствуют представлениям о переносе волн,
- ö-
появление в этом пространстве препятствий (т.е. с математической точки зрения - появление граничных условий) немедленно приводит к появлению эффекта дифракции, разрушающего эти представления.
Единственным объектом, который действительно отвечает представлениям о переносе волн, является разрыв решения, и именно эта интерпретация (разрывы распространяются вдоль характеристик) обычно цитируется во всех учебниках.
Таким образом, вдоль бихарактеристик, изначально возникших из представлений о переносе волн, переносятся только разрывы, которые являются "волнами" только в очень сильно обобщенном смысле.
Решение проблемы здесь связано с коррекцией исходной системы представлений и введением в него явления дисперсии (рассеивания) волн: в каждой точке волна, пришедшая в эту точку, распространяется из нее не только но тому направлению, по которому она пришла, а по всем направлениям (этот эффект становится особенно очевидным при изучении распространения волн на сетях - см. [176], |132]). В одномерной среде таких направлений два, и наличие неискажающегося движения вправо или влево в случае уравнения цtt = ихх связано с чисто случайным фактом аннуляции соответствующего коэффициента. В среде более высокой размерности волна, т.е. ориентированное возмущение V(t,x<6) (t - момент времени, х -точка среды, в - единичный вектор направления распространения волны) должно в каждой точке подчиняться уравнению вида
Vt{t,x,6) + eVx(t,x,e) = — f c(t,x,eJ)V(t,x,e’)dSe' (1.3)
sn JSp
где sn - площадь единичной сферы в пространстве размерности n, Sq> -сфера (для переменной в'), по которой происходит интегрирование, dS-элемент площади этой сферы. Коэффициент и описывает собственно перераспределение волн по направлению (он называется индикатрисой рассе-яния) и может быть как обычной функцией, так и обобщенной (что может приводить к появлению внеинтегральных членов).
Уравнение (1.3) известно, и носит название линейного уравнения переноса излучения (см., напр., [Sj, [122]), однако связь его, например, с классическим уравнением ии = А и до сих пор не установлена: не ясны ни условия на сг, при которых решение волнового уравнения представляется в виде интеграла по сфере Sq от V(t,x,0), ни условия на сами волны, ни связь их с начальными условиями. Единственное, что можно предполагать, исходя из общих соображений - что в случае стационарной однородной среды а не зависит ни от t. ни от х и что для изотропной среды она зависит только от угла между в и в1.
7
Уравнение (1.3) является локальной формой описания волн. Интегральная форма, естественно, должна выражаться через решения уравнения эйконала и связанные с ним величины. В случае неоднородной среды здесь возникает еще одна проблема: уравнение эйконала, широко известное [97] и, как считается,11 решенное" (алгоритм решения этого уравнения методом характеристик изложен, наверное, во всех книжках по распространению волн в неоднородной среде), на самом деле решено только в случае среды однородной. Желающий попробовать решить это уравнение в соответствии с вышеупомянутым алгоритмом в лучшем случае получает пару квадратур, из которых надо исключить константы, находящиеся где-то под знаком радикала от функции общего вида, который подвергается интегрированию.
Известные попытки решения уравнения эйконала или уравнения лучей в каких-то частных случаях не имеют систематического характера. Остается только удивляться, насколько мал тот зазор, который отделял их авторов (см., напр. [17], [8]) от эффектных и ярких геометрических представлений с которыми оказываются связанными решения уравнений эйконала. Единственными, пожалуй, примерами, когда исследование уравнений эйконала и лучей дало геометрический результат, являются работы [3], где получено уравнение лучей для среды с линейно меняющейся скоростью распространения возмущений (там же построен головной фронт волны с учетом отражений от границы полупространства, хотя и не указано, что часть этого фронта, отвечающая за волну, прошедшую без отражений, является просто дугой окружности), и [111], где для функции скорости типа квадратного корня из линейной функции удалось описать лучи в виде дуг циклоид. Ближе всех к описанию наиболее типичных решений удалось приблизится в [8]. и, видимо, только отсутствие уверенности в том, что найденные случаи - наиболее рафинированные, остановило авторов в двух шагах от геометрических образов.
Проблемы, связанные с уравнением эйконала, конечно, исчезают в случае среды одномерной. В этом случае в принимает всего два значения (±1), интеграл в уравнении (1.3) превращается в сумму двух слагаемых, само уравнение (1.3) превращается в систему
- У+(и,х) = аХ{х)У+{г,х) + а!{х)У~^,х). ,
К-(<,а;) + У~(г,х) = сг+(х)У+(г,х) + сг1(х)У~(1,х),
и вопрос о связи между' этой системой и, например, уравнением
а(х)ии = {Ь(х)их)х
существенно упрощается и сводится к вопросу об их эквивалентности в том или ином смысле.
- 8-
Именно для одномерной среды вопрос о волновых представлениях поднимался более-менее регулярно и как-то решался, пусть и даже частично, в рамках того или иного класса задач. Наиболее рафинированным образом вопрос об эквивалентности волнового уравнения и системы (1.4) выражен, например, в [121], однако там речь идет только о взаимном отношении дифференциальных (локальных) форм, вопрос об интегральном представлении решений (1.4) и связи этого представления с интегральным представлением решения волнового уравнения (формулой Римаиа) не обсуждался.
Уравнение (1.4) с <j+ = oZ = 0 под названием 11 двухкомпонентной системы Дирака" достаточно подробно изучалось в [122] с точки зрения теории рассеяния, там же в контексте теории рассеяния изучалось и уравнение
(1.3), но зато вне связи с волновыми уравнениями.
Значительное внимание системам вида (1.4) уделяется в теории обратных задач (там переход от волнового уравнения к системе носит название "волнового расщепления", или "wave splitting") [179, 187, 202]. Однако и здесь полноценная связь между уравнениями состояния среды и уравнениями переноса волн происходит "на решении"(как правило, удовлетворяющем нулевым начальным условиям), а не в целом. Отметим, что и сама идея "волнового расщепления" несколько отлична от представлений о распространяющихся волнах: "волновое расщепление" производится по двум направлениям времени, а когда мы говорим о распространяющихся волнах - то расщепление происходит по направлениям пространства. В одномерных задачах это различие практически неощутимо, а в многомерных - дает совершенно разные формы уравнений.
Таким образом, для решения сформулированной задачи - создания полноценной системы математически выраженных представлений о переносе воли необходимо сделать как минимум три вещи. Во-первых, получить интегральное представление для распространяющихся волн хотя бы для одномерной среды и связать его как с дифференциальными уравнениями переноса, так и с интегральным описанием состояния среды (с помощью функции Римаиа, например); развить технику перехода от одних представлений к другим и оперирования внутри самих представлений (например, с помощью тех или иных принципов композиции отображений данных); разработать технику решения наиболее типичных задач. Во-вторых, по возможности максимально исследовать геометрию уравнения эйконала и уравнения лучей, получить какой-то хотя бы минимальный запас явных примеров решений для случая неоднородной среды; изучить уравнение переноса волн (1.3) в многомерном случае и установить его связь с волновыми уравнениями. Наконец, в-третьих, - перенести на многомерный случай всю систему связей между дифференциальными и интегральными представле-
9-
ниями в терминах переноса волн и в терминах изменения состояния среды.
Конечно, все перечисленное в несколько раз превосходи!' по своему объему то, что может представлять из себя докторская диссертация. В представляемую работу включены результаты, которые удалось получить к настоящему времени: это полностью сделанный метод распространяющихся волн для одномерной среды и детальное исследование геометрии уравнения эйконала для двумерной и трехмерной сред.
2 Актуальность темы
Представления, связанные с волновыми процессами, встречаются в природе повсеместно, и в человеческом мышлении они отражены не только на уровне сознания, но и на уровне подсознания, благодаря чему и оказывается столь богатой различными продуктивными идеями.
Даже такие базовые геометрические объекты как прямая линия и окружность есть не более чем идеализированные образы луча света и кругов на воде. Теория характеристик нелинейных уравнений первого порядка - это абстрагированная теория взаимного отношения фронтов и лучей. Классическое вариационное исчисление - сплав оптико-механических аналогий. Развитие математических представлений о волновых процессах важно не только для естествознания, но и для самой математики, так как именно волновые процессы являются одним из основных поставщиков математических идей, понятий, представлений.
Первые математические формулировки, отражающие человеческие представления о волнах, принадлежат Ферма и Гюйгенсу, которые в геометрических терминах охарактеризовали базовые свойства лучей и фронтов. В XIX веке, который но праву можно считать "веком формул", получены формулы Даламбера и Фурье, Пуассона и Кирхгофа, Вольтерра и Дюамеля, введены функция Грина и функция Римана, проведены исследования Гурса и Дарбу. Все они создали классическую систему представлений о волне как о поле некоторой величины, которая переносится фронтами вдоль лучей.
В XIX веке были написаны и основные уравнения, описывающие волновые поля - уравнения Максвелла, газовой и гидродинамики, теории упругости. В XIX же веке установлена связь между уравнениями лучей, фронтов и волнового поля в терминах характеристик. К концу этого века исследование простейших уравнений было в основном завершено. В какой-то мере "рубежной" можно считать монографию Адамара [2].
XX век, помимо новых классов волновых уравнений, возникающих в квантовой механике и теории относительности, породил, в связи с интен-
- 10
сивиым темпом развития техники, многочисленные классы уравнений, уточняющих классические модели и учитывающие большее или меньшее количество разнообразных факторов. Именно в XX веке приобретает особую роль проблема общности получаемых математических результатов. Дело здесь не только в том, что когда речь идет о реальных процессах, то описывающие их уравнения могут, в зависимости от конкретных условий, иметь тот или иной вид. Проблема состоит в том, что эти уравнения пишутся нередко исходя из тех или иных предположений, не имеющих абсолютного обоснования.
Так, в теории деформаций упругих сред переход к упруго-пластичес-ким деформациям связан уже с гипотезами о природе пластичности, для которых до настоящего времени нет ни безусловных экспериментальных подтверждений, ни безусловных экспериментальных опровержений. Гипотетическими, по большому счету, являются и модели детонационых процессов в газовой динамике, и модели глубинной структуры Земли, и модели плазменных процессов в звездах. Пользующаяся всемирной популярностью система уравнений Навье-Стокса для течения вязкой жидкости выведена в предположении ламинарности и плоско-параллельного характера течения. Она адекватно не описывает даже течение в искривленной трубе, а в общих постановках вообще неясна ее корректность (см., напр., [138]). Точно так же лишь модельный характер носят многие уравнения квантовой механики.
Поэтому приобретает особую роль вопрос о том, какие свойства тех или иных классических уравнений и в какой форме сохраняются для всех уравнений некоторого класса, независимо от конкретных деталей устройства этих уравнений (которые, как мы уже отметили, основываются на гипотезах, не всегда допускающих проверку как по ограничениям технических возможностей, так и по ограничениям доступных для этого ресурсов).
Среди достижений волновой теории XX века, прежде всего, следует отметить исследование вопроса об уникальном свойстве волнового уравнения в трехмерном пространстве, которое Ж.Адамаром [2| было названо "принципом Гюйгенса". Изучение степени общности этого свойства было начато И.Г.Петровским в его известной работе о лакунах (131) и опиралось на ставшее теперь каноническим понятие гиперболичности,; это направление было затем продолжено работами [186, 65), [68], [33]. [61], [107], [27], [77].
Представление о волне как о движущейся форме дало толчок целой серии исследований, в которой среди решений того или иного класса уравнений отыскивались решения вида А(х)Р(1; - ф(х)) с произвольной функцией ^ и фиксированными функциями А, ф, которые должны удовлетворять соответствующим уравнениям. Такие решения получили иазва-
- 11 -
ыие функционально-инвариантных, впервые вопрос был поставлен в работе С.Л.Соболева [148], и исследовался в [72], [182], (85, 86].
Отметим работу [181], в которой была сделана попытка распространить идею волны как величины, переносимой по характеристикам, на случай неоднородной среды (изначально понятие функционально-инвариантного решения вводилось для уравнений, описывающих однородные среды). Поскольку на всех характеристиках одновременно решение сохраняться не может, здесь был поставлен и исследован вопрос о существовании решений, которые сохраняют свое значение на одной характеристике.
Хотя, конечно, представление о волне, как о величине, которая переносится без изменений, для неоднородной среды некорректно и должно быть заменено на представление о волне, как о величине, которая переносится с изменениями, и эти изменения описываются теми или иными формулами (здесь есть аналогия с понятием скорости: для равномерного прямолинейного движения скорость есть постоянная характеристика, для неравномерного - переменная, и закон ее изменения описывается уравнениями Ньютона), указанная работа, на наш взгляд, является важной хотя бы просто в связи с самой постановкой вопроса.
Существенно было расширено представление о лучах и фронтах, начатое работами [6] (где была обнаружена некорректность геометро-оитического подхода в случае неоднородной среды), [3] (где получены уравнения лучей и описан головной фронт волны для полупространства с линейно меняющейся скоростью распространения волн), [12] (где был сформулирован результат о неуничтожимости особенности волнового фронта). Переход к изучению нестационарных волновых процессов привел к пространственно-лучевому методу [14]. в основе которого лежит представление о фронтах и лучах как проекциях гладких гиперповерхностей и кривых на пространство "пространственных переменных", так что все особенности возникают только как результат проектирования. Это позволило подключить к волновой теории мощнейший аппарат теории особенностей [9]-[10],[153|.
Чрезвычайно важным оказался вопрос об обобщении понятия решения, также восходящий к работе Адамара [2] в связи с изучением структуры фундаментального решения. Здесь, безусловно, величайшим открытием XX века стало введение Соболевым пространств обобщенных функций [149, 151]. Использование этих пространств, несомненно, избавляет нас от необходимости изучать, какие несущественные особенности решений как себя ведут, что с ними происходит, как они взаимодействуют. Докторская диссертация О.А.Ладыженской, опубликованная в виде монографии [101], положила начало целому направлению, связанному с исследованием условий корректности краевых задач для гиперболических уравнений в обоб-
- 12
щенной постановке. Следует правда, отметить, что Соболевские пространства далеко не исчерпали полностью ту степень обобщения понятия решения, которая требуется для решения физических задач, так что исследования в этом направлении продолжаются до сих пор. Из работ в этом направлении отметим, напр., [119], [339], [127], [69].
Примечательным являегся то, что введение обобщенных решений отнюдь не решило проблем с решениями классическими, так что исследование условий классической разрешимости продолжается до сих пор. Отметим в связи с этим совсем недавнюю работу [171]. где почти 200 лет спустя после Фурье удалось применением метода Фурье получить необходимые и достаточные условия классической разрешимости одномерного волнового уравнения.
Распространению метода Римана (198] на более широкие классы уравнений, начатому еще в XIX веке [197], посвящены работы [106], [142], [ 144]-[145], причем в первой из них интегральное представление Римана само эффективно используется для анализа решений.
В XX веке появился и ряд новых направлений, связанных с распространением волн. Прежде всего - это теория дифракции, начатая в [105. 166, 167, 168] и развивавшаяся настолько бурно, что одно перечисление работ здесь, наверное, заняло бы несколько сот страниц. Упомяну лишь те, которые, скажем так. "держал в руках" (в основном - отечественных авторов) и которые, на мой личный взгляд, являются наиболее значимыми. Это, безусловно, работы [11,13], [6, 7, 3], [91], [55], [52, 53], [183,184,185], [162]-[164], [128], из более современных отметим [14, 15], [34], [129, 130], [66], [60].
В связи с практическими нуждами геофизики, радиотехники, радиолокации оформилась в чрезвычайно мощное направление теория обратных задач - спектральных [110], [62, 104], [92]-[96], [4], |175]. динамических [29]-[32], [3|, |22]-[25], [1, 26], [100], [140, 141], [99], интегральной геометрии [190], [8], [112], [172]. Отчасти связано с этим кругом вопросов и исследование условий разрешимости задачи Дирихле, которая для гиперболических уравнений является некорректной [150], [188], [177], [189], [56], [135]. [98].
Началось исследование задач упра-вления для гиперболических уравнений и систем [54], [191], [193], [199]-[200], [87], [1], [78|-[81], [156]-[157], [73].
Невозможно не упомянуть возникшую из задач квантовой механики теорию рассеяния [161], [102], [67], [122] также, как и теория дифракции, опирающуюся на асимптотические методы.
Исследование нелинейных уравнений асимптотическими методами как в "волновой" интерпретации (см., напр., [116, 117]), так и с точки зрения теории колебаний (см., папр., [113, 89, 114, 90]) сейчас является, пожалуй, одним из наиболее бурно развивающихся направлений в теории волн.
- 13-
Правда, переход к нелинейным уравнениям оказывается связан с рядом достаточно тонких вопросов понятийного характера, так как здесь многие представления начинают "расплываться". Так, представление о волнах традиционно связано с конечностью скорости распространения возмущения, и это свойство традиционно считается следствием гиперболичности "главной части" уравнения. Однако открытый A.C. Калашниковым эффект конечной скорости распространения в нелинейном параболическом уравнении [82] показывает, что наличие нелинейных членов может, грубо говоря, превращать параболическое уравнение в гиперболическое. Этому же вопросу посвящены работы (20], [88], в которых изучается уже "тепловая волна" (хотя с точки зрения исходных представлений о разграничении тепловых и волновых свойств это словосочетание звучит абсурдно).
Вопрос о балансе влияний на характер уравнения составляющих его слагаемых оказался нетривиальным не только для нелинейных, но и для линейных уравнений, и исследовался в терминах вопроса об иерарти волн. Термин, наверное, не самый удачный, поскольку иерархизации подлежат не волны, а слагаемые, составляющие уравнение -- так же, как в методе диаграмм Ньютона решения алгебраических уравнений в виде степенных рядов, когда главный член ряда определяется только несколькими членами уравнения. Нетривиальность вопроса об иерархии волн показывает тот факт, что перенос базового принципа ("правильная" перемежаемость корней соответствующих полиномов или символов) на уравнения для многомерной среды был сделан совсем недавно в работе [16].
Наконец, отмстим возникшие в последние 20 лет совсем новые направления в теории гиперболических (особенно волновых) уравнений и систем -теория усредененш [21], [155] и исследование нелокальных задач [83], [64]. [58], [136]-(137].
Возвращаясь к вопросу об актуальности темы нашей работы, нужно, наверное, указать только два аспекта. Первый - что во всех перечисленных направлениях содержательное исследование опирается на разнообразные математические формы представления волновых процессов, и среди этих форм те, которые связаны с идеей переноса волн, играют, как правило, решающую роль. Второй - что связь форм, описывающих перенос волн, с другими формами изучена еще мало, так что создание более-менее цельной системы таких связей даже для простейших, скажем так., "модельных" уравнений представляет интерес и в плане дальнейшего обобщения, и в плане использования такой системы для анализа конкретных проблем волновой теории.
-14-
3 Новизна полученных результатов
Результаты, представленные в диссертации, являются новыми, хотя, как было уже указано в предыдущих параграфах, основываются на идеях, неоднократно возникавших то в том, то в другом контексте.
Перечислим эти результаты. Это формула распространяющихся волн, метод распространяющихся волн, позволяющий выписывать формулы решения различных краевых задач, формулы, выражающие через коэффициенты переноса волн функцию Римана и ее производные, формулы свертки для функции Римана, условия граничной управляемости и формулы граничного управления для неоднородной струны.
Групповая классификация трехмерных и двумерных уравнений эйконала, использование для классификации свойств конуса касательных эквивалентностей,, условия редукции трехмерных уравнений эйконала к двумерным, условия принадлежности уравнения эйконала тому или другому классу и условия эквивалентности двух разных уравнений (теорема о семи инвариантах).
Довольно большой комплект решенных уравнений эйконала (получены решения, описывающие фронт волны точечного источника и уравнения лучей).
Формулы, выражающие скорость движения центра кривизны фронта через радиус кривизны, иллюзия движущегося источника. Явление локализации фронта в отсутствие волноводов.
4 Использованные методы и подходы
Разультаты получены с помощью методов как классического анализа, так и современных (главным образом группового анализа).
От классики (классический подход используется в первой и второй главах) взят принцип выражать исследуемые свойства формулами и находить законы, связывающие эти формулы друг с другом, устанавливать эквивалентность различных форм выражения тех или иных свойств, создавая тем самым аппарат для исследования более тонких и сложных вопросов. В этом смысле наша техника, ближе всего к работам С.Л. Соболева ([146, 147] и др.) и В.Г. Гоголадзе ([63] и др.), в которых строятся те или иные интегральные представления для решения волнового уравнения в неоднородной, а затем - анизотропной среде. Методы, развитые в самой диссертации (метод распространяющихся волн для решения краевых задач, формулы свертки для коэффициентов переноса и функции Римана) использованы для получения различных новых представлений решений. В диссертации не стави-
- 15-
лась цель изобретения каких-то новых задач, поэтому большинство задач - известные (начальная, начально-краевая, Гурса, и.т.п.). нас интересовала именно техника преобразования друг в друга различных представлений.
Что же касается третьей и четвертой глав, то в них основной упор делается на методы группового анализа, о которых хотелось бы сказать особо. На взгляд автора, групповой анализ для получения различных форм представления решений дифференциальных уравнений играет такую же роль, как классический анализ - для вывода этих дифференциальных уравнений, а функциональный - для исследования их разрешимости и корректности постановок соответствующих задач.
Будучи заложен еще в конце XIX века в работах С.Ли [192], и ставший достаточно широко известным благодаря работам (173], |170], (133], он по-настоящему получил свое развитие только во второй половине XX века благодаря работам Л.В.Овсянникова (см. [124, 123, 125] и другие работы), его учеников и последователей (среди которых, в первую очередь, следует упомянуть работы Н.Х.Ибрагимова [74, 75]). В нашей стране также известна монография П.Олвера [126] и практически недоступна другая, более современная монография того же автора [195].
Для автора диссертации образцом фугшового анализа уравнений механики, непревзойденным до сих пор, является работа [123], посвященная уравнению Чаплыгина.
Дело в том, что в механике дифференциальные уравнения являются не самостоятельной сущностью, как в математике, а скорее обозначением тех или иных идеализированных свойств изучаемых механиками объектов (в нашем случае - движений сплошных сред: газообразных, жидких, упругих). В зависимости от условий наблюдения и изучения получаются разные уравнения. Одним из основных фактов, делающих механику сплошных сред теорией, является наличие некоторых общих уравнений, из которых все остальные получаются как частные случаи при тех или иных предположениях.
Эти предположения, как правило, формулируются в чисто механических или даже физических терминах (например, одно- или двух-атомный газ, идеальная или неидеальная жидкость и пр.), которые невозможно использовать в математике. В работе же (123] было показано, что эта же связь между общими и частными уравнениями может быть выражена и в чисто математических терминах - посредством отношений эквивалентности и вложения для тех групп симметрий, которыми обладают соответствующие уравнения. То, что в этой работе автор ни на минуту не отрывался от механического понимания изучаемых уравнений, сыграло, на мой взгляд, решающую роль, поскольку удалось установить математическую связь
- 16-
мео/сду различными физическими смыслами.
Несмотря на многочисленность работ по групповому анализу, подобного рода результаты в них встречаются довольно редко (в качестве такого исключения необходимо, конечно, упомянуть работы команды Л.В. Овсянникова по исследованию уравнений газовой динамики и работы Н.Х. Ибрагимова, в том числе посвященные волновым уравнениям [75, 76, 77), [118]) по причине их огромной трудоемкости. К сожалению, ни вычисление групп симметрий самых разных конкретных уравнений, ни нахождение всех уравнений, которые обладают заданной группой симметрий не дает какого-то ощутимого полезного для науки эффекта, поскольку при этом теряется основное - связь между физическими смыслами. Групповой анализ оказывается эффективным и полезным только в применении к целому семейству физически осмысленных уравнений, связанных физически осмысленными связями.
Несмотря на всю свою сложность и громоздкость, методы группового анализа представляются автору диссертации одними из наиболее перспективных, и, по его убеждению, в XXI веке групповой анализ будет играть такую же роль, как функциональный в веке ХХ-м. По существу исследование уравнений сплошной среды этими методами только начато. Практически не исследованы с точки зрения групповых отношений уравнения теории упругости и пластичности (с произвольными дифференциальными связями между напряжениями и деформациями). Не тронута этими методами и теория обратных задач, где вычисление инвариантов группы, которая 4держит" краевые данные, и вычисление инвариантов группы, которая "держит" параметры уравнения могло бы помочь в ключевом для многомерных обратных задач вопросе приведения задачи к нормальной форме, допускающей установление взаимно-однозначного соответствия между той информацией, которую нужно взять от граничных данных и той информацией, которую мы можем получить относительно параметров уравнения. Не исследован с групповой точки зрения и переход от "микромоделей" (например, от уравнения Больцмана) к "макромоделям", осуществляемый путем усечения бесконечной системы уравнений относительно моментов распределения: связь известных принципов усечения [138] с групповыми отношениями совершенно не изучена.
В контексте всего многообразия нерешенных задач применение групповых методов для изучения уравнений эйконала, на наш взгляд, способствует распространению этих методов хотя бы как эффектный пример их результативности.
17-
5 Апробация
Результаты, полученные в диссертации, опубликованы в [35]-[51], они докладывались на семинарах В.А. Кондратьева, Е.В. Радкевича (2003, 2004 г.), В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, A.A. Дезина (2002, 2004 г.), В.А. Кондратьева, В.М. Миллион щи кова, Н.Х. Розова (2002, 2005 г.), В.М. Бабича (2002. 2003, 2004 г.), Л.В. Овсянникова (2003, 2004 г.). A.C. Алексеева (2004 г.), И.А. Шишмарева (2003. 2004, 2005 г.), А.Д. Мышкиса, А.С.Братуся (2005 г.), А.Г. Свешникова (2005 г.), В.А. Садовничего (2002 г.), Д.Д. Соколова (2005 г.), А.И. Прилепко, В.А. Садовничего (2005 г.), A.C. Шамаева,
B.В. Жикова, Т.А. Шапошниковой (2002 г.), Е.Л. Тонкова (2003 г.), на семинаре кафедры волновой механики, рук. Е.И. Шемякин в 2003 и 2005 г., на семинаре отдела дифференциальных уравнений МИРАН, рук. Д.В. Аносов, A.A. Волибрух, Ю.С. Ильяшенко в 2003 г.. на семинаре отдела прикладной математики ИМ НАН Украины, рук. А.Г. Никитин (Киев, Украина) в 2004 г.; на международном семинаре "Дни Дифракции" (СПбО МИРАН,
C.-Петербург) в 2003 и 2004 г.. на конференции, посвященной 85-лстию академика Л.В. Овсянникова (Ин-т Гидродинамики СО РАН, Новосибирск) в 2004 г., на конференции им. И.Г. Петровского (МГУ, Москва) в 2001 и 2004 г., на международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы" (ВлГПУ, Суздаль) в 2002 и 2004 г.
6 Краткое содержание диссертации
6.1 Структура работы
Диссертация занимает 300 страниц текста и состоит из введения, четырех глав, разбитых на пятнадцать параграфов, и списка литературы, содержащего 202 наименования. Она снабжена тремя приложениями, занимающими еще 37 страниц. Нумерация формул, теорем и лемм тройная - номер главы, номер параграфа и собственный номер, например, лемма 3.2.1 лемма 1 второго параграфа третьей главы.
В первой главе изложен метод распространяющихся волн для одномерной неоднородной среды, во второй - обосновываются формулы граничного управления и условия управляемости для неоднородной струны, в третьей исследуется трехмерное уравнение эйконала для неоднородной среды, в четвертой - двумерной уравнение эйконала для неоднородной среды. Опишем более подробно содержание каждой главы.
- 1S-
6.2 Первая глава
В первом параграфе обосновывается формула распространяющихся волн для уравнений
Щии - (г-02)
И
= гяа - [ф‘ + (1.0.4)
являющихся каноническими формами (первую из них иногда называют гшпедапсной) общего одномерного уравнения для неоднородной среды
д-и д ф}» = дх
и \ди
4WS
Связь между уравнениями (1.0.2) и (1.0.4) устанавливается заменой 2 = ■\/к(в)и, при этом ф(з) = ^(з)/^^)].
Теорема 1.1.1 Пусть к(з) > 0 и дважды 71впрерывно дифференцируема. Тогда общее классическое решение уравнения (1.0.2) описывается формулой
u{t"s) ~ ^%гк(5 “t} + V h^w(s+1)+
s+t
1 f Д’Ытг/ \ S~'V \7
2/ 1/Щ 2 ’ 2
s-t
s+t
1 f k(y) .s + y + t s-y + t
il -г-'s)iy+
s-t V
4/
s-t, s+t
a-)
S-t V
где V uW - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции, связанные с начальными условиями uo(s) = u(0,s), vo(s) = Ut(0,s) соотношениями
V{s) H- = tio(s), -[*(*№)]' + [k(s)W(s)]' = fc(5)t^,W. (1.1.2)
- 19-
Через 3(а./3,7) и 7(а,/?,7) обозначены функции, которые являются решением системы интегральных уравнений
7
/
0
В доказательстве этой теоремы появляются главные инструменты метода распространяющихся воли - система уравнений переноса волн
сумма компонент решения которой всегда дает решение (1.0.4), и формула
Формула для решения уравнения (1.0.4) получается из формулы (1.1.1) удалением радикалов.
Поскольку исходные правая и левая волны V и \¥ условиями (1.1.2) определяются не однозначно, в этом же параграфе показывается, что эта неоднозначность влияет только на баланс слагаемых в решении (1.1.1), и не вызывает неоднозначности в самом решении. Здесь же показывается, что начальным условиям щ ~ I, ъ%о — 0 соответствует, как и полагается, решение и(1,х) = 1. Во всех этих обоснованиях важны не столько обосновываемые факты - в них нет ничего неожиданного, сколько используемая в доказательствах техника обоснования, с помощью системы (1.1.4), тех или иных тождеств для коэффициентов переноса волн.
Во втором параграфе приводится вывод формулы (1.1.1) с-помощью одного из вариантов классического метода дискретизации. Основная нагрузка этого параграфа - установление связи с "физическим" смыслом используемых всюду' далее величии. Функция ф(в) оказывается аналогом коэффициента отражения, функции 3 и 3 представляются в виде рядов, каждый элемент которых является суммарным коэффициентом переноса
дифференцирования коэффициентов переноса 3 и 3 по третьему аргумен-
ту.
Лемма 1.1.1.
— (а,/3,у) = -ф( 7)7(7-0,7-ал), д 3 = ~ФЬ)ЗЬ - &Г! -ап).
07
(1.1.6)
20-
с заданным количеством отражений, так что в д собраны коэффициенты, отвечающие за четное количество отражений, а в «7 - за нечетное. Система интегральных уравнений (1.1.3) описывает итерирование отражений, а ее решение методом последовательных приближений дает аппроксимацию истинного решения, в которой игнорируются волны, испытавшие большое кол и чество отражений.
В третьем параграфе вводится понятие волнового опещтора - интегрального оператора, преобразующего пару начальных волн V, V/ в пару волн Vе, ]¥е, отвечающих моменту времени £ = в. В этом параграфе мы начинаем преобразование волн рассматривать как самостоятельный процесс, имеющий дифференциальную (уравнения переноса) и интегральную (волновой оператор) форму описания, и который связан с уравнениями состояния среды только в силу каких-то соотношений между коэффициентами уравнения переноса и коэффициентами уравнения состояния среды. Такое рассмотрение требует независимого обоснования группового свойства волнового оператора, которое и дается в этом параграфе с помощью формул свертки для коэффициентов переноса
Лемма 1.2.2. Имеют место следующие тождества:
лЧ^-.ЧАмЧ^.Ч^.Ч1)-
2
2
~пУ + 0 У -а _^тА + У $~У S + V^
-А— — уШ— — —)
= 2.7(£±Д 1_Д1±3) (1-2.5)
Чу + о у _ (3 £ + у £-у £ + т)
—*у) ■'<— ——]-
у + 0 у-а ?А + У £~У £ + 7?\
~3{~Г' 2 ’У)'~2 ;
<1у =
•/?
„у + а у - /? £ + 2/ £ - У £ + ^
2 ’ 2 ’у)'/(_2~’ Т"’ “Г)_
~„У + /? У-а оЛ 7/1+У £~У £ + 44
п У г% о 5 О > О /
= £—ЦЛ) _ Д-0-
с1у =
(1.2.7)
- 21
* ьу + а у - 0 тЛ Tft + у і-у S + V,
А 2 : 2 ,У) [ 2 ’ 2 ’ 2 '
у + 0 у-Ос -.z.Z + yZ-yt + V
а
а
-А
dy =
2 : 2 ,г'~' 2 ’ 2 ’ 2 ї^ + а £ -Р S + г), ПтЛ + а £-0
= 2J(
2 ’ 2
■) - 2J(-
,0. (1-2.8)
Л
у+ау-0 ST,t + V S-У £ + V
2 ’ 2 ’ 2
)-
ьУ + 0 у - а і їЛ + у S - у S + ^
-л— —.») л—,—. —)
О гД + а S + ri\
- 2 ’ 2 5 2
7/2/ + а У~0 мЛ + У S-У S + V\
J{~ГМ—' — ~Y~]~
t/y + 0 у-a ^jfZ + y S-У S + V,
dy =
(1.2.9)
dy =
- 9 Zfl±^ f ~ ^ f + *?n о r/l+£ £±5\
-*J\ 2 ' 2 9 2 ' [ 2 ’ 2 5 2
(1.2.10)
В четвертом параграфе изложен собственно метод распространяющихся волн - метод построения решения различных краевых задач. Принцип применения этого метода прост: если данные заданы на какой-то линии, то сначала строится волновой оператор, описывающий перенос правой и левой волн с этой линии в произвольную точку пространства (для этого необходимо только проделать элементарные вычисления по определению аргументов коэффициентов переноса и по выбору промежутка интегрирования). После чего, с помощью (1.1.6) проверяется, что построенные формулы дают решение системы уравнений переноса, сумма компонент которого будет решением уравнения (1.0.4) для любых исходных волн V\ W, заданных на линии данных. Остается связать эти исходные волны с теми данными, которые заданы на линии, что приводит либо вообще к локальным соотношениям (как в случае начальной задачи), либо к одномерным интегральным уравнениям с вырожденным ядром. Мы здесь эти формулы не приводим, они аналогичны (1.1.1). Отметим, что мы здесь не занимались выдумыванием каких-то особых задач, все они известны (принцип отражения для задач с закрепленными и свободными концами, начально-краевая задача, задач Гурса, один из вариантов задачи Дарбу, который
-22-
мы назвали задачей Фридландера). Нас интересовала именно технология построения решений.
Пятый параграф является, на наш взгляд, одним из самых существенных: в нем устанавливается связь между интегральными представлениями волнового процесса (которые описываются в терминах волнового оператора) и интегральными представлениями изменения состояния среды (которые описываются известно формулой Римана). Ключевую роль здесь играют формулы выражения через коэффициенты переноса функции Римана эквивалентного (1.0.4) уравнения
(1.1.5)
и производных этой функции Римана.
Лемма 1.4.2. Функция Римана /?(£, г\\ а. Ь) уравнения (1.1.5) может бить выражена одной из четырех следующих формул:
а+т)
2
+
а-уЬ
2
'*(Т)
Ну)
С + 5?
+ у
а + р а + т] £ + 2 '~2 У’ 2
(1.4.5)
'к(Т)
*(Т)
а-уЬ
2
+
£+6
2
КТ)
Ну)
2 ’ 2
а+7]
Мх>
4(8»
+
0+6
2
а-уЬ
2
2
%)
+ У,
2 ’ 2
*(Т) г ('П~ъ , .. £ +
Ну)
2 ’ 2
<1у,
(1.4.6)
йу-
<1у,
Щ, V, а. Ь) =
кф
£Й ' 2
*(у) V 2 : 2
*(Т) + /№
<1+4
*(£+5) у*(2±2) ] *(у)
а+6 2
H^T^)J^a + Ч а + 11 ..$ + 4
2 ’ 2
-У,
2
&У-
Лемма 1.4.3. Производные функции Римана Я(£д7; а, Ь) уравнения
(1.1.5) выражаются следующими формулами:
г),а,Ь) 1л/С + »?чп/л _ . м
—а?—-5*—>я«.ч. <*.»)-
2 ’ 2 5 2 У (!•"
■7)
~(а + г\ г)-Ь £ + у\ , 7 {а + г} т)-Ь £ + г)'
\2* 2’ 2 у \^2* 2’ 2'
дЯ((,т1,а,Ь) 1х1а + Ъ.^и ^ = 2«—)Й(«.Ч,«.»)+
(1.4.8)
1
+2
1 (^~а £±?Л _ ;а + ^ г1~ь 1+!Л
' V 2 ? 2 ’ 2 У \ 2 ’ 2 ' 2 )_
dR.it, г), а,Ь) 1 „а + 6,п/,л п ,
»-----------= 5«-Г)Я(«.<1.а.»)+
(1.4.9)
1
+ 2
I (а + Г1 Г>~Ь £ + У\ _ 5 / 1+_Ь £- а |_+>Л ^ 2 ’ 2 ’ 2 / \ 2 ’ 2 ’ 2 /
(!•'
.10)
Следствие.
ЭЯ(5 — Ьу8 + £,а,Ь) дЬ
- 24-
1 , + 4 +а 5 4- £ — 6
сШ(£> г), а - г, <7 4- г) да
’7'
(1.4.11)
= <&(а)Д{£,??,сг-т,а + т)-
1 ?^ + (7 + г £~сг4-т £ 4- т?\ 1 / £ + а + т £ - а 4- г 4- ??
2 ’ 2
V
’ 2
I ~ (г)-\- о — т г] - а — г £ -1- ц\ 1 т { г) + а - т г) - а - т £ 4~ т?
-2У
2
> О
+ 2'/
2 ’ 2 ’ 2 )'
(1.4.12)
Полученные формулы позволяют преобразовать формулы решения задач в терминах волн в формулы решения задач в терминах состояния среды, получив чрезвычайно компактные выражения в терминах функции Римана. В качестве примера приведем формулу решения начальной задачи
г(в - Ь 4- в) 4- г(в 4- Ь - 9)
г(Ь, $) =
2
з+гн
+2
\ J Ыу)Щ8-Ъ8 + г,у-9,у + в) + £(у)Н(8-1,8 + Ъу-6,у + 0)}(1у,
(2.1.11)
в-г+О
для уравнения (1.0.4). формулу для производной этого решения
£(й — £ + 9) + £(й + t — в)
2Д(, з) =
2
1
+ 2 J [([у)Щз-г,з + 1,у-9,у+в) + Ьг(у)Щз-1,з + 1>у-0,у + 9))(1у,
в-1+в
(2.1.12)
(где Ьг - оператор в правой части (1.0.4)), формулу решения задачи Гурса
/
А + В
+ 9
з+Й-Л
2
А + В^
, 2 у
5-Й-В
в 4~ t. Л: В)4-
4- J /'(х)Д($ —А,2х-А)(1х+ J д\х)11{$-Ьу8-\-1у2х—ВуВ)<1ху
а+в л+в
2 2
(2.1.13)
-25-
формулу решения задачи с данными г(£, о) = г(0, с) — С(^) на вертикальной прямой 5 = О
г{1 - б) + г(Ь + 5) 1 [1+\л( V , , . , х
*(£,$)= — — - + - / [((тЩз-М + ^-^ст + т)-
^ ^ Л-5
-г(т)Яа($ - £, 5 4- *; СГ - т, СГ 4- г)] йт.
6.3 Вторая глава
Эта глава посвящена формулам граничного управления и условиям граничной управляемости для задачи граничной управляемости неоднородной струной. Для простоты результаты сформулированы для уравнения (1.0.4), поскольку переход к уравнению (1.0.2) здесь связан только с дописыванием радикалов.
Задача состоит в следующем: определить, при каких условиях для заданных начальных данных 20(5) = г(0, з), Со($) = дг/дЬ(0,5) и конечных данных гт(э) = г(Т,в): (т{з) = дг/ЩТ, б), заданных на [0,/], существуют граничные управления — г(£, 0) и /Д£) = г(£, /), которые позволяют перевести "струну", описываемую уравнением (1.0.4), из заданного начального состояния в заданное конечное. Нашей целью является вывод явных (насколько это вообще возможно) формул как для условий, так и для граничных управлений.
В первом параграфе приводятся условия управляемости и формулы граничного управления в случае Т < I.
Через Л(у; £, 77; А, В) обозначается функция
А+Т]
2
А(у; £, г\\ А. В) = [ Я(£, 77; А., 2% - А)ЯДД 2я - А; у, у) (1х~
А±В
2
ч; у, у) + ч; А #) #( А £; у» у)> С2-1 •1)
а через Л'(у; £, 77; А, В) - ее производная Л$ - -Ь Лд — Л^в, или. другими словами,
Л'(у; с, »7! А, Б) = ^Л{у; £ + 0,17 - 9; А + в, В - в)
(2.1.2)
9=0
Оператор В,Р
, определяемый формулой Я?
г
[.С
д.). іМ±М
- 26-
1 Г
+2 у 1г(у)М8-^£ + ^У^У) + ((у)к(8~^з + иу,у)}4у, (2.1.3)
мы будем называть оператором Романа, отображающим начальные дан-
, отличаю-
ные с отрезка [а,/?] в точку (і,5), операторы и ДІ^
іциеся от (2.1.3) отсутствием члена с г(а) или г(/3) соответственно - усеченными операторами Римана, а оператор
АПс
'Р
(£, я) = - і, 5 + £; а, р)+
+
Г
/ [2(2/)Л'(з/;з-4,з + £;а,^)-С(з/)Л(у;в-£,в + £;а,/?)]сгу (2.1.4)
да
- оператором коррекции, также отображающим начальные данные с отрезка [а,/?] в точку (М)-
Через Ьг обозначается функция іг = г" - (<р; 4- ^2)(5)^, т.е. результат применения оператора в правой части (1.0.4) к функции г.
Теорема 2.1.1. ЕслиТ < I, то классическое решение задачи 'граничной управляемости для уравнения (1.0.4) т отрезке (0,/] существует тогда и только тогда. когда начальные и конечные данные го($), Со($)> 2т(§), Ст(?) удовлетворяют условиям
р5+Г/2
Пб-Т/2
.Со + Ст_
(Т/2..3) =
Со ~Ст Ьго + Ьгу
(Т/2,5) = 0 (2.1.5)
при з є [Т/2.1 - Т/2] е случае Т <1 и условиям
(1/2,1/2) = 0.
г>в+1/2
<І8 -V*
А. »',+(/2
(ЬП,-Т/ 2
го-гт .Со + Ст.
К
(1/2,з)
го - гт
.Со + Ст.
,=1/2
(2.1.6)
(1/2,1/2) = 0,
(2.1.7) (1/2,1/2) = 0,
(2.1.8) в случае Т = I.
При выполнении этих условий граничные управления определяются по го, Со, 2т, Сг однозначно и даются формулами
Со - Сг
1/2о 4
(1/2,*)
й=І/2
Со - Ст Тго + Ьгт.
Ьго — Ьгу [Цо + ЬОг.
ЛС = {К-К} М((,о) + {к,т-*-лП
гт .“Ст.
(Т-4,0), (2.1.9)
- 27-
м(0 = {д'+4-г - л{-г} (« - т,1) + {л'-( - л'-1'} (-*,«)•
(2.1.10)
Основную роль в получении указанных формул играют формулы свертки для функции Римана. Мы, для примера, приведем одну из них
Во втором параграфе условия управляемости из первого параграфа (в случае Т < I) разрешаются относительно части конечных данных, что позволяет считать, что часть данных является "свободной" (правда, всегда остается несколько скалярных условий, ограничивающих эту свободу), а остальные могут быть по ним вычислены. При этом удается выразить только через "свободные" данные л граничные управления.
Отметим, что здесь появляется некоторое различие между случаями Т < I/2и Т > I/2, в первом из них и конечная скорость, и конечное состояние на промежутке [Т, I — Т] просто явно определяются начальными данными, а вне этого промежутка конечная скорость определяется по конечному состоянию и начальным данным. В случае же Т > I/2 на промежутке [I - Т. Т] все конечные данные являются свободными, а вне этого промежутка конечная скорость определяется по конечному состоянию и начальным данным.
В третьем параграфе изучается случай Т > I Здесь управляемость имеет место для любых начальных и конечных данных, и, даже более того, имеется произвол в выборе граничных управлений, например, на начальном промежутке времени (0,Т — I). В формулах этот произвол описан явным образом. Поскольку здесь перенос данных происходит не только с горизонтальных, но и с вертикальных прямых, помимо операторов (2.1.3) и (2.1.4), используются также операторы
2
J Д(^,77; АЛх-А)Яп{А,2х- А\у-0уу + 6)(1х
= * У - в, у +■ в) - Я(£, п,Л,у + 0)]. (2.1.26)
—г(г) -Ь,з+ Р,а - т,а + г)] йт
(2.3.1)
28-
Л£ * (из-А,В) = -А[г(0)-2(а)}Щз-1,8 + Ь,А,В)-
[£(т)Л(сг; $-£.$+£; А-г, В+т)-г{т)Лу{о\ в — 1,з-К; А—г, В-\~т)] бт.
6.4 Третья глава
Эта глава посвящена изучению трехмерного уравнения эйконала
основного уравнения геометрической оптики и акустики Первый параграф носит вводный характер в нем излагаются некоторые общие волновые представления и связи между ними.
Во втором параграфе основные понятия и формулы группового анализа - группы и алгебры симметрий, группы и алгебры эквивалентности. Здесь же вводятся и новые понятия конуса касательных эквивалентностей и пространства касательных эквивалентностей. Конус касательных эквивалентностей для фиксированного уравнения - это конус касательных векторов (при значении параметра, равном нулю и отвечающем тождественному оператору) к однопараметрическим семействам операторов, не обязательно образующих группу. Элементы этого конуса удовлетворяют некоторому линейному дифференциальному уравнению, аналогичному уравнению Ли. Все решения этого уравнения образуют линейное пространство, называемое пространством касательных эквивалентностей.
Пространство касательных эквивалентностей наверняка "покрывает" конус касательных эквивалентностей, а с другой стороны -- этот конус наверняка содержит сумму алгебры эквивалентности и алгебры симметрий соответствующего уравнения. Идеальный случай (который для уравнений эйконала как раз реализуется) состоит в совпадении пространства касательных эквивалентностей с указанной суммой, откуда немедленно слсдает, что класс эквивалентности уравнения является орбитой группы эквивалентности семейства.
Теорема 3.2.1. Пусть пространство касательных эквивалентностей некоторого семейства уравнений для любого уравнения из семейства является суммой алгебры Ли группы симметрий этого уравнения, и алгебры Ли общей группы эквивалентности, и пусть обе группы (группа эквивалентности и группа симметрий) являются конечномерными. Тогда любая компонента С1-связности любого класса эквивалентности этих
(2.3.2)
(3.1.3)
- 29-
уравпений может быть получено, из любого из уравнений этой компоненты действием па него группы эквивалентности.
В основе этой теоремы лежит лемма об аппроксимации неавтономной системы уравнений системами "кусочно-автономными", то есть о возможности аппроксимировать каждый оператор из однопараметрического семейства суперпозициями операторов некоторой группы, откуда и вытекает его принадлежность (при условии замкнутости группы) этой же группе.
В третьем параграфе осуществлена сепарация уравнений эйконала по группам симметрий, явно описаны и сами группы (точнее, их алгебры), и соответствующие семейства. Возможные размерности группы симметрий -это 15, 6, 5, 4, 2 и 1, причем одномерная группа сдвигов переменной ф является тривиальной, ею обладают все уравнения, ес наличие связано только с тем, что сама функция ф в уравнение не входит, и никакой информации о решении она не дает.
Теорема 3.3.1J. Группа симметрий уравнения эйконала (3.1.3) является 15-мерной для следующих функций скорости v(x, у, г) (с точностью до сдвига системы координат): постоянной
и (я» У1z) = const, (3.3.1)
линейной
ф,у,z) = Рх + Qy + Rz (Р2 + <22 + К2 > 0), (3.3.2)
и квадратичной одного из трех типов
ф,у, z) = w • {х2 Н- у2 + z2 - и2) (г/ > 0), (3.3.3)
ф, y,z) = w- (х2 + у2 + z2 + V2) {v > 0), (3.3.4)
ф, y,z) = w • (x2 + y2 + z2). (3.3.5)
Соответствующие алгебры Ли приведены в прилоэюении 11.2.
11. Группа симметрий уравнения эйконала является 4-мерной для.
v(x,y,z)y припадлеоюащей (с точностью до сдвига системы координат) одному из четырех семейств функций (V(•) - про'изволъная функция, Р2+ Q2 + R2 = 1): плоско-слоистых
ф,у,г) - V(Px + Qy + Rz), (3.3.6)
сферически-слоистых
v(x,y,z) = К(ж2+ г/2 + г2), (3.3.7)
цилиндрически-слоистых
v(x, у, z) = i-Rx + Рг) ■ V ( *lte + k) ’ (Я^0)’ (3'3'8)
-30-
и осесимметрично-слоистых
v(x, у, z) = (x2 + у2 + z2 ± i/2) • V • (3-3-9)
Соответствующие алгебры Ли перечислены в таблице НА в приложении 11.3.
Каоюдое из указанных семейств содержит, по нескольку .(четыре, шесть} ш,есть и шестнадцать соответственно) конечномерных подсемейств, для которых группы симметрий уравнения (3.1.3) шестимерпы; кроме того, семейство (3.3.6) и семейство (3.3.9) имеют по одному под-семейству, для которых группа симметрий уравнения (3.1.3) пятимерна. Списки этих подсемейств для каждого семейства и соответствующие алгебры Ли приведены в таблицах П.2-11.6 в приложении II. 3.
III. Для 11 семейств функций скорости v{x,y,z), описываемых произвольными функциями от двух аргументов, группа симметрий уравнения (3.1.3) двум.ерпа. Эти семейства определяются как общие решения уравнений вида
+ Щ + сVz = (£s - M)v (3.3.10)
(классифицирующих уравнений), где
£ = А(х2 - у2 - z2) 4- 2Вху 4- 2Cxz 4- Dx 4 Gy — Fz 4 Я,
rj = В (у2 — х2 - z2) + 2 Аху 4- 2 Cyz - Gx 4* Dy 4- Ez 4- I, (3.3.11)
£ = C(z2 — x2 - y2) 4 2Axz 4- 2Byz + Fx — Ey + Dz 4- J,
а А, В, С, D, E, F, G, H, I, J и M - некоторые константы. Для као/сдого из таких семейств соответствующая алгебра Ли имеет вид
3 = Д[£& 4 уду 4 £9* - Мфд*\ + 1Д,„ (3.3.12)
где А и L- произвольные константы. Формулы решений уравнения (3.3.10) для мучая А2 4- В2 4 С2 ф 0 (классифицирующие уравнения с квадратичными коэффициентами) приведены в приложении II. 4, а дм случая А = В = С = 0 (классифицирующие уравнения с линейными коэффициентами) - в приложении 11.5. В обоих приложениях уравнение (3.3.10) приведено сдвигом и поворотом, системы координат к нормализованной форме, и формулы решений соответствуют именно этой форме.
IV. Во всех остальных случаях группа симметрий уравнения (3.1.3) одномерна (это - группа сдвигов по ф с алгеброй Ьд$).
Эта теорема является, наверное, самой сложной во всей диссертации. Огромный объем рутинных вычислений, который пришлось выполнить, вполне оправдался результатом, который дал опору для поиска интегрируемых уравнений (это уравнения с 15-мерной, 6-мерной и отчасти с 5-мерной группой симметрий) и решений. Кроме того, характер найденных
- 31-
групп (группы размерности 15 оказались просто группами конформных преобразований) оказался тесно связанным с геометрией: соответствующие уравнения порождают римановы метрики постоянной кривизны.
В четвертом параграфе находятся группы эквивалентности и исследуется пространство касательных эквивалентностей.
Теорема 3.4.1. Общая группа эквивалентности уравнений (3.1.3) совпадает с прямой суммой группы конформных преобразований пространства переменных (x,y,z) и группы сдвигов и растяжений переменной ф.
Теорема 3.4.2. Пространство касательных эквивалентностей для всякого уравнения вида (3.1.3), за исключением уравнений (3.3.1) и (3.3.5), является сумм,ой алгебры Ли группы симметрий этого уравнения и алгебры Ли общей группы эквивалентности. Для уравнений вида (3.3.1) и
(3.3.5) пространство касательных эквивалентностей является суммой алгебры Ли группы симметрий, алгебры Ли группы эквивалентности и четырехмерного пространства, образованного операторами
5 = D0(ф2(хдх + уду + 20г) + у{х2 + у2 + z2 + \ty2)dy - v(x2 + у2 + z2)dv\4-
О
+ip2(Hodx+Iodv+Jodz+2[Hox+I0y+J0z)^d1p-2v(Hox+Iüy+Joz)dv (3.4.8) в случае уравнения (3.3.1) и операторами
+D0
5 = DQ(ip2(xdx + уду + zdz) - D0ф 1
1 1,0 +
д,р+
W +
w2(x2 + у2 + г2) 3
dv + Tjj2{Ao{(x2-у2- z2)dx + 2худу + 2xzdz)+
и>2(х2 + у2 + z2)
+В0\2худх + (у2 -х2 - z2)dy+2yzdz] + C0[‘2xzdx+2yzdy 4- (z2 -x2 -і/2)Зг]}-
-^TTTT+ 2 (A0x + Boy + C0z) w2(x2 + y2 + z2)
' » 1 rp2 +
dv
ю2(х2 + у2 + г2)
(3.4.9)
в случае уравнения (3.3.5).
В пятом параграфе на основе полученных в предыдущем параграфе результатов завершается групповая классификация: осуществляется расслоение всего семейства на классы эквивалентных уравнений. Классификационную теорему мы здесь не приводим, она лишь уточняет результат теоремы 3.3.1.
Наконец, шестой параграф этой главы посвящен явным решениям уравнения (3.1.3).
Теорема 3.6.1.Пусть г»(х,у, г) = Рх + С)у + Яг (где Р2 + С)2 + Я2 = ю2 >0). Тогда фронт волны точечного источника, находящегося в точке