2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА 1. Ретроспектива исследований нелинейных осцилляций заряженных капель 8
1.1. Первые публикации, посвященные исследованию нелинейных осесимметричных осцилляций и устойчивости капли по отношению к собственному заряду 8
1.2. Исследование устойчивости заряженной капли по отношению к неосесимметричным осцилляциям 14
1.3. Численный анализ нелинейных осцилляций и устойчивости заряженных капель. Учет влияния вязкости. 21
1.4. Экспериментальные наблюдения нелинейных деформаций и осцилляций капель 22
1.5. Нерезонансный механизм раскачки осцилляций основной моды и ее влияние на устойчивость капли 24
1.6. Оценки характерного времени реализации неустойчивости капли по отношению к поверхностному заряду на нелинейной стадии 25
1.7. Исследование внутренних нелинейных резонансов 26
1.8. Электромагнитное излучение от нелинейно-осциллируюшей заряженной капли 30
1.9. Акустическое излучение от нелинейно-осциллирующей капли 31
1.10. Нелинейные осцилляции заряженной капли в несжимаемой инерционной диэлектрической среде 32
1.11. Влияние на нелинейные осцилляции заряженной капли обтекающего ее потока несжимаемой внешней диэлектрической среды 33
1.12. Влияние деформации равновесной сферической формы заряженной кагши на закономерности ее осцилляций и устойчивость 34
1.13. О влиянии вязкости на нелинейные осцилляции капель 38
1.14. Что необходимо исследовать, чтобы картина нелинейных осцилляций заряженной капли прибрела черты завершенности 39
ГЛАВА 2. Асимптотический анализ нелинейных осцилляций заряженной капли в диэлектрической среде 41
2.1. О расчете амплитуды трансляционной моды при нелинейных осцилляциях капли во внешней среде 41
2.2. Нелинейные капиллярные колебания заряженной капли в диэлектрической среде 48
2.3. О резонансном взаимодействии мод нелинейных осцилляций заряженной капли, находящейся во внешней диэлектрической среде 65
ГЛАВА 3. Нелинейные капиллярные колебания и устойчивость капли движущейся в диэлектрической среде 75
3.1. Нелинейные капиллярные колебания и устойчивость заряженной капли, движущейся относительно диэлектрической среды 75
3.2. О раскачке в нелинейных вторичных комбинационных резонансах осцилляций основной моды движущейся относительно среды заряженной капли 119
3.3. Нелинейные осцилляции и устойчивость незаряженной капли движущейся относительно диэлектрической среды в электростатическом поле 137
3.4. Нелинейные осцилляции заряженной капли, ускоренно движущейся в электростатическом поле 180
ГЛАВА 4. Нелинейные осцилляции заряженного слоя жидкости на поверхности твердого сферического ядра
4.1. Неустойчивость заряженного слоя вязкой жидкости на поверхности твердого сферического ядра 206
4.2. Нелинейные осцилляции заряженного слоя идеальной жидкости на поверхности твердого сферического ядра 218
ГЛАВА 5. Распад капель на части сравнимых размеров при сильных сфероидальных деформациях связанных с нелипейпыми осцилляциями 236
5.1. Деление заряженных капель на части сравнимых размеров при сильных сфероидальных деформациях 237
5.2. Дробление капли во внешнем электростатическом поле 255
ГЛАВА 6. ПРИЛОЖЕНИЕ, Анализ капиллярных колебаний и устойчивости заряженной капли в параллельных и скрещенных электрическом и гравитационном полях 269
6.1. О равновесной форме заряженной капли, движущейся относительно среды в электрическом поле 269
6.2. О форме заряженной капли в скрещенных электрическом и гидродинамическом полях 276
6.3. Неустойчивость сферической заряженной капли, движущейся параллельно внешнему электростатическому полю 280
Результаты и выводы 300
Литература 303
4
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Исследование устойчивости заряженных капель по отношению к
впервые в теоретическом аналитическом асимптотическом анализе проведено
Результаты теоретического асимптотического анализа нелинейных осцилляций
8
ГЛАВА. 1. РЕТРОСПЕКТИВА ИССЛЕДОВАНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ
порядка, описывающее временную эволюцию амплитуды основной моды осцилляций
рэлеевского предела она становится неустойчивой по отношению к неосесимметричным деформациям ~Р2 (Cosв). В [Щукин, Григорьев А.И. 1998] выписано выражение для потенциальной энергии заряженной капли, имеющей форму трехосного эллипсоида и показано, что потенциальная энергия сплюснутой сфероидальной капли больше энергии трехосной эллипсоидальной капли, которая в свою очередь больше энергии вытянутой сфероидальной капли. Таким образом, заряженной до рэлеевского предела сплюснутой сфероидальной капле, энергетически выгодно деформироваться к форме трехосного эллипсоида, которому в свою очередь энергетически выгодно деформироваться к неустойчивой вытянутой сфероидальной форме.
В работе Натараньяном и Брауном в [Natarajan, Brown 1986] было рассмотрено нелинейное резонансное взаимодействие пятой (л=5) и восьмой (п=8), а также десятой (n=J0) и шестнадцатой (п=1б) мод в незаряженной капле идеальной несжимаемой жидкости. Исследование было проведено в рамках Лагранжева подхода, ранее использованного при изучении капиллярно гравитационных волн на поверхности воды. В выписываемый лагранжиан вводятся в соответствии с идеей метода разных временных масштабов быстрое (характеризующее решения первого порядка малости) и медленное (характеризующее решения второго порядка малости и в том числе нелинейное взаимодействие мод) времена. Начальная деформация задается суперпозицией пары взаимодействующих мод: 5-ой и 8-ой или 10-ой и 16-ой. Затем лагранжиан усредняется по быстрому времени. Уравнения Эйлера-Лагража, соответствующие оставшейся после усреднения части Лагранжиана, содержат лишь медленное время и описывают квадратичное по малому параметру взаимодействие мод, определяющих начальную деформацию. Результаты расчетов резонансного обмена энергией между взаимодействующими модами в случае осесимметричных осцилляций зависят от парциального вклада взаимодействующих мод в начальную деформацию.
Было показано [Natarajan, Brown 1986], что если не ограничивать рассмотрение осцилляций осесимметричными модами, то следует учесть, что с т-ой осесимметричной модой связаны (2т+1) неосесимметричных мод с одинаковыми частотами и близкими величинами энергии их возбуждения, и осесимметричные моды неустойчивы в смысле передачи своей энергии в связанные с ними неосесимметричные моды. В итоге энергия, изначально заключенная в виртуально возбужденной в начальный момент времени осесимметричной m-ой моде, «размазывается» по (2т+1) неосесимметричным модам. При возбуждении в начальный момент двух резонансно взаимодействующих мод с высокими номерами количество связанных с ними неосесимметричных мод оказывается весьма большим и обмен энергией между взаимодействующими неосесимметричными модами носит стохастический характер.
В дальнейшем Натараньяном и Брауном в [Natarajan, Brown 1987 а], также выполненное с использованием Лагранжева формализма, было проведено исследование внутреннего резонансного взаимодействия мод, реализующееся в третьем порядке малости. В экспериментах Тринча и Ванга [Trinch, Wang 1982 b], которые исследовали возбуждаемые акустическим полем осцилляции большой амплитуды капель, подвешенных в акустическом подвесе, оказалось, что осцилляции большой амплитуды весьма трудно возбудить вследствие появления на поверхности капли неосссимметричной бегущей волны, которая, в конце концов, приводила к вращению капли как целого. Такой же эффект проявлялся и в экспериментах Якоби и др. [Jakobi, Croonquist, Elleman, Wang 1982] со свободно висящими в условиях невесомости каплями, осцилляции которых генерировались акустическим полем. Иатараньян и Браун предположили, что такое поведение акустически возбуждаемых левитирующих капель связано с реализацией в каплях резонанса третьего порядка с участием неосесимметричньтх мод. Они указали, что кроме резонанса третьего порядка между второй (п=2) и четвертой {п=4) модами, для которых выполняется условие й)4±3*<У2=0, о котором сообщалось ранее в [Tsamopolous, Brown 1984], существуют резонансы третьего порядка между (2т+1) неосесимметричными модами, связанными с zw-ой осесимметричной модой. Возбуждение таких резонансов и может привести к вращению капли как целого. В [Natarajan, Brown 1987 а] исследованы в рамках Лагранжева метода резонансное взаимодействие между неосесимметричными модами, связанными с третьей модой (т ~ 3), также между второй (п = 2) и четвертой (w = 4) модами с учетом влияния связанных с ними неосесимметричных мод. Показано, что при начальном возбуждении третьей осесимметричной моды (п - 3, т = 0), неосесимметричная
гессеральная мода ~ Pi (0,ç>) , (т.е. п = 3, т = 2) претерпевает неустойчивость, что в итоге может привести к вращению капли как целого. Для ситуации начального возбуждения второй (п = 2) и четвертой (w = 4) мод, резонансно между собой взаимодействующих, претерпевает неустойчивость неосесимметричная тессеральная мода - Р42(0,р), (т.е. п = 4,
т - 2), что также может привести к вращению капли как целого. Тем не менее, результаты [Natarajan, Brown 1987 а] вызывают сомнение, поскольку нелинейная поправка к частоте третьей моды, полученная в [Natarajan, Brown 1987 а], отличается от найденной ранее в строгом гидродинамическом анализе [Tsamopolous, Brown 1984], и сами авторы [Natarajan, Brown 1987 а] говорят, что результаты их последнего расчета нуждаются в независимой проверке на предмет наличия ошибок. Сама идея возможности перекачки без постороннего силового воздействия энергии из осесимметричных мод капли в неосесимметричные, сопровождающаяся понижением порядка симметрии реализующихся осцилляций,
представляется сомнительной, хотя для системы взаимодействующих точечных осцилляторов перекачка энергии из высоких мод в низкие имеет место и даже получило специальное название «распадная неустойчивость» [Рабинович, Трубецков 1984]. В экспериментах [Trinch, Wang 1982 b; Jakobi, Croonquist, Elleman, Wang 1982] направленное силовое воздействие па каплю со стороны акустического поля имело место, и возникновение в итоге вращения капли как целого не представляется необычным, чего нельзя сказать о проводимом в [Natarajan, Brown 1987 а] анализе.
Тем не менее, несмотря на возможные допущенные в [Natarajan, Brown 1987 а] ошибки сама идея возможности внутреннего резонансного взаимодействия мод осцилляций с различной симметрией не вызывает' никаких возражений. Тщательного рассмотрения требует вопрос о направлении перекачки энергии при реализации внутреннего резонансного взаимодействия. Во всех выше цитированных работах, при упоминании о нелинейном внутреннем резонансном взаимодействии мод речь шла о так называемом вырожденном трехмодовом резонансе, когда одна мода дважды взаимодействует с другой и лишь о факте существования такого взаимодействия. В реальности вырожденное внутреннее нелинейное резонансное взаимодействие мод обладает асимметрией [Ширяева 2000 а; Ширяева 2003 с; Ширяева, Григорьев, Лсвчук 2004] и энергия, запасенная в модах, определяющих начальную деформацию капли, перекачивается только из мод с малыми номерами в моды с большими номерами. Обратная перекачка энергии из высоких мод в низкие идет лишь в рамках той доли энергии, которая поступила из низких мод в высокие. Если же в реальности взаимодействуют три моды с различными номерами, то говорят уже о вторичном комбинационном резонансе, при котором возможна перекачка энергии из определяющих начальную деформацию капли мод с высокими номерами в моду с низким номером, отсутствующую в спектре мод, определяющих начальную деформацию [Ширяева 2003 с].
Исследования, посвященные направлению перекачки энергии между резонансно взаимодействующими модами осцилляций капли с различной симметрией, до настоящего времени не проводились. Однако такое исследование выполнено для волн на поверхности заряженной струи идеальной несжимаемой жидкости [Ширяева, Григорьев, Левчук 2004]. Выяснилось, что перекачка энергии из неосесимметричной моды в осесимметричную может иметь место, но обратный перенос не реализуется.
Кроме выше приведенного, в [Natarajan, Brown 1987 а] на качественном уровне кратко обсуждалась возможная роль вязкости в реализации нелинейных осцилляций капли.
В [Natarajan, Brown 1987 b] в рамках классического гидродинамического анализа Натараньяном и Брауном было исследовано влияние возбуждения неосесимметричных мод на распад заряженной капли идеальной электропроводной несжимаемой жидкости.
Собственно говоря, в этой работе исследование, начатое в [Tsamopolous, Akylas, Brown 1985], распространено на случай неосссимметричных мод осцилляций, что позволило правильно истолковать закономерности реализации неустойчивости капли, заряженной до рэлеевского предела, претерпевшей виртуальную деформацшо к сплюснутому сфероиду. Показано, что сплюснутая, заряжепная вьппе рэлеевского предела капля неустойчива по отношению к неосесимметричным осцилляциям, что и было независимо подтверждено в [Григорьев, Фирстов 1992; Григорьев, Ширяева 1999; Щукин, Григорьев 1998]. Причина такого обстоятельства в том, что согласно [Щукин, Григорьев 1998] потенциальная энергия трехосного сильно заряженного сфероида меньше потенциальной энергии сплюснутой сфероидальной капли, и переход от осесимметричной формы капли к неосесимметричной выгоден энергетически. Показано, что при докритическом в смысле линейной устойчивости заряде устойчивых неосесиммстричных форм капли не существует.
В [Natarajan, Brown 1987 b] рассмотрение проводилось в рамках асимптотического метода многих масштабов, в предположении, что заряд капли отличался от критического на величину порядка малого параметра Б, в качестве которого бралось отношение амплитуды начальной деформации капли к радиусу. Разложения уравнения формы поверхности капли, потенциала поля скоростей течения жидкости в ней и электростатического потенциала
проводились по корню квадратному из малого параметра: 4б . Основанием для такого выбора параметра разложения служило следующее обстоятельство. Пусть параметр Рэлея W, характеризующий устойчивость капли по отношению к собственному заряду
(W = [q.2 j 4 nR1 O')) и входящий в определение частоты линейных осцилляций заряженной капли:
6)2n=n(n-l)[(n + 2)-W]9 отличается от критического Wm-W2, равного четырем (W, =4), на величину порядка малого параметра Б : W « W4 + b • е, тогда частота осцилляций основной моды (развитие которой собственно и определяет механизм реализации неустойчивости [Григорьев 1985; Григорьев, Синкевич 1985]) будет пропорциональна корню квадратному из малого
параметра 0)2 & л!Ъ • Б .
В дополнению к анализу устойчивости заряженной капли по отношению к неосесимметричным модам осцилляций в [Natarajan, Brown 1987 b] было проведено исследование влияния на устойчивость заряженной сферической капли таких нарушающих ее центральную симметрию факторов, как наличие однородного внешнего электростатического поля, приводящего к деформации капли по полю к фигуре близкой к
вытянутому сфероиду, и вращения капли как целого, приводящего к деформации капли к фигуре близкой к сплюснутому сфероиду. Оба эти случая ранее были проанализированы численно методом конечных элементов в [Adomato, Brown 1983; Brown, Scriven 1980]. Результаты, полученные в [Natarajan, Brown 1987 b] в общих чертах хорошо согласуются с данными численных расчетов [Adomato, Brown 1983; Brown, Scriven 1980] но содержат существенно более подробную информацию о закономерностях эволюции капель при разных способах нарушения их центральной симметрии. В частпости в [Natarajan, Brown 1987 b] показано, что наличие однородного внешнего электростатического поля любой величины снижает устойчивость заряженной капли, в смысле снижения величины собственного заряда, при котором реализуется неустойчивость. В [Natarajan, Brown 1987 b] продолжен и бифуркационный анализ устойчивости капли, начатый в [Tsamopolous, Akylas, Brown 1985]. Выяснилось, что в присутствии однородного внешнего электростатического поля переход от устойчивых состояний капли к неустойчивым соответствует суперкритической бифуркации. Влияние вращения на форму и устойчивость заряженной капли более сложно: в зависимости от соотношения величины заряда капли и величины момента ее количества движения, связанного с вращением, она может принимать устойчивые формы сплюснутых сфероидов, устойчивые сплюснутые неосесимметричные формы (определяющиеся различными сферическими функциями) и претерпевать неустойчивость в соответствии с субкритической бифуркацией.
Начатое в [Tsamopolous, Akylas, Brown 1985] численное исследование равновесных форм и устойчивости заряженной капли электропроводной жидкости развивается в работе [Pelekasis, Tsamopolous, Manolis 1990]. По сравнению с [Tsamopolous, Akylas, Brown 1985], где для численного анализа использовался метод конечных элементов, пригодный лишь для малых отклонений формы капли от сферической, в [Pelekasis, Tsamopolous, Manolis 1990] применялась комбинация метода граничных элементов и метода конечных элементов, позволяющая анализировать произвольные деформации заряженных капель. Кроме того в [Pelekasis, Tsamopolous, Manolis 1990] учитывались не только осесимметричные но и неосесимметричные моды осцилляций, что существенно расширило круг вопросов, на которые удалось найти ответы. В ходе проведенных расчетов подтверждены результаты работы [Tsamopolous, Akylas, Brown 1985], в частпости показано, что на релеевском пределе заряда четные моды осцилляций претерпевают транскритическую бифуркацию, кроме того, выяснилось, что на релеевском пределе заряда нечетные моды в зависимости от начальных условий способны претерпевать либо субкритическую, либо суперкритичсскую бифуркации. Выяснилось также, что развитие неустойчивости четных мод, связанных с удлинением капли вдоль оси симметрии, заканчивается образованием на вершинах капли конических выступов
(конусов Тейлора) с углами близкими к ранее полученному в экспериментах Тейлора [Taylor 1964]. Развитие неустойчивости нечетных мод, асимметричных относительно экваториальной плоскости, также заканчивается образованием на осесимметричной вершине капли конического выступа. Проанализирована возможность деления неустойчивых капель на две части сравнимых размеров, а также на множество более мелких (когда неустойчивость капли реализуется с образованием на вершинах капли конических выступов).
На работе [Pelekasis, Tsamopolous, Manolis 1990] заканчивается цикл теоретических работ [Tsamopolous, Brown 1983; Tsamopolous, Brown 1984; Tsamopolous, Akylas, Brown 1985; Natarajan, Brown 1986; Natarajan, Brown 1987 a; Natarajan, Brown 1987 b; Brown, Scriven 1980; Pelekasis, Tsamopolous, Manolis 1990], посвященных асимптотическому исследованию аналитическими и численными методами нелинейных осцилляций капли, выполненных коллективом авторов, принадлежащих к одной группе: Р. А. Брауном, Дж. А. Тсамопулосом, Р. Натараньяном, П.М. Адорнато, H.A. Пелеказисом. Т.Р. Акиласом. Все указанные работы отличаются высоким уровнем использованного математического аппарата и скупостью описания процедуры расчета. Как правило, всякая последующая публикация этой группы авторов в полной мере использует результаты ранее опубликованных работ в виде отсылок читателя за деталями расчетов к ранее опубликованным статьям так, что пользоваться этими статьями для работы можно, только имея их все в руках одновременно. Но даже и при этом условии работы трудно читаемы, так как все промежуточные расчеты, как правило, опускаются и приводятся лишь окончательные результаты. Плохо то, что некоторые работы содержат и описки, и ошибки, исправить которые можно только, повторив все расчеты заново. Форма, в которой приводятся результаты, не всегда удобна для восприятия и часто приходится просто верить авторам «на слово». Сказанное касается, например, внутренних резонансов незаряженной капли. В работе [Tsamopolous, Brown 1983], в которой собственно должна идти речь об открытии резонансов и их положении, о них не сказано ни слова, а из приведенных итоговых формул их существование не видно. В последующей работе [Tsamopolous, Brown 1984], посвященной уже заряженной капле, содержится лишь словесное указание на существование в третьем порядке малости резонансного взаимодействия второй и четвертой мод, формул же подтверждающих сказанное не приводится. В работе [Natarajan, Brown 1986] опять же без приведения аналитических выражений и без ссылок на расчеты говорится о двух резонансах, реализующихся во втором порядке малости между пятой и восьмой, десятой и шестнадцатой модами незаряженной капли. В работе [Natarajan, Brown 1987 а] опять-таки без приведения аналитических выражений исследуются резонансы, реализующиеся в третьем порядке малости: упомянутый в [Tsamopolous, Brown 1984] резопаис между второй и четвертой модами и, без всякого обоснования, совсем экзотический
резонанс между неосесимметричными осцилляциями одной моды. Тем не менее, аналитические работы указанной группы авторов явились пионерскими в аналитическом исследовании нелинейных осцилляций капель.
3. Численный анализ нелинейных осцилляций и устойчивости заряженных капель. Учет влияния вязкости. Исследования, проводимые посредством численного моделирования нелинейных осцилляций капель кроме авторов группы P.A. Брауна проводились также O.A. Басараном и Л.Е. Скривеном [Basaran, Scriven 1989 a; Basaran, Scriven 1989 a; Brown, Scriven 1980; Patzek, Benner, Basaran, Scriven 1991; Basaran 1992]. Их работы отличаются изощренной техникой численных расчетов, включающей комбинации многих известных и вновь разработанных методов (напомним, что в группе P.A. Брауна при численных расчетах использовался в основном метод конечных элементов и лишь в одной работе использовалась его комбинация с методом граничных элементов). Если говорить о недостатках этих работ, то они характерны для большинства численных исследований: результаты расчетов не выходят за рамки использованных при расчете математических моделей, их прогностические возможности весьма малы, и они страдают избыточной математической формализацией.
В части работ, посвященных численному анализу нелинейных осцилляций капель, исследуется влияния вязкости жидкости на нелинейные осцилляции капель [Basaran 1992; Lundgren, Mansour 1988: Becker, Hiller, Kowalewski 1994]. Сама по себе постановка проблемы, безусловно, полезна и своевременна, но результаты, как правило, вызывают сомнение. В работе [Lundgren, Mansour 1988] для учета влияния вязкости модифицируется метод поверхностных потенциалов [Baker, Merion, Orzag 1982], строго обоснованный только для описания безвихревых движений идеальной жидкости. Модификация к описанию течения вязкой жидкости происходит с помощью некорректного использования идей метода пограничного слоя. Некорректность проявляется в том, что граничное условие на касательные натяжения, существенное для корректной формулировки задачи в процедуре решения, предложенной в [Lundgren, Mansour 1988] оказывается не использованным. В работе [Becker, Hiller, Kowalewski 1994] численные расчеты проводятся на основе расширения вариационного принципа Гаусса на случай вязкой жидкости, что заведомо некорректно, поскольку еще в [Millikan 1929; Bateman 1931] показано, что использовать вариационные принципы для описания движения вязкой жидкости нельзя.
Несмотря на значительное число работ, посвященных нелинейным осцилляциям и нелинейным периодическим волнам на свободной поверхности идеальной жидкости (на границе раздела несмешивающихся жидкостей), строгий учет влияния вязкости в выше означенной задаче до сих пор представляет проблему как для обсуждаемой сферической, так
и для цилиндрической, и плоской свободной поверхности жидкости. Только в последние пару лет появились сдвиги в описании нелинейных капиллярно-гравитационных воли типа Стокса на плоской поверхности жидкости [Белоножко, Григорьев 1993; Белоножко, Григорьев 2003; Белоножко, Григорьев 2004]. Попытка строго описать нелинейные осцилляции капли вязкой жидкости, предпринятая в [Ширяева, Белоножко, Световой, Григорьев 2001], окончилась неудачно в виду крайней громоздкости выражений, получающихся уже во втором порядке малости.
В дополнение следует отметить, что в работе [Becker, Hiller, Kowalewski 1994], также как и в более ранней работе тех же авторов [Becker, Hiller, Kowalewski 1991], выполненной для приближения идеальной жидкости, содержится существенная ошибка в постановке задачи, делающая неверными результаты расчетов второго порядка малости. Авторы [Becker, Hiller, Kowalewski 1991; Becker, Hiller, Kowalewski 1994] ошибочно полагают, что центр масс нелинейно осциллирующей капли также совершает осцилляции и, полагая систему отсчета, связанную с центром масс капли, неинерциальной вводят в уравнение движения жидкости дополнительное слагаемое, пропорциональное ускорению центра масс капли. Они забывают известную теорему механики, согласно которой никакими движениями внутри замкнутой системы нельзя добиться движения ее центра масс. Как будет показано позднее, в [Ширяева 2002], в ситуации, когда в спектре мод, определяющих начальную деформацию нелинейно осциллирующей капли, содержатся несколько мод с последовательно возрастающими номерами, имеет место возбуждение во втором порядке малости трансляционной моды Сп=1\ центр же масс капли остается неподвижным.
4. Экспериментальные наблюдения нелинейных деформаций и осцилляций капель. Наряду с ошибочными теоретическими расчетами в работе [Becker, Hiller, Kowalewski 1991] содержится описание весьма интересных экспериментальных измерений временной зависимости амплитуды нелинейно осциллирующих капель. В ходе проведения эксперимента капли получались при дроблении струй (диаметром 100*300 цт) и, следовательно, осцилляции совершались при наличии и начальной деформации, которая визуально фиксировалась, и отличного от нулевого начального распределения поля скоростей течения жидкости в капле, которое не контролировалось. Оторвавшиеся капли пролетали в поле зрения следящей оптической системы, позволявшей проводить измерения амплитуд осцилляций как функций времени с высокой точностью. Результаты измерений представлены в виде зависимости амплитуды осцилляций от времени, на которых хорошо прослеживается затухание, связанное с вязкостью. Эксперименты проводились с 95% " раствором этанола при атмосферном давлении воздуха и комнатной температуре. Физико-
химические характеристики (вязкость, коэффициент поверхностного натяжения и плотность) контролировались стандартными методами с приемлемой точностью.
Следует отметить, что методы, используемые для экспериментальных наблюдений осцилляций капель большой амплитуды отличаются заметным разнообразием [Trinch, Wang 1982 a; Jakobi, Croonquist, Elleman, Wang 1982; Wang, Anilkumar, Lee 1996; Azuma, Yoshinara 1999]. Так в [Trinch, Wang 1982 a] капля подвешивалась в несмешивающейся с жидкостью капли жидкой же среде равной плотности, и в капле возбуждались осцилляции большой амплитуды. Трудность в интерпретации количественных результатов экспериментов связана с возможными вариациями величины коэффициента межфазного натяжения; в совместном влиянии на затухание осцилляций и вязкости жидкости, и вязкости среды. В [Trinch, Wang 1982 b] капля подвешивалась в поле сил тяжести в акустическом подвесе. В этом случае давление акустического поля существенно деформировало каплю. Наблюдение за нелинейными осцилляциями капли в условиях невесомости (па «Шаттле»), предпринятое в [Jakobi, Croonquist, Elleman, Wang 1982; Wang, Anilkumar, Lee 1996], по всей видимости, является оптимальным для количественных измерений характеристик нелинейных осцилляций капель. Интересная методика экспериментов нелинейных трехмерных осцилляций капли ртути массой 13.6 г использована в [Azuma, Yoshinara 1999]. Капля ртути помещалась на дно закрытого сосуда с раствором электролита, При пропускании через электролит переменного тока регулируемой частоты в капле возбуждались нелинейные осцилляции, которые фиксировались на видеокамеру. Чтобы капля приняла сферическую форму, сосуд, в котором она находилась, сбрасывался с десятиметровой вышки, так, что капля во время падения находилась в состоянии близком к невесомости. Результаты экспериментов представлены в виде кинограмм. Приведена математическая модель параметрических трехмерных нелинейных осцилляций вязкой капли под действием периодически изменяющегося внешнего давления, получаемая из принципа Лагранжа по аналогии с тем, как это делалось в [Natarajan, Brown 1986; Natarajan, Brown 1987 а], в виде нелинейных уравнений Матье. Результаты проведенного теоретического анализа удовлетворительно согласуются с данными собственных экспериментов. Тем не менее, полученные результаты теоретического анализа сомнительны согласно [Millikan 1929; Bateman 1931] в виду применения вариационных принципов к описанию движения капли вязкой жидкости.
Наиболее заметными нелинейные осцилляции становятся на завершающей стадии развития электрогидродинамической неустойчивости. В работах [Inculet, Floryan, Haywood 1989; Inculet, Kroman 1992; Jong-Wook, Seunng-Man 2000] приведены результаты экспериментального исследования нелинейных стадий реализации неустойчивости
незаряженных капель в однородных внешних электростатических полях. В [Inculet, Floryan, Haywood 1989; Jong-Wook, Seunng-Man 2000] эксперименты проводились с каплями, взвешенными в жидких внешних средах равной плотности, в [Inculet, Kroman 1992] с каплями в условиях невесомости (на борту самолета, летящего по параболической траектории). В этих работах прослежена динамика деформации капель в однородном внешнем электростатическом поле вплоть до реализации неустойчивости.
5. Нсрсзонансный механизм раскачки осцилляций основной моды и ес влияние на устойчивость капли. Дальнейшие аналитические исследования нелинейных осцилляций капель и пузырей связана с именами З.С. Фенга и Л.Дж. Лила [Feng, Leal 1993; Yang, Feng, Leal 1993; Longuet - Higgins 1991; Ffowcs-Williams, Guo 1991; Feng, Leal 1994; Feng, Leal 1995; Feng, Su 1997; Feng 1997]. Однако, в работах [Feng, Leal 1995; Feng, Su 1997] исследовалась так называемая трансляционная неустойчивость пузыря в жидкости, которую авторы объясняют резонансной перекачкой энергии из возбужденной нулевой моды (п - 0), соответствующей радиальным осесимметричным осцилляциям, в первую (п = /), соответствующую поступательному движению пузыря. Как выше уже отмечалось, такое направление перекачки энергии осцилляций вызывает сомнение уже хотя бы потому, что противоречит законам механики, утверждающим невозможность движения центра масс замкнутой системы под влиянием произвольных движений внутри нее. В [Feng, Leal 1993;' Yang, Feng, Leal 1993; Longuet - Higgins 1991; Ffowcs-Williams, Guo 1991; Feng, Leal 1994] с использованием метода многих масштабов и бифуркационного анализа исследовалось резонансное взаимодействие нулевой моды, соответствующей радиальным осесимметричным осцилляциям, с поверхностными (п'>2) модами осцилляций. По сути
метода аналогично тому, как это было проделано в [Tsamopolous, Akylas, Brown 1985], в уравнениях второго порядка малости, характеризующих временную эволюцию центральносимметричной и поверхностных мод, приравнивались нулю комбинации секулярных слагаемых, и получалась система двух связанных нелинейных дифференциальных уравнений, имеющая смысл условий разрешимости задачи. Перекрестные слагаемые в этих уравнениях описывали взаимодействие центральносимметричной и поверхностных мод. Эта система уравнений и подвергалась бифуркационному анализу.
Исследованию нерезонаисной перекачки энергии из высоких мод осцилляций заряженной капли в основную моду, приводящей к снижению порога устойчивости капли по отношению к собственному заряду, посвящена работа [Feng 1997]. В основе проведенного рассмотрения лежит результат численного расчета временной зависимости амплитуд мод, возбуждающихся в заряженной капле идеальной несжимаемой жидкости за счет
28
на частоты имеет сходный вид со2 -З2 '(02т * 0 [Жаров, Григорьев, Ширяева 2003 а; Жаров,
- Киев+380960830922