Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 3
I Свойства траекторных воронок 8
1. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД S.K. ZAREMBA И В.В. ФИЛИППОВА 8
2. СВЯЗЬ МЕЖДУ АКСИОМАТИКАМИ S.K. ZAREMBA И Е.А. БАРБАШИНА 9
3. СВОЙСТВА ТРАЕКТОРНЫХ ВОРОНОК 13
II Свойства траекторий на плоскости 19
1. ТРАЕКТОРНЫЕ ВОРОНКИ НА ПЛОСКОСТИ 19
2. ПРЕДЕЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА ТРАЕКТОРИЙ 22
III Строение окрестности особой точки 43
1. СЕКТОРЫ 43
2. СТРОЕНИЕ ОКРЕСТНОСТЕЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ И СТАЦИОНАРНОЙ ТОЧЕК 48
IV Индексы 55
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ИНДЕКСОВ 55
2. ОТЫСКАНИЕ ИНДЕКСОВ ОСОБЫХ ТОЧЕК 57
2
ВВЕДЕНИЕ
В теории динамических систем, намеченной Пуанкаре и получившей широкое развитие в работах Биркгофа, уже изучались свойства решений дифференциальных уравнений при условии единственности решений без рассмотрения самих уравнений. М. Бебутов [17] доказал существование локального сечения динамической системы в локально-компактном метрическом пространстве в окрестности нестационарной точки. В.В. Немыцкий рассматривал множества кривых с единственностью, по без дифференцируемости. Он перенес на них ([8, 9]) многие свойства траекторий автономных систем дифференциальных уравнений. В частности, он доказал, что на плоскости предельное множество ограниченной траектории, не содержащее стационарных точек, является простой замкнутой кривой. В [9] на негладкие динамические системы обобщаются результаты Бендиксона о поведении траекторий в окрестности изолированной стационарной точки. Такая окрестность содержит лишь конечное число гиперболических и эллиптических областей. Также доказаны теоремы о существовании параболической кривой, в частности, вся плоскость не может состоять только из эллиптических и гиперболических кривых.
А.Ф. Андреев и Ю.С. Богданов в [7] рассматривали динамические системы с единственностью и показали для них, что из существования и единственности решений в предположении локальной компактности следует непрерывная зависимость решений от начальных данных. Их доказательство верно и для негладких динамических систем.
Польский математик 2агетЬа рассмотрел еще более общие множества кривых, для которых ни единственность, ни дифференцируемость не предполагаются [1]. Он сформулировал в виде четырех аксиом наиболее общие свойства решений дифференциальных уравнений и включений и на их основе предложил новый подход к изучению дифференциальных уравнений и включений. В [1] Zaremba исследовал свойства интеграль-
з
ной воронки У {А) в пространстве Лп+1, соответствующей компакту А. Для отрезка У(А;а,Ь) воронки он доказал, в частности, полунепрерывную сверху зависимость У(А;а,Ь) от компакта А и компактность воронки У(А;а,Ь) в пространстве Яп+1. Здесь предполагается, что любое решение, график которого имеет общую точку с множеством А, может быть продолжено на весь рассматриваемый промежуток времени [а, 6]. 2агетЬа показал независимость свойства Кнезера (связность сечения воронки) от этих четырех аксиом. Юисгпу [10] рассматривал семейства кривых, расположенных в данном компактном множестве IV. В частности, он исследовал кривые, выходящие на границу, и указал условия, при которых воронка компактного множества компактна, связного — связна.
С иной точки зрения подошел к аксиоматической теории дифференциальных уравнений и включений Барабашин [3]. Он рассматривает обобщенную динамическую систему, заданную в полном метрическом пространстве с помощью своих множеств достижимости /(£, А). Для такой системы он определяет множество кривых, играющих роль, аналогичную траекториям динамической системы Биркгофа. Аксиоматики Zaremba и Барбашина определяют одни и те же траектории, что будет показано ниже (§2 гл. I). Это позволяет перенести свойства обобщенных динамических систем, доказанные в [3] и, в частности, относящиеся к минимальным множествам и рекуррентным траекториям, на множество кривых, удовлетворяющее аксиомам 2агешЬа.
В последние годы аксиоматическая теория дифференциальных уравнений и включений активно разрабатывалась в МГУ В.В. Филипповым ([2], [19-26]) и позволила получить ряд существенно новых результатов, в том числе существование решений для уравнений с особенностями, не удовлетворяющими условиям Каратеодори. Введенное В.В. Филипповым понятие ’’сходимости пространства решений” позволило исследовать зависимость решений от параметра и асимптотические свойства решений в окрестности стационарной точки или при £ —► оо, включая теоремы
4
устойчивости по первому приближению в более общих формулировках, чем классические результаты. В [5] и [11] аксиоматический метод применяется к доказательству теорем устойчивости в случае, когда уравнение первого приближения однородно любой степени.
Для автономных систем дифференциальных уравнений с гладкими правыми частями на плоскости интенсивно разрабатывалась качественная теория, позволившая получить многие свойства решений, не рассматривая самих уравнений (Пуанкаре [12], Бендиксон [13], Андронов [14] и другие). По качественной теории дифференциальных включений на плоскости известны лишь отдельные результаты (работы Бутковского А.Г. [15] и сотрудников Института проблем управления, работы A.A. Давыдова [16] и А.И. Панасюка [18]).
А.Ф. Филиппов [4] применил основные методы качественной теории к исследованию дифференциальных включений вида х 6 F(x)} где F(x) — непустое, ограниченное, замкнутое, выпуклое множество и функция F полунепрерывна сверху относительно включения. На дифференциальные включения указанного вида обобщаются следующие важные результаты: предельное множество ограниченной полутраектории содержит стационарную точку или замкнутую траекторию; в замкнутой области, ограниченной замкнутой траекторией, содержится стационарная точка. Для нестационарной точки в [4] строится сечение и с его помощью исследуются многие свойства траекторий и их предельных множеств.
Ввиду наличия приложений дифференциальных включений к теории управления, исследование свойств дифференциальных включений является актуальной задачей. Аксиоматическая теория позволяет изучать общие свойства дифференциальных включений независимо от их вида.
В [2], [20] В.В. Филиппов распространил некоторые результаты качественной теории дифференциальных уравнений в R2 на пространства решений, удовлетворяющие аксиоматике Zaremba. В частности, он обобщил теорему Пуаикаре-Бендиксона, доказал, что предельное множество огра-
5
ниченной полутраектории содержит стационарную точку или замкнутую траекторию, дал определение индекса стационарной точки на плоскости.
В.В. Филиппов доказал лемму о строении окрестности нестационарной точки. Эта лемма в дальнейшем играет ту же роль, что и сечение нестационарной точки в качественной теории дифференциальных уравнений.
В данной работе результаты Бендиксона о свойствах траекторий на плоскости и их предельных множеств обобщаются на автономные дифференциальные включения и на любые семейства Z кривых на плоскости, удовлетворяющие аксиомам гагетЬа и условию автономности: если .г € Z,тo г(Ь + а) е Z для любого а € Я.
В главе I исследуются свойства траекторных воронок в Яп. Для траекторией воронки У(€}уе) доказана полунепрерывная сверху зависимость У(Я*ё) от компакта ф и компактность воронки У(СЭ,е) в пространстве В,п. Устанавливается связь между аксиоматиками гагешЬа и Барбаши-на, позволяющая перенести многие свойства, полученные Барбашиным для обобщенных динамических систем, на семейство Z при некоторых ^ дополнительных условиях.
В главе II изучаются свойства предельных множеств на плоскости. Определения спиралевидного приближения траектории к своему предельному множеству, данные в [6] и [4], обобщаются на семейство Z. Основные утверждения получены для траектории Ь без самопересечений и ее предельных множеств. Пусть ^-предельное множество 0,1 траектории Ь без самопересечений содержит нестационарную точку. Тогда Ь не имеет общих точек с Оь и приближается к нему спиралевидно. Если в имеются и стационарные и нестационарные точки, то оно состоит из не более чем счетного числа дуг траекторий, каждая из которых примыкает обоими концами к множеству Мг стационарных точек, М2 С Оь- Также доказаны утверждения, аналогичные леммам о кольцевых областях из
и.
В главе III исследуется строение окрестности изолированной особой
б
- Киев+380960830922