Динамика нелинейных диссипативных осцилляторных систем при периодическом и квазипериодическом воздействии

СОДЕРЖАНИЕ.
СОДЕРЖАНИЕ....................................................2
ВВЕДЕНИЕ......................................................5
ГЛАВА 1. БАЗОВЫЕ ОБЪЕКТЫ И МЕТОДИКА
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ........................29
1.1. Введение................................................29
1.2. Нелинейный колебательный контур при.......................
гармоническом воздействии.............................32
1.2.1. Многообразие колебательных режимов................32
1.2.2. Универсальные конфигурации бифуркационных ..........
множеств и константы вблизи границы................
перехода к хаосу.................................41
1.2.2.1. Экспериментальное наблюдение отображений последования...........................................41
1.2.2.2. Спектральные закономерности на пороге ..........
перехода к хаосу...............................45
1.2.2.3. Размерностные свойства аттракторов............50
1.2.2.4. Дискретное моделирование и обсуждение...........
результатов....................................54
1.3. Гармонически возбуждаемая ЯЬС-цепь на переключаемых конденсаторах................................................59
1.4. Выводы..................................................70
ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ
СИСТЕМ................................................71
2.1. Введение................................................71
2.2. Математические модели базовых экспериментальных систем 73
2.2.1. Уравнение осциллятора с потенциалом Тода..........73
2.2.2. Мультимодальное многопараметрическое отображение осциллятора с асимметричным потенциалом..................76
2.2.3. Мультимодальное многопараметрическое отображение осциллятора с симметричным потенциалом...................84
2.3. Реконструкция неавтономных дифференциальных моделей по временному ряду..............................................90
2.3.1. Трудности стандартного подхода....................90
2.3.2. Модификация стандартного подхода и особенности ее использования............................................99
2.3.3. Примеры применения методики при реконструкции.......
уравнений осцилляторов..........................108
2.3.4. Реконструкция уравнений осцилляторов при............
наличии шума....................................116
2.4. Моделирование по экспериментальным временным рядам 122
2
2.4.1. Моделирование неавтономного кусочно-линейного осциллятора...............................................125
2.4.2. Модель системы из «первых принципов»...............129
2.4.3. К вопросу о механизмах хаотизации процессов в........
контуре с диодом..................................135
2.4.4. Реконструкция модельных обыкновенных.................
дифференциальных уравнений по временным.............
рядам тока и напряжения...........................139
2.5. Приложение методов реконструкции для измерений ............
характеристик нелинейных элементов.....................150
2.6. Выводы...................................................161
ГЛАВА 3. ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА ПРИ
ДВУХЧАСТОТНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ..............................163
3.1. Введение.................................................163
3.2. Нелинейный осциллятор при бигармоническом воздействии с иррациональным соотношением частот.....................164
3.3. Нелинейный осциллятор при бигармоническом воздействием с рациональным соотношением частот..............................179
3.4. Кусочно-линейный колебательный контур с потенциалом,.......
близким к симметричному при квазипериодическом...........
воздействии............................................185
3.5. Численное исследование дискретной модели с рациональным соотношением частот...........................................190
3.6. Выводы...................................................196
ГЛАВА 4. ДИНАМИКА СВЯЗАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ
ОСЦИЛЛЯТОРОВ...........................................197
4.1. Введение.................................................197
4.2. Динамика нелинейных осцилляторов с диссипативной связью и иррациональным соотношением частот воздействия................199
4.3. Динамика нелинейных осцилляторов с реактивной связью и иррациональным соотношением частот воздействия................212
4.4. Динамика нелинейных осцилляторов с диссипативной связью и синфазным воздействием........................................218
4.5. Динамика диссипативно связанных систем с удвоением ........
периода................................................232
4.5.1. Динамика систем при наличии симметрии............232
4.5.2. Бассейны притяжения аттракторов....................244
4.5.3. Влияние асимметрии на режим хаотической..............
синхронизации.....................................257
4.5.4. Влияние асимметрии на эволюцию несинфазных...........
режимов...........................................265
4.5.5. Влияние асимметрии на структуру бассейнов............
притяжения........................................268
3
4.6. Выводы..............................................272
ГЛАВА 5. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ И БЫСТРЫЕ
БИФУРКАЦИОННЫЕ ПЕРЕХОДЫ...........................274
5.1. Введение............................................274
5.2. Процессы установления предельных циклов.............281
5.3. Численное исследование нарушения вероятностной симметрии конечных состояний.......................................293
5.3.1. Постановка задачи при численном моделировании на одномерном отображении..............................293
5.3.2. Результаты численного исследования нарушения вероятностной симметрии конечных состояний..........294
5.4. Экспериментальное исследование нарушения вероятностной симметрии конечных состояний.......................304
5.4.1. Методика экспериментальных исследований быстрых бифуркационных переходов............................304
5.4.2. Нарушение вероятностной симметрии конечных ......
состояний при быстрой бифуркации удвоения........
периода в нелинейном колебательном контуре....312
5.4.3. Нарушение вероятностной симметрии конечных.......
состояний в системе с бифуркацией потери.........
симметрии.....................................315
5.5. Выводы..............................................318
ГЛАВА 6. ПРИМЕР НЕАВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ С
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ АТТРАКТОРОМ..........................
ТИПА СМЕЙЛА-ВИЛЬЯМСА 320
6.1. Введение............................................320
6.2. Схема и принцип действия системы на основе связанных...
генераторов Ван-дер-Поля..........................324
6.3. Система дифференциальных уравнений..................328
6.4. Экспериментальные результаты........................340
6.5. Выводы..............................................346
ЗАКЛЮЧЕНИЕ...............................................347
ЛИТЕРАТУРА...............................................352
БЛАГОДАРНОСТИ............................................392
4
ВВЕДЕНИЕ
В 1998 году в перечень приоритетных направлений фундаментальных исследований Президиума Российской Академии наук впервые вошла нелинейная динамика. Данное событие можно истолковать как официальное ее признание еще одним фундаментальным направлением в науке. Становление нелинейной динамики происходило в процессе взаимодействия и взаимодополнения экспериментальных и теоретических исследований объектов различной природы, создания универсальных моделей, развития соответствующих разделов математики и синтетических дисциплин, таких, как теория колебаний и волн, теория бифуркаций, теория катастроф, теория фрактальных множеств [1-34].
Следует отметить существенную роль в этом становлении исследование радиофизических объектов. Это связано с удобными для экспериментирования характерными временными масштабами процессов и хорошо развитой инструментальной базой, относительно низким уровнем естественных шумов и развитым математическим аппаратом для моделирования и обработки данных. Исследования различных автономных и неавтономных радиофизических систем привнесли огромный вклад в нелинейную динамику, теорию колебаний и волн, дали пищу для размышлений математикам. Кольцевые генераторы с запаздывающей обратной связью (Залогин H.H., Кислов В .Я., Мясин) [19, 35-38], система электронный пучок - обратная электромагнитная волна (Трубецков Д.И., Безручко Б.П., Кузнецов С.П.,) [39], генератор на туннельном диоде (Кияшко
С.В., Пиковский A.C., Рабинович М.И.) [40], генератор с инерционной нелинейностью (Анищенко B.C., Астахов В.В.) [21, 25, 34, 41], системы фазовой автоподстройки (Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д.) [24, 42], системы связи с использованием хаотических сигналов (Дмитриев A.C., Панас А.И., Старков С.О.) [31], система Чуа [43],
5
периодически возбуждаемая LR-диод цепь (Linsay P.S. [44]) позволили исследовать многие фундаментальные проблемы нелинейной динамики. На них экспериментально изучены типы бифуркаций, сценарии переходов к хаосу, эволюция хаоса, бифуркации аттракторов. Масса тонких вопросов динамики нелинейных систем изучена физиками и математиками на примерах различных объектов радиофизики и их моделях (Анищенко B.C., Афраймович B.C., Белых В.H., Дмитриев A.C., Кияшко С.В., Кузнецов С.П., Ланда П.С., Майстренко Ю.Л., Минакова И.И., Неймарк Ю.И., Пиковский A.C., Рабинович М.И., Трубецков Д.И., Шильников Л.П. и многие другие отечественные и зарубежные коллеги).
Одними из самых «благодарных» и популярных базовых объектов нелинейной динамики стали осцилляторные диссипативные системы, совершающие колебания около положения равновесия и их конечномерные модели. С развитием концепции динамического хаоса представления об осцилляторе, исконно ассоциирующееся с маятником, существенно расширилось и наполнилось новым (нелинейным) содержанием. Это развитие продолжается и сейчас. Например, в последнее время модели диссипативных (неавтоколебательных) осцилляторных систем активно используются при моделировании механизмов функционировании живых организмов [45].
В качестве предмета исследования в диссертации выбран класс осцилляторных систем, находящиеся под внешним силовым воздействием. В круг неавтономных систем входит огромное число реальных объектов: от микроскопических до макроскопических. Например, все формы жизни на Земле подвержены воздействию: суточному - смена дня и ночи, годичному -смена времен года (так называемые циркадные и циркануальные ритмы), циклическим изменениям гравитации из-за воздействия Луны, эллиптичности орбиты земли. К процессам, наблюдаемым в подобных системах, относятся: вибрации машин и механизмов, вызванные работой
6
электрических и тепловых двигателей, распространение сигналов в линиях связи, обмен данных в компьютерах и компьютерных сетях, колебания диполей в переменных электрических и магнитных полях, некоторые параметры мезосферы испытывают дрейф под влиянием изменений в других слоях атмосферы [46-48] и т.п. Поведение таких систем определяется не только внутренними свойствами, но и зависит от формы воздействия, его интенсивности, способа внесения, соотношения временных масштабов собственных и внешних, и может быть, вообще говоря, очень сложным. Основное внимание в работе уделяется ситуации, когда воздействие силовое. В радиофизике - оно реализуется в возбуждаемых внешними сигналами электрических, электронных, полупроводниковых цепях, параметрических усилителях, генераторах и умножителях частоты [49-51]. Значительная роль в исследовании отводится радиофизическому варианту нелинейного осциллятора - колебательному контуру [44]. Во многих случаях математической моделью подобных объектов выступает уравнение осциллятора - эталонная динамическая система, заслужившая статус «ключа к анализу» многих колебательных систем [17].
Исследование вынужденных колебаний осциллятора подарило науке понимание многих важных феноменов. В первую очередь это связано с явлением резонанса, которое, с одной стороны, успешно используется, например, для фильтрации сигналов, а с другой ~ может привести к катастрофическим последствиям, например, разрушению конструкций [11, 13]. С развитием нелинейных представлений, особенно, концепции динамического хаоса, интерес к неавтономным осцилляторам значительно возрос, поскольку оказалось, что многие из них при элементарном гармоническом воздействии демонстрируют сложное поведение и хаос. Простота и доступность этих систем объясняют их популярность у исследователей нелинейных колебательных явлений.
7
Теоретическим исследованиям динамики нелинейных неавтономных осцилляторов посвящено огромное число работ. Известные уравнения Дуффинга, Матье, Тода, Морзе стали в этих исследованиях классическими [52-68] . На этих примерах изучены характерные типы фазовых портретов, многообразия устойчивых и неустойчивых циклов, исследована структура пространства управляющих параметров, роль симметрии потенциальной функции, проверены известные закономерности и свойства скейлинга вблизи границы перехода порядок - хаос, полученные с помощью отображений [69-74], проведен анализ бассейнов притяжения бистабильных и мультистабильных состояний, проведена оценка размерностных характеристик аттракторов [75-80].
В абсолютном большинстве последовательных исследований сложной динамики систем, совершающих вынужденные колебания у положения равновесия рассматриваются потоковые модели, многие результаты, особенно касающиеся границы перехода к хаосу, получены на основе анализа дискретных моделей (отображений), в то же время экспериментальные работы, пытающиеся охватить весь спектр присущих этим системам феноменов, отсутствуют. Остается и ряд почти «белых пятен». В частности: 1) недостаточно изучена динамика нелинейных систем при двух и многочастотном воздействии. В первую очередь речь идет об изучении перехода от регулярного поведения к хаосу через разрушение квазипериодических режимов (одной из центральных тем в нелинейной динамике). Начиная с основополагающих работ Ландау [81] и Рюэлля и Такенса [82, 83], многие авторы обращались к теоретическому и экспериментальному исследованию различных аспектов таких переходов, например [84-90]. Как оказалось, некоторые тонкие детали
1 Приводимый список литературы конечно не является полным, охватить вниманием все множество работ, посвященных неавтономному нелинейному осциллятору просто уже не представляется возможным.
8
квазипериодической динамики трудно выявить и изучать в автономных системах, но их можно успешно анализировать, рассматривая системы с внешним квазипериодическим воздействием. Действительно, в автономных системах характерные частоты определяются внутренней динамикой, и, в силу эффекта синхронизации управлять ими независимо от других параметров трудно, если вообще возможно. Напротив, в неавтономных системах частоты, представленные в спектре внешнего воздействия, можно рассматривать просто как управляющие параметры и задавать произвольно. В эксперименте их легко регулировать, обеспечивая любое желаемое соотношение частот;
2) как выяснилось в последнее время, на пути от регулярной динамики к хаосу в системах с квазипериодическим внешним воздействием очень часто встречается своего рода промежуточный тип поведения, которому в фазовом пространстве соответствует странный нехаотический аттрактор. Появление подобных режимов колебаний делает всю картину перехода к хаосу весьма нетривиальной. Странные нехаотические аттракторы впервые были описаны в работе Гребоджи с соавторами в 1984 году [91]. С тех пор они исследовались численно и экспериментально [91-117]. Для странных нехаотических аттракторов характерно совмещение определенных свойств регулярных режимов и хаоса. Также как регулярные аттракторы, они имеют нулевые старшие ляпуновские показатели, однако их геометрическая структура фрактало-подобная, как у хаотических аттракторов. Спектрально-корреляционные свойства, характерные для режима странного нехаотического аттрактора, также оказываются промежуточными между порядком и хаосом - генерируемый спектр является сингулярно-непрерывным. Численные исследования странных нехаотических аттракторов пока более плодотворны, чем экспериментальные;
9
3) переход от одиночного осциллятора к связанным осцилляторам, а затем к цепочкам и решеткам, традиционно в теории колебаний и волн [3, 7, 9, 18], является классическим приемом исследования и рассматривается как промежуточный этап при последовательном переходе к волновым процессам [9, 61, 118-124]. Однако связанные системы требуют дополнительного изучения для случая произвольного (рационального и иррационального) соотношения частот воздействия;
4) в общем случае для неавтономных систем можно выделить два типа динамических переменных - отражающие состояние системы и характеризующие фазу воздействия [117]. В качестве примера можно рассмотреть модель неавтономной динамической системы в виде системы дифференциальных уравнений:
где Aj - амплитуда, - частота, а - начальная фаза j компоненты внешнего воздействия. Представляя фазу как cOjt + ц/}-(р} и полагая, что d(Pj Ult = (Oj, систему (1) можно переписать в виде
Здесь xt - собственно динамические переменные (где / = 1,2,3,4,...), а (р} -
фазовые переменные (где у = 1,2,3,4,...). При иррациональном соотношении частот воздействия (û} динамика неавтономных систем инвариантна по
отношению к фазе \f/} или разности фаз гармонических составляющих
воздействия. Задание рационального соотношения частот воздействия приводит к нарушению инвариантности динамики системы по отношению к фазам if/j или разностям фаз воздействия. Каковы последствия такого
dx,
п
(1)
dx.
п
10
изменения, какова динамика системы, ее аттракторы, сценарии перехода к хаосу, структура пространства управляющих параметров, влияние и роль свойств симметрии и типов связи, характер и эволюция границ бассейнов притяжения;
5) многие процессы, наблюдаемые в реальных системах, например, в биологии, экономике, медицине не являются стационарными. В динамических системах нестационарность может быть следствием либо переходного процесса, либо изменения управляющих параметров. В свою очередь управляющие параметры могут изменяться таким образом, что сама система претерпевает ту или иную бифуркацию или последовательность бифуркаций. Ситуации с изменяющимися параметрами типичны в природе, и широко представлены в технике. Наименее изучены бифуркационные переходы в системах с быстро меняющимся параметром при наличии шумов [125, 126]. Актуальность их изучения определяется фундаментальной значимостью явлений, возникающих при динамических бифуркациях в присутствие шумов. Речь в первую очередь идет о явлении спонтанного нарушения симметрии, которое отмечается в разных областях естествознания [22, 127-130], например: в теории фазовых переходов, приводящих к ферромагнетизму, в теории взаимодействия элементарных частиц, и др. Спонтанное нарушение симметрии тесно связано с возникновением пространственной и временной упорядоченности в химических и биохимических процессах. Например, живые организмы используют лишь один из двух зеркальных изомеров молекул аминокислот и сахаров, поляризующих свет в одном направлении, и не используют другой. К спонтанному нарушению симметрии фактически сводятся такие ключевые для биологии проблемы, как морфогенез и дифференциация. Известные результаты в этом направлении получены на основе анализа дискретных моделей, в тоже время экспериментальные работы встречаются редко.
11
Математическая теория динамического хаоса в нелинейных системах, базирующаяся на строгом аксиоматическом фундаменте, использует концепцию гиперболичности [26,281-287]. Это подразумевает, что все существенные траектории в фазовом пространстве динамической системы имеют седловой тип, с хорошо определенными подпространствами устойчивых и неустойчивых направлений в окрестности траектории. Гиперболические системы диссипативного типа, в которых динамика сопровождается сжатием фазового объема, демонстрируют странные аттракторы с сильными хаотическими свойствами. В учебниках и монографиях по нелинейной динамике примеры гиперболических аттракторов представлены искусственными математическими конструкциями, такими, как аттрактор Плыкина и соленоид Смейла -Вильямса [26,31,282-287]. Представляется интересным и важным исследование возможности построения физической системы с гиперболическим аттрактором. Как будет показано далее, создание таких систем возможно.
Таким образом тематика диссертационной работы затрагивает сферы фундаментальных вопросов радиофизики, нелинейной динамики, теории колебаний. В первую очередь это касается закономерностей перехода, связанных с рождением странного нехаотического аттрактора, механизмов формирования и принципов классификации множества мультистабильных состояний при рациональном соотношении частот воздействия, возможности адаптации универсальных методов реконструкции математических моделей к классу неавтономных систем, нестационарных процессов и быстрых бифуркационных переходов, возможности использования неавтономных режимов получения характеристик нелинейных элементов в режиме больших сигналов, проверки адекватности их представления на основе реконструкции математических моделей.
12
Цель диссертационной работы: исследование динамики нелинейных неавтономномных осцилляторных систем и закономерностей ее изменения при последовательном усложнении формы воздействия и увеличении числа степеней свободы.
Задачи, решаемые в работе:
> последовательное экспериментальное исследование динамики и структуры пространства управляющих параметров диссипативного нелинейного осциллятора при изменении профиля потенциальной ямы, построение адекватных математических моделей;
> исследование динамических режимов, структуры пространства управляющих параметров, а также сценариев перехода к хаосу в осцилляторах с различным типом нелинейности при внешнем квазипериодическом воздействии, поиск и апробация методов идентификации странных нехаотических аттракторов;
> исследование влияния нарушения инвариантности к фазе или разности фаз воздействия, механизмов формирования и принципов классификации множества мультистабильных состояний;
> исследование динамических режимов, структуры пространства управляющих параметров, а также сценариев перехода к хаосу в системе симметрично связанных нелинейных осцилляторов при иррациональном соотношением частот воздействия;
> исследование влияния нарушения инвариантности к фазе или разности фаз воздействия и принципа классификации множества мультистабильных состояний в системе связанных нелинейных неавтономных осцилляторов;
> исследование влияния неидентичности на динамические режимы, структуру пространства управляющих параметров, режим хаотической синхронизации, бассейны притяжения сосуществующих состояний в
13
системе связанных нелинейных осцилляторов с синфазным возбуждением;
> модификация метода глобального моделирования для неавтономных систем, применение этого метода для реконструкции характеристик нелинейных элементов и проверки адекватности модельных представлений;
> исследование нестационарных явлений в нелинейных осцилляторах при быстром изменении управляющего параметра и присутствии шумов.
> исследование возможности построения неавтономной системы с гиперболическим аттрактором типа Смейла-Вильямса.
Для достижения поставленных целей сконструированы радиофизические объекты, способные демонстрировать сложную динамику и созданы экспериментальные установки для их исследования. В качестве таковых в эксперименте выступают неавтономные колебательные контура с полупроводниковым диодом и кусочно-линейной емкостью. Проводится исследование их поведения в возможно более широкой области изменения управляющих параметров. Затем выбирается диапазон значений параметров, при которых объект характеризуется определенным набором свойств и проводится предварительное изучение более сложной системы (с дополнительным воздействием или связанных объектов). Следующий шаг -исследование в более широкой области управляющих параметров. Известно, что "так же, как теория опирается в своей основе на экспериментальные данные, так и эксперимент тогда несет в себе полезную информацию, если он проводится в соответствии с определенной теоретической концепцией" [131]. Но при экспериментальном исследовании сильно нелинейных явлений этот тезис о необходимости априорной эталонной модели приобретает особое значение. Это связано с большим числом наблюдаемых устойчивых и неустойчивых состояний, бифуркационных переходов и, как правило,
14
непродуктивностью привлечения для изучения и осмысления привычных линейных представлений. Поэтому эксперимент и моделирование зачастую ведутся и описываются в диссертации параллельно, дополняя друг друга.
Научная новизна и практическая значимость работы.
Впервые проведено комплексное экспериментальное исследование семейства нелинейных осцилляторов с различными формами потенциальной ямы, проведен их сравнительный анализ, предложены простые дискретные многопараметрические модели, отражающие сложную динамику и структуру пространства управляющих параметров экспериментальных объектов.
Впервые экспериментально исследована динамика нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии с рациональным и иррациональным соотношением частот. Построены карты динамических режимов, отработана методика регистрации странных нехаотических аттракторов. Экспериментально исследована динамика связанных
нелинейных осцилляторов с иррациональным соотношением частот
внешнего воздействия, построены карты динамических режимов.
На примере нелинейного осциллятора и связанной системы выявлен механизм и предложен принцип классификации множества мультистабильных состояний, имеющих место в результате нарушения инвариантности по отношению к фазе или разности фаз воздействия.
Впервые экспериментально исследована зависимость времени
установления периодических колебаний и зависимость ее характера от значения мультипликаторов циклов.
Экспериментально и численно исследовано явление мультистабильности в системе двух диссипативно связанных нелинейных осцилляторов в области параметров, соответствующей существованию в изолированных подсистемах бистабильности.
15
Впервые экспериментально исследован эффект нарушения вероятностной симметрии конечных состояний при бифуркациях удвоения периода и потери симметрии.
Впервые реализована экспериментальная система в виде двух неавтономных генераторов Ван-дер-Поля, которая, как показывает совокупность имеющихся данных, обладает странным хаотическим аттрактором, относящимся к классу гиперболических аттракторов.
Значимость результатов для практики дополняется возможностью использования разработанных методик для проверки адекватности эквивалентных схем нелинейных элементов и расчета их эквивалентных характеристик. Это может быть полезно в различных приложениях, в частности, для проверки адекватности представлений о природе нелинейных свойств различных элементов, определения характеристик и параметров нелинейных элементов, функционирующих в режимах больших амплитуд и хаоса, получения «экзотических» характеристик, которые невозможно получить традиционными линейными методами.
Появление примера физической системы с гиперболическим хаотическим аттрактором имеет принципиальное значение для дальнейшего развития нелинейной динамики и ее приложений. С точки зрения исследователей, занимающихся анализом реальных систем физической и иной природы, это, в определенном смысле, «прорыв в гиперболическую область». Очевидно, используя данный пример, как отправную точку, и опираясь на присущее гиперболическим аттракторам свойство грубости, можно строить и другие примеры систем с гиперболическими хаотическими аттракторами.
Достоверность полученных результатов Основывается на соответствии выводов экспериментальных исследований и численного анализа моделей, совпадении результатов при использовании различных методов идентификации колебательных режимов (спектральных,
16
наблюдений проекций фазовых портретов, их сечений Пуанкаре, отображений последования, на основе оценки размерностных характеристик и старших ляпуновских показателей), воспроизводимости экспериментов, использование стандартной измерительной аппаратуры, отработанных численных методов решений алгебраических и дифференциальных уравнений, а так же отсутствием противоречий с известными в литературе достоверными результатами.
Личный вклад соискателя. Большинство представленных в диссертации резулыагов получено впервые автором, под его руководством или при его непосредственном участии. Обсуждение результатов, а также экспериментальные исследования проводились совместно с научным консультантом проф. Б.П. Безручко. Соискатель осуществлял постановку задач, разработку и обоснование методов их решения, интерпретацию результатов численных и радиофизических экспериментов. Им разработаны и изготовлены экспериментальные макеты, проведены экспериментальные и ряд численных исследований, обеспечена иллюстрация результатов. Обобщение полученных резулыатв проводилось. Обработка полученных им данных для реконструкции математических моделей проводилась совместно с к.ф -м н., с.н с СФ-6 Смирновым Д.А. Обработка данных исследований быстрых бифуркационыхпереходов осуществлялась совместно с к.ф.-м.н. Ивановым Р.Н.
Апробация работы и публикации.
Основные материалы работы представлялись на: международном симпозиуме Nonlinear Theory and its Applications. (1993, 1995, 1998, 2000), II Международной школе-семинар «Dynamic and Stochastic Wave Phenomena». (N. Novgorod. 1994), межд\народной рабочей группе Nonlinear Dynamics of Electronics Systems NDhS (1996, 1997, 1999, 2001), международной конференции ICND’96. (Saratov 1996), IEEE-Russia Conference «High Power Microwave Electronics: Measurements, Identification, Applications»,
17
(Novosibirsk, 1999), международная конференции «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ» (2001), Second Interdisciplinary School on Nonlinear Dynamics for System and Signal Analysis (EUROATTRACTOR 2001), международной конференции «Проблемы фундаментальной физики» (Москва 1996,2000), Всесоюзных конференциях "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 1993, 1999, 2002), Всесоюзных школах по электронике СВЧ и радиофизике (Саратов, 1993 ), Всесоюзных школах "ХАОС" (Саратов, 1998, 2001, 2004), конференции молодых ученых «Нелинейные волновые процессы». (Н. Новгород, 2004), на научных семинарах кафедры электроники, колебаний и волн факультета нелинейных процессов СГУ и СО ИРЭ РАН.
Работы были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (гранты №№ 96-02-16755, 99-02-17735, 00-02-17441, 03—03— 17593), Федеральной Программой «Интеграция» (грант № 696.3), грантом Президиума РАН для молодых ученых № 23, государственным контрактом №40.020.1.1.1168 Министерства науки, промышленности и технологий РФ, американским фондом гражданских исследований и развития для государств бывшего Советского Союза - CRDF (грант № REC-006).
Основные результаты работы представлены публикациями в российских научных журналах, рекомендованных ВАК для публикации диссертационных работ. По теме диссертации опубликовано 95 работ (37 статей в рецензируемых журналах, 20 статей в сборниках, 36 тезисов докладов, 1 патент и 1 учебно-методическое пособие). Результаты исследования динамики нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии и примера физической системы с гиперболическим хаотическим аттрактором вошли в перечень достижений Российской Академии Наук.
18
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации - 392 страницы, в том числе 151 рисунок, 8 таблиц, библиография из 393 наименований.
В первой главе исследуются базовые экспериментальные объекты, описываются картины сложных колебаний в возбуждаемом гармонической силой колебательном контуре, нелинейность которого обусловлена свойствами кремниевого варакторного диода с р-п переходом, кусочно-линейного колебательного контура с различной формой потенциальной ямы. Цель - изучение в широкой области параметров свойств важных радиофизических объектов и их моделей, которые затем используются как базовые при исследовании более сложных процессов. Дан обзор структуры пространства параметров, основных экспериментально наблюдаемых свойств систем и описание их моделей.
Рассмотрены особенности динамики неавтономных кусочно-линейных осцилляторов с различной формой потенциальной ямы. Проведено исследование особенностей их динамика и структуры пространства управляющих параметров при последовательном переходе от «жесткого» типа поведения к «мягкому». Экспериментально обоснован и реализован бифуркационный переход близкий потере симметрии, исследовано влияние асимметрии на структуру пространства управляющих параметров. Показано, что изменение в достаточно широких пределах формы потенциальной ямы неавтономного осциллятора качественно не меняет его динамику и сценарии перехода к хаосу . Изменения в основном затрагивают вид резонансных кривых и структуру пространства управляющих параметров. Области хаоса располагаются в промежутках между резонансными пиками, в диапазонах частот, соответствующих резонансам на гармониках и субгармониках. При
Речь идет только об осцилляторах, потенциальная функция которых имеет один минимум
19
наличии симметрии каскаду удвоения периода предшествует бифуркация ее нарушения и в пространстве параметров существует два асимметричных, но симметричных друг другу цикла [37], при этом в пространстве параметров отсутствует область сложных колебаний и хаоса в области частот порядка удвоенной резонансной. Последовательное увеличение асимметрии потенциальной ямы приводит к тому, что область существования одного из асимметричных циклов имеет вид «листа», «не склеенного» с основным. При этом существует некоторое критическое значения величины асимметрии, при котором этот режим разрушается, а область его существования исчезает.
Проведена оценка корреляционной размерности аттракторов возбуждаемого колебательного контура с полупроводниковым диодом. Получено хорошее качественное совпадение экспериментальных результатов с известными теоретическими.
Проведен анализ закономерностей на пороге хаоса в спектре колебаний колебательного контура с полупроводниковым диодом при гармоническом воздействии. Показано, что экспериментальные оценки величин универсальных констант у определяемые по 3-5 бифуркациям, меняются на множестве критических точек в пространстве параметров. Они соответствуют фейгенбаумовским лишь в ограниченных его областях. Совмещенный с наблюдением спектров анализ отображений последования говорит о том, что особенности изменения у могут быть связаны с закономерностями, выявленными при анализе спектров одномерных отображений.
Во второй главе предложены и исследованы дифференциальные и дискретные модели базовых экспериментальных объектов. Построены карты динамических режимов, имеет место качественное соответствие с результатами экспериментальных исследований.
Предложена модификация стандартной структуры уравнений применительно к неавтономным системам, находящимся иод силовым
20
гармоническим воздействием. Показаны особенности реконструкции неавтономных систем (необходимость точного определения периода воздействия), подход иллюстрируется на численных примерах реконструкции уравнений осцилляторов по их «чистым» и зашумленным решениям. Эффективность подхода продемонстрирована на радиофизических примерах.
На основе модифицированного метода предложен способ расчета эквивалентных параметров нелинейных элементов по временным рядам. Показаны возможности получения моделей, способных описать поведение объекта в широкой области пространства параметров. Для иллюстрации разработанная технология моделирования использована для оценки адекватности эквивалентных представлений свойств нелинейного элемента, ответственных за сложную динамику контура с диодом. До сих пор в научной литературе идут споры по поводу того, какие механизмы ответственны за хаотизацию колебаний при периодическом характере воздействия. Существуют две основные модели, согласно первой диод представляется параллельным соединением нелинейной емкости и нелинейной проводимости, а согласно второй - элементом с запаздыванием. С помощью реконструкции математических моделей в виде дифференциальных уравнений осцилляторного типа показано, что представление диода в виде параллельного соединения нелинейной емкости является адекватным.
В третьей главе на примере базовых систем и их математических моделей в виде дискретных отображений экспериментально и численно исследуется динамика нелинейного осциллятора при двухчастотном воздействии. Была изготовлена экспериментальная установка, в которой предусмотрено два типа воздействия на базовые колебательные системы: с иррациональным и рациональным соотношением частот и регулируемым сдвигом фаз. Последнее необходимо в первую очередь для идентификации
21
странных нехаотических аттракторов. Рациональные числа вращения
выбирались из последовательности Фибоначчи. Для различных вариантов соотношений частот построены карты динамических режимов. Выявлены закономерности в структуре бифуркационных линий, даны иллюстрации различных режимов колебаний: торов, удвоенных торов странных
нехаотических и хаотических аттракторов. Показано, что в физическом эксперименте для систем с квазипериодическим воздействием возможна идентификация странных нехаотических аттракторов на основе наблюдения стробоскопических сечений проекций фазовых портретов на плоскости динамическая переменная - фаза воздействия. Движению на торе
соответствует гладкая замкнутая кривая, движению на странном
нехаотическом аттракторе - замкнутая кривая с гладкими участками, где движение устойчиво, и изломами, где движение локально неустойчиво.
Помимо рождения странного нехаотического аттрактора, исследуемой системе имеет место иной сценарий перехода к хаосу. Существуют области параметров, в которых колебания, наблюдаемые на границе порядок-хаос, напоминает режим перемежаемости, в котором регулярным аттрактором является тор. Появление такого режима колебаний в первую очередь ассоциируется с существование в исходной системе (в данном случае -нелинейном осцилляторе с гармоническим воздействием) сценария перехода к хаосу через режим перемежаемости. В данном случае имеет место следующая ситуация. В пространстве параметров исследуемой системы имеет место сборка, ограниченная линиями складки. В этой области сосуществуют два устойчивых и один неустойчивый тор. С движением по плоскости параметров вверх линии складки сливаются в точке сборки и образуют границу между хаосом и удвоенным тором. Ыа границе области существования последнего существования в сечении фазового портрета появляются точки, не принадлежащие удвоенному тору, при этом в зависимости тока от времени появляются короткие участки хаотических
22
колебаний. С движением от границы вглубь области хаоса, длина хаотической фазы увеличивается, ламинарной уменьшается, а в итоге в результате перемешивания формируется хаотический аттрактор. Можно сделать вывод, что типичными в нелинейном осцилляторе при квазипериодическом воздействии являются сценарии перехода к хаосу через рождение странного нехаотического аттрактора и через режим перемежаемости тор - хаос. Нарушение инвариантности к фазе или разности фаз воздействия приводит к формированию мультистабильности. В пределе малой амплитуды дополнительного воздействия каждый цикл периода N может быть реализован N способами.
В четвертой главе приводятся результаты исследования связанных нелинейных неавтономных осцилляторов при иррациональном и рациональном соотношении частот и их математических моделей в виде связанных унимодальных и мультимодальных отображений. Рассмотрен обобщенный случай воздействия на каждую из осцилляторных подсистем гармоническими сигналами с иррациональным соотношением частот. При различных уровнях симметричной диссипативной и инерционной (емкостной) связи в пространстве управляющих параметров построены области существования различных динамических режимов: двумерных и трехмерных торов, странных нехаотических аттракторов и хаоса.
Исследован переход к рациональному соотношению частот. Показано, что нарушение инвариантности по отношению к фазе или разности фаз воздействий приводит к формированию множества предельных циклов, количество которых в пределе нулевой связи отличаются дискретным сдвигом фаз колебаний в подсистемах, кратных наименьшему периоду воздействия. Экспериментально и численно изучена структура бассейнов притяжения, характер их границ, их эволюция с изменением управляющих параметров. Проведен анализ влияния асимметрии на структуру пространства параметров, режим хаотической синхронизации, структуру и
23
границы бассейнов притяжения. Выявлены типы симметрии циклов: тождественная, глобальная и локальная. Показано, что типичными в связанных нелинейных осцилляторах с квазипериодическим воздействием являются сценарии перехода к хаосу через рождение странного нехаотического аттрактора, через разрушение трехмерного тора и через режим перемежаемости тор - хаос. Нарушение инвариантности к фазе или разности фаз воздействия приводит к формированию мультистабильности. В пределе малой амплитуды дополнительного воздействия каждый цикл периода N может быть реализован N способами.
Для идентичных связанных систем с удвоением периода можно выделить три типа симметрии циклов: тождественная, полная и локальная. В случае тождественной симметрии динамика связанной системы тождественна динамике изолированной субсистемы. При полной симметрии появляется новый тип (по сравнению с изолированной субсистемой) поведения и сценарии перехода к хаосу, асимметричные циклы демонстрируют такой же сценарий перехода к хаосу, как и в случае тождественного поведения субсистем. Нарушение симметрии системы приводит к появлению в определенных диапазонах значений управляющих параметров и для некоторых циклов локальной симметрии, которая также приводит к появлению нового типа поведения и сценария перехода к хаосу (через разрушение тора). В пространстве управляющих параметров связанных систем с удвоением периода существует траектория, вдоль которой можно наблюдать длинную последовательность переходов тор -резонансный цикл-тор -....
Пятая глава посвящена экспериментальным и численным исследованиям нестационарных процессов. На примере колебательного контура с полупроводниковым диодом и его модели в виде квадратичного отображения исследуются процессы установления предельных циклов
24
нелинейного неавтономного осциллятора. В зависимости от знака мультипликатора цикла выделяется три типа переходных процессов.
Численно и экспериментально исследуется эффект нарушения вероятностной симметрии эквивалентных постбифуркационных (конечных) состояний при быстром изменении параметра. На примере семейства одномерных квадратичных отображений, отличающихся характером зависимости от параметра стационарного решения уравнения цикла периода 1 численно исследована условная граница между «стохастическим» и «динамическим» сценариями бифуркационных переходов — зависимость уровня шума, при котором вероятность установления одного из конечных состояний равна 0.75, от скорости изменения управляющего параметра. В предположении нормальности шума и максимальности скорости перехода (когда полное изменение параметра происходит за один шаг) сделана аналитическая оценка этой зависимости. С помощью сконструированной оригинальной установки осуществлены экспериментальные наблюдения эффекта нарушения вероятностной симметрии конечных состояний на описанных в первой главе радиофизических колебательных системах. Проведено сравнение результатов физических экспериментов с закономерностями, выявленными при численном исследовании.
В шестой главе представлены результаты экспериментального и исследования и численного моделирования неавтономной электронной системы в виде двух связанных автогенераторов Ван-дер-Поля, находящихся под внешним воздействием. Каждый из них содержит колебательный контур, такие, что резонансные частоты находятся в соотношении 1/2. В каждом генераторе имеется элемент, который вносит линейную диссипацию, величина которой регулируется внешним напряжением. Это напряжение медленно изменяются во времени кратным с периодом автоколебаний, причем на одном полупериоде этого процесса первый осциллятор находится в режиме генерации колебаний, а второй под
25
порогом генерации. На следующем полупериоде они меняются ролями. Первый генератор действует на второй через посредство нелинейного квадратичного элемента, вторая гармоника сигнала которого служит затравкой для возникающих колебаний второго генератора, когда он выходит за порог генерации. В свою очередь, второй генератор действует на первый через посредство нелинейного элемента, осуществляющего смешение поступающего сигнала и вспомогательного сигнала. При этом появляется составляющая на разностной частоте, которая попадает в резонансный диапазон для первого осциллятора и служит затравкой, когда он начинает генерировать. Таким образом, оба осциллятора, составляющих схему, по очереди передают возбуждение один другому, что можно охарактеризовать как эстафетный механизм.
Сопоставление результатов исследования экспериментальной системы и ее модели в виде системы дифференциальных уравнений позволяет говорить о существовании в первой хаотического аттрактора, которому присущи признаки гиперболического аттрактора типа Смейла-Вильямса.
Положения, выносимые на защиту:
На защиту выносится комплекс результатов широкого и подробного экспериментального исследования систем нелинейных диссипативных осцилляторов при различных видах воздействия, в том числе новых схем, анализ которых расширяет представления о возможных типах сложной динамике систем данного класса, а также специальных устройств, сконструированных целенаправленно для проверки теоретических результатов, относящихся к эталонным системам с дискретным и непрерывным временем.
1. Экспериментальное исследование нелинейных электронных осцилляторов с квазипериодическим воздействием свидетельствует о присутствии предсказанного теорией определенного типа критического поведения в точках начала и окончания линии бифуркации удвоения
26
тора, который характеризуется универсальной структурой локального устройства пространства управляющих параметров и где существуют все основные динамические режимы системы - тор, удвоенный тор, странный нехаотический аттрактор и хаос.
2. Разработанный модифицированный метод реконструкции модельных дифференциальных уравнений неавтономных систем по временным рядам служит эффективным инструментом для определения характеристик нелинейных элементов колебательных систем, функционирующих в режиме больших амплитуд и хаоса, а также для проверки адеквапюсти рассматриваемой модели и реальной системы.
3. Согласно результатам экспериментальных исследований, типичные сценарии перехода к хаосу в неавтономных системах с квазипериодическим воздействием включают рождение странного нехаотического аттрактора и режим перемежаемости тор - хаос.
4. В нелинейных системах с квазипериодическим воздействием возможность нарушения инвариантности колебаний по отношению к фазе или разности фаз гармонических составляющих воздействующей силы приводит к мультистабильности - присутствию множества сосуществующих аттракторов, отличающихся сдвигом фаз, кратным исходному периоду.
5. В неавтономной нелинейной системе, реализованной в эксперименте на основе двух связанных осцилляторов Ван-дер-Поля, у которых характерные частоты отличаются вдвое, а параметр, управляющий бифуркацией рождения предельного цикла, подвергается медленному периодическому изменению в обоих осцилляторах в противофазе, при определенном способе введения связи реализуется хаотическая динамика с характерными признаками гиперболического аттрактора типа Смейла-Вильямса.
Совокупность полученных результатов, включающая новые данные о нелинейных эффектах и типах поведения в динамических системах и их моделях, находящихся под внешним периодическим и квазипериодическим воздействиями, предложенные процедуры реконструкции математических моделей, а также реализованные в работе новые технические решения,
27
позволяют заключить, чю в диссертации решена крупная научная проблема в области радиофизики, имеющая значение для ряда смежных дисциплин, использующих концепции теории колебаний и волн, нелинейной динамики и хаоса.
28
ГЛАВА 1.
БАЗОВЫЕ ОБЪЕКТЫ И МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ
ИССЛЕДОВАНИЙ
1.1. Введение.
В данной главе представлены свойства базовых экспериментальных объектов - неавтономный колебательный контур с полупроводниковым диодом, кусочно-линейные колебательные контура с асимметричным и близким к симметричному потенциалами.
Электромагнитный аналог механического маятника - ЬКС- контур -классическая колебательная система, эталонный объект радиофизики. Простейшая конструкция контура - цепь, состоящая из катушки индуктивности, конденсатора и резистора. Если параметры элементов цепи не зависят от величин токов и напряжений, динамика системы тривиальна, а ее адекватной математической моделью является уравнение линейного диссипативного осциллятора. Использование катушек с сердечниками из ферромагнитных материалов, варикондов, варикапов и других элементов, эквивалентные Ь,Я,С - параметры которых зависят от величин токов и напряжений, приводит к расширению круга колебательных явлений, наблюдаемых в контуре. Даже при гармоническом силовом или параметрическом воздействии колебания могут иметь насыщенный высшими гармониками спектр, возможна генерация субгармоник, бистабильность. Эти эффекты (слабо нелинейные и параметрические) достаточно подробно исследованы и описаны; например, для контура с нелинейной емкостью - в [49, 51], с нелинейной индуктивностью - в [50]. Нелинейные колебательные контура нашли широкое применение в технике, например, в качестве параметрических усилителей, генераторов [49], элементов вычислительных устройств [132], перестраиваемых фильтров, умножителей и делителей частоты [49, 51]. Интерес исследователей к этой системе резко возрос после
29
того, как Линсей в 1981 году [44] обнаружил в гармонически возбуждаемом контуре с варакторным диодом хаотической поведение. С того времени контуру с диодом посвящены серии экспериментальных и теоретических исследований [44, 121, 133 - 158], он упоминается в качестве примера простой системы со сложной динамикой и в монографиях по нелинейному хаосу [16,23] и в популярной литературе [22].
Кусочно-линейный осциллятор является популярной разновидностью нелинейного [159-163]. Осцилляторам с кусочно-линейными характеристиками принадлежит заметное место в коллекции эталонных маломерных объектов с хаотической динамикой. Это определяется тем, что нелинейные характеристики многих реальных систем, в частности, механических в конечных интервалах значений динамических переменных близки к линейным, а так же возможностью привлечения к их (систем) анализу представлений, сформированных на классических линейных моделях. Достоинством таких систем является возможность аналитического решения модельных уравнений с учетом сшивания решений в точках разрыва производной. В эксперименте такие системы удобны с точки зрения управления характеристикой нелинейного элемента и профилем потенциальной ямы. Последнее вызывает особый интерес, так как представляется актуальным как зависит структура пространства управляющих параметров нелинейного неавтономного осциллятора от формы потенциальной ямы. В [30] подобная задача решалась путем сравнения результатов, полученных на основе численных исследований дифференциальных уравнений с различными видами нелинейности. Однако при данном выборе невозможно осуществить плавный последовательный переход от одного вида нелинейности к другому. Интересный путь предложен в [68], основанный на классификации осцилляторов по типу катастроф, имеющих место в их динамике.
30
Динамика колебательного контура с полупроводниковым диодом и кусочно-линейного осциллятора с асимметричным потенциалом хорошо моделируется уравнением Тода [61, 62, 64]. Поведение кусочно-линейного осциллятора с потенциалом, близким к симметричному хорошо воспроизводится уравнением Дуффинга [52-60]. Исследуемые объекты и их модели относятся к классу осцилляторных систем при внешнем периодическом воздействии, в их поведении наблюдаются единые типы бифуркаций: седло-узловые, потери симметрии3, удвоения периода, кризисы аттракторов, они демонстрирую единые сценарии перехода к хаосу: через последовательность удвоений периода, через режим перемежаемости, оценка свойств универсальности, скейлинга [69-74] и размерностных характеристик [75-80] показывает качественное соответствие известным теоретическим данным.
Целью данной главы является экспериментальное исследование и описание свойств базовых объектов, анализ критических явлений на границе перехода порядок-хаос, оценка размерностных характеристик аттрактора, их эволюции с изменением управляющих параметров, зависимости структуры пространства управляющих параметров от формы потенциальной ямы.
3 Бифуркация потери симметрии не является грубой и поэтому в реальных системах не наблюдается. Однако близкий к подобной бифуркации переход можно реализовать при условии, что масштабы асимметрии в системе меньше характерного уровня шумов.
31
1.2. Нелинейный колебательный контур при гармоническом
воздействии.
1.2.1. Многообразие колебательных режимов.
Динамику ЬЛ-диод цепи при внешнем периодическом воздействии (рис. 1.2.1) удобно рассматривать, выделив базовый набор циклов и Г1/Л,, где Л/= 1,2,3... Примеры спектров мощности, временных реализаций и проекций фазовых портретов базовых циклов для случая гармонического воздействия приведены на рис. 1.2.2. Циклы Г1/Л. (субгармонические циклы) имеют период колебаний, равный периоду внешнего воздействия Т, а временные реализации напряжения на диоде {/(г) и тока в контуре /(г) имеют вид затухающих на интервале Т колебаний с частотой, близкой к линейной (малосигнальной) резонансной частоте /0. Циклы Гу (циклы из последовательности добавления периода) имеют период колебаний, кратный периоду внешнего воздействия: Ты = МТ. Для временных реализаций £/(/) этих циклов характерно наличие на периоде колебаний одного большого всплеска обратной для диода полярности, в течение которого диод находится в запертом состоянии. В промежутках между пиками обратной полярности диод открыт, напряжение на нем практически не меняется и через него протекает прямой ток.
Структура разбиения пространства параметров на области различных колебательных состояний представлена на рис. 1.2.3. Параметры К0, ///0 и Я характеризуют соответственно амплитуду внешнего воздействия, частоту внешнего воздействия, нормированную на частоту линейного резонанса, и уровень диссипации. Сплошными линиями на рисунке отмечены линии безгистерезисных (мягких) бифуркационных переходов, а пунктирными -линии жестких переходов. Цифрами указан период колебаний в единицах периода внешнего воздействия, а штриховкой отмечены области хаоса.
32
Чтобы не загромождать рисунок, на нем указаны не все бифуркационные линии.
Каждый базовый цикл и движения на его основе существуют и эволюционируют к хаосу в некоторой ограниченной области пространства параметров системы. В пространстве трех параметров (рис. 1.2.36) области эволюции того или иного вида движений трехмерны. На двумерных картинах (плоскостях параметров) циклы удобно изображать на отдельных листах, границы которых ограничены линиями седло-узловых бифуркаций (рис. 1.2.3в). Самую обширную область параметров, в которой система демонстрирует сложную динамику, занимает набор циклов Гдг. При движении вдоль отрезка А В смена базовых циклов представляет последовательность добавления периода.
На рис. 1.2.4 приведены резонансные характеристики исследуемого колебательного контура при различных значениях амплитуды внешнего воздействия У0. При малом У0 имеет место линейная резонансная характеристика, а при увеличении У0 - нелинейная. Последняя ситуация характеризуется появлением складки на плоскости параметров (рис. 1.2.5), причем точка сборки соответствует началу загиба резонансной характеристики. В результате резонансов на субгармониках возникают циклы Г1/ЛГ. Как видно из рисунков, при движении в пространстве параметров циклы могут переходить один в другой мягко, например, при движении по параметру У0 ниже точки сборки. В этом случае области
существования циклов можно разделить лишь условно. Жесткие переходы между циклами, сопровождающиеся гистерезисом, происходят на линиях складок. Внутри складок имеет место бистабильность, когда при одних и тех же значениях параметров сосуществуют устойчивые циклы, например, Г, и Г1/2 на рис. 1.2.5.
33
Переход к хаосу в неавтономном контуре происходит через последовательность бифуркаций удвоения периода или через режим перемежаемости. Рис. 1.2.6 иллюстрирует спектры колебаний, осциллограммы тока и напряжения диода и проекции фазового портрета, соотвествующие удвоению периода колебаний, а рис.1.2.7 - эволюцию хаоса. Кроме того, в системе наблюдаются внутренний кризис аттракторов, сопровождаемые режимом перемежаемости хаос-хаос, и граничный кризис, когда на границе областей бистабильности притягивающие движения на базе одного цикла становятся непритягивающими, а изображающая точка в фазовом пространстве попадает на хаотический аттрактор, сформированный на основе другого базового цикла. В закритической области имеет место последовательное слияние лент хаотического аттрактора, чередующееся с появлением узких «окон устойчивости» периодических режимов, наблюдаются перестройки в хаосе, типичным колебательным состоянием при этом является перемежаемость хаос-хаос. Увеличение линейных потерь приводит к подавлению сложных колебательных режимов, причем, циклы Г1/Лг более критичны к диссипации (с ростом Я области их существования сокращаются и исчезают раньше, чем для циклов из последовательности добавления периода) (рис. 1.2.3а).
34
я
0У1
Рис. 1.2.1. Исследуемый колебательный контур с полупроводниковым диодом (а) и блок-схема экспериментальной установки.
35
Рис. 1.2.2. Спектры мощности (левая колонка), временные реализации (средняя колонка) и проекции фазовых портретов (правая колонка) базовых колебательных режимов неавтономного контура с полупроводниковым диодом.
о
1
в)
2 Мрез
Рис. 1.2.3. (а) Качественный вид структуры разбиения пространства параметров неавтономного контура с диодом на области существования различных колебательных состояний; (б), (в) устройство различных сечений пространства параметров.
37