2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ ................................................ 3
§ I. Метод "параметрикс" и метод "коммутант" 17
ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ КОШ
§ 2. Полугруппы expj^zFct,^)} .............. 22
§ 3. Операторы K(t,T) и К, (VO.............. 29
§ 4. Оператор ..................... 33
§ 5. Линейное уравнение .................... 40
§ 6. Квазилинейное уравнение ............... 45
§7. Дополнительные оценки гладкости ... 50
§ 8. Оператор lUt/t) в шкале пространств 59
ГЛАВА И. ПРИНЦИП УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧИ КОШ
§ 9. Принцип усреднения для линейного однородного уравнения........................... 65
§10. Принцип усреднения и устойчивость . . 78
§11. Принцип усреднения для квазилинейного
уравнения.............................. 84
§12. Принцип усреднения и нелокальная разрешимость квазилинейного уравнения .. 96
ГЛАВА III. ПРИНЦИП УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ КОШ
§13. Резольвента дифференциального оператора 99
§14. Дифференциальные операторы в шкале Гёльдера 101 §15. Коммутанты дифференциальных операторов 104
§16. Задача Коши для параболических уравнений 115
ЛИТЕРАТУРА.............................................. 122
ВВЕДЕНИЕ
I.Принцип усреднения H.H.Боголюбова - Н.М.Крылова [lf2] применим для исследования широкого круга задач математической физики, приводящих к уравнениям с быстро осциллирующими коэффициентами. Этому принципу посвящено большое число работ, среди которых отметим монографии [з - д] . В монографии [7] приведен обзор результатов по методу усреднения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнений с частными производными и для некоторых других классов уравнений.
Настоящая диссертация посвящена принципу усреднения для параболических уравнений. Поэтому более подробно остановимся на работах, в которых исследуется принцип усреднения для уравнений такого типа. Первой, повидимому, была работа [9], где исследована задача Коши
ЛГ.Ч ЗУ Д.У-В „,'jjg
9 d
(Ost^T, хеЯ*) <J(0,x)=üe(x) (ХбЯа)? со ^0
/I/
для слабо нелинейной параболической системы, содержащей большой параметр СО . Установлена равномерная по (1>, X) сходимость при (0 -*•+00 решений >0'аэСЬ,£) задачи /I/ к решению усреднённой задачи Коши
(О^-Ь^Т, хеТГ), 1Г(0,ж)-1У°(х) (хеЯа).
Здесь Я (X,О1)определена формулой
*
?те(х,1У)=11т 4-\ T4t,£}tr) dt. /з/
и*+- ^ i
4
Исследование опирается на метод интегральной непрерывности, впервые применённый в работе [ю] и развитый в работе [п] для уравнений с ограниченными операторами.
В работах [12,13] была изучена общая начально-краевая задача для квазилинейного параболического уравнения вида
а*(х)!1)ж1Г+£ (оз^хдТЗ^) (1^и2гл-1)0£-ь*Т, хеО) /4/
в ограниченной области . Установлена сходимость в Ьр(П)
норме при любом р>1 , равномерная по 1^6 [О,!1] , не только решений этой задачи, но и их производных
вплоть до старшего порядка |^|=2гТ1 к соответствующим производным решения !Г00('Ь,Х) усреднённой задачи. Исследование опирается на метод дробных степеней операторов, изложенный в [и]. и метод интегральной непрерывности. Отметим, что [13] - это первая работа, в которой установлена сходимость старших производных поX.
В работе [153 впервые были изучены параболические уравнения, коэффициенты которых при старших производных по X содержат большой множитель при временной переменной. В ней изучена задача Коши для параболического уравнения
«)Г1 9 I ^ I** ^
л. /5/
+ хеЯ, аэ^О).
Установлена сходимость в С([0,Т]?Я ) её решений к решению усреднённой задачи с помощью методов теории вероятностей.
Систематическое исследование принципа усреднения на временной оси для параболических уравнений, содержащих большой множитель при "Ь в коэффициентах при старших производных, было проведено в работах [16,I?] /см. также [18]/. В них разработана тео-
рия абстрактных уравнений такого вида, названных в [1б] уравнениями с переменным главным членом. В приложении к линейным параболическим уравнениям произвольного порядка 2 ГП* дивергентного вида эта теория позволила установить слабую сходимость в 2 /точнее в /-норме производных решений по X до поря-
дка ГТ1 к соответствующим производным решения усреднённого уравнения. Эта теория позволила исследовать также квазилинейные параболические уравнения второго порядка дивергентного вида и установить сходимость в С -норме решений этих уравнений к решениям усреднённых уравнений.
В последние годы интерес математиков привлекают задачи много-мерного усреднения. Исследуются уравнения, коэффициенты которых содержат большие множители не только у , но и у X , Принцип усреднения и более общее понятие 6 -сходимость для линейных эллиптических и параболических уравнений произвольного порядка 2пг дивергентного вида исследованы в работах [19,20,21]. В этих работах имеется также подробная библиография предшествующих работ по & -сходимости и принципу усреднения.
Приведём результат из работы [21], касающийся одномерного усреднения и имеющий непосредственное отношение к данной диссертации /теорема 7 из[21]/. Рассматривается задача Коши
Ц-+11 И)тЪ^[а (оз^х)Т)^0'] = ^
|е£Ш<п> с*’)’г
/6/
(0£-иТ\хеИа), 1Г(0,х)=1Го(х) (х€Яа‘) .
Предполагается, что коэффициенты 0-с£^('Ь,Х)('Ь'?0,Х€Я ) равно-мерно непрерывны по совокупности переменных; существуют такие константы ЛД)Л>0, что выполнены неравенства
(И,|>1*£Пг, ио, хеЯа),
6
1 №<(*Ч
и при каждом хеЯ существует предел
%(ж^£ т! о^.мй.
Задаче /6/ сопоставляется усреднённая задача Коши
|£+Г1с-1)Х[а>>Т)>И
М,1ЦКт х х о /?/
(О^-Ь^Т, хеЯ"') ^гСО^^Сх) (осеЯ*).
Изучаются обобщённые решения О^СЪ^Х) и О^С^Х) задач /6/ и /7/ соответственно, Т.е. решения ИзЬ2([0,Т]^2^[Яа])П^/,2([05'^[1А^СЯП]). В частности, это означает,что обобщённые решения имеют /обобщённые/ производные по X до порядка |оС|^ Га из МП а=[о,т>к\ Установлена /при(0-^* + е>о / слабая в 1и(03-норме сходимость обобщён-ных градиентов и ]]х^а,х) к сь,®) при |оС|5 т #
В работах [22,23 ] изучена задача Коши
СО^-Ь^Т, хеЯ"'), чтсо,ОС^=Ч70С'Х') (хеЯа), £
и установлено неравенство коэрцитивности в -нормах. Особенность этих результатов в том, что нормы старших производных решения задачи /8/ оцениваются величиной, не зависящей от модулей непрерывности коэффициентов по • Поэтому эти результаты применимы к исследованию принципа усреднения для задач /б/ и /7/ при |Т1=1 /и при дополнительных предположениях о гладкости коэффициентов по X /. С помощью этих результатов и сформулированного выше результата из [21]] можно установить, что вместе с производными по X до второго порядка включительно ела-
7
бо СХОДЯТСЯ К соответствующим производным ^ В Ьр(Ц) -норме при любом р > 1 , и при каждом фиксированном сходятся ра-
вномерно по X из любого компакта Я . На работы [22,23] обратил моё внимание В.В.Жиков.
Из приведенного обзора литературы видно, что для уравнений с переменным главным членом /по терминологии [16*]/ актуально построение теории, которая позволила бы в приложениях исследовать квазилинейные параболические уравнения произвольного порядка 2 т общего вида и установить оценки скорости сходимости в С -норме решений неусреднённых уравнений и их производных по пространственным переменным до порядка 2.ГГ1 включительно к соответствующим решению и производным усреднённого уравнения. Изучению этих проблем и посвящена данная работа.
В банаховом пространстве исследуется задача Коши для квазилинейного дифференциального уравнения первого порядка с переменным главным членом. Для указанного класса уравнений получена теорема существования и единственности в предположении одной лишь непрерывности операторных коэффициентов по ~Ь и ограничений на некоторые коммутанты. В качестве приложения получена теорема существования и единственности классического решения для квазилинейного параболического уравнения порядка 2пъ общего вида с одним пространственным переменным в предположении непрерывности коэффициентов по "Ь и гёльдеровости по X . Отметим, что ранее существование классических решений в предположении лишь гёльдеровости коэффициентов по X было установлено для нелинейных параболических уравнений только второго порядка [23*]. Для линейных параболических уравнений высокого порядка и систем существование классических решений доказано в предположении гладкости коэффициентов по совокупности переменных /см. [24] И [25]/.
Установлен принцип усреднения, обеспечивающий сходимость ре-
8
шений неусреднённой задачи Коши к решению усреднённой задачи в различных нормах, причём установлен не только факт сходимости, но получены оценки быстроты этой сходимости через величины, характеризующие скорость усреднения коэффициентов. Главный результат здесь состоит в том, что получены оценки скорости сходимости в норме, определяемой старшим операторным коэффициентом. Абстрактная теория применена к исследованию задачи Коши для квазилинейного параболического уравнения порядка 2т с одним пространственным переменным, и получены оценки скорости сходимости в норме
С (С0.Т1, СйтСКЛ)).
Отметим, что установлена не только сходимость решений для индивидуальных входных данных, а сходимость операторов сдвигами получены оценки скорости этой сходимости. Это позволило исследовать связь устойчивости по Ляпунову для усреднённых уравнений с таким же свойством неусреднённых уравнений и, главное, установить принцип усреднения не только для линейных, но и для общих квазилинейных уравнений.
Результаты диссертации получены с помощью метода "коммутант", впервые применённого в работе [2б] при построении оператора сдвига задачи Коши для линейного однородного параболического уравнения порядка 2.т с переменными коэффициентами. В [2б] этот метод позволил построить оператор сдвига без предположений о гладкости коэффициентов по t , но при большой гладкости их по X . Это дало возможность применить метод "коммутант" в работах автора [27,281 к исследованию принципа усреднения для квазилинейных уравнений с линейным переменным главным членом. В данной работе предложен новый вариант метода "коммутант", позволивший в приложениях требовать от коэффициентов лишь некоторой гёльдеровости по X , что дало возможность применить его к общим квазилинейным уравнениям.
2. Перейдём к обзору содержания диссертации.
В вводном § I даётся постановка задачи Коши для абстрактного квазилинейного дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве с переменным главным членом; описывается схема метода "параметрикс" и поясняется его непригодность для исследования принципа усреднения; приводится схема метода "коммутант". В главе I исследуется абстрактная задача Коши.
В § 2 изучаются некоторые свойства аналитических полугрупп, порождаемых зависящими от параметров неограниченными операторами. По тройке банаховых пространств ( 0 < ^<1) и 0 с непрерывными и плотными вложениями Ъ сЕ сЦ и по функции В(5) (5»0) со значениями в Нот [ид] определяется её усреднение Рад с*»*) , порождающее в *]£ аналитическую полугруппу е®р{-гр(-Ь,я:)} С г 5-0) . Устанавливается связь между оценками этих полугрупп и их коммутантов с оператором В(5) и оцен-
ками резольвент операторов ТЧ“Ь и соответствующих коммутантов с*
. При этом используется известная из теории полугрупп связь между полугруппой и резольвентой её производящего оператора, устанавливаемая с помощью преобразования Лапласа /см. напр. [29^/. Здесь накладываются основные для дальнейшего ограничения
/9/
для некоторого [^,1] » показывающие, что нормы должны определённым образом стремиться к нулю при стремлении модуля спектрального параметра Л к бесконечности. Отсюда выводятся соответствующие оценки для 0^ . Эти оценки позволяют изучить гладкость полугрупп ехр {-2 и коммутантов по параметрам
/леммы 1-4, стр. 24, 25/, а также получить оценки разности полугрупп /лемма 5, стр.28/. Оценки § 2 позволяют исследовать в § 3 ЯДР° КСЬ/С) интегрального уравнения, служащего для определения оператора сдвига Ц.СЬф линейной однородной задачи Коши. Устана-
10
вливается непрерывность КСЬ/И при t>cC в Нот[Ё,Е^] и цикл
оценок норм Kct,*) /лемма I, стр.ЗО/. Важнейшей является оценка
в Нот[Ё,Ё] , показывающая, что ядро К(ед имеет суммируемую
особенность. Это позволяет в § 4 построить оператор сдвига
как решение интегрального уравнения
* t
Ш‘С)=Фсь«с)+ $U(±, 5)К(зго As, Фед=ехр{- , /I0/
^ %
эвристический вывод которого дан в § I. Оценки §§ 2,3 позволяют
в § 4 доказать непрерывность U(t,t) в Нот [Ё,Т] и её дифференци-руемость по t в Нот [Е,Й при -fc /леммы 1,2, стр. 33,36/.
В этих доказательствах существенно использование промежуточного пространства . В качестве следствия выводится дифференциальное уравнение для оператора Над.
Изученные свойства оператора сдвига позволяют /§ 5/ доказать существование и единственность решения линейной задачи Коши и получить формулу для её решения. При исследовании разрешимости ли-
нейного неоднородного уравнения используется идея из [ 12*]. Доказательство единственности опирается на установленную в § 3 /лемма 2, стр.32/ оценку в Нот[Ю,В] ядра уравнения, сопря-
жённого /10/. Из единственности решения задачи Коши вытекает важное тождество Гюйгенса для оператора сдвига. Оно позволяет доказать дифференцируемость 11 (t,^) по в Нот. [$,£].
В § 6 исследуется квазилинейная задача Коши
ir'+A[-t,<r]ir = f[-fc,<r] tf(0)=iro. /п/
Термин "квазилинейная" оправдывается тем, что функция ACt,V) непрерывна из [0,+°°)*Ё$ В Нот[ф,Ё] , f (t,<n непрерывна из [о,+ °°]*Ё5 в , и - банахово пространство с непрерывны-
ми вложениями ID cEscE . По непрерывной при "t^O со значениями В функции ZCt) строится линейный оператор
- Киев+380960830922