Генерация поверхностных и внутренних волн движущимся в жидкости телом

Содержание
Предисловие 1
Часть 1. Линейные стационарные задачи генерации поверхностных и внутренних волн движущимся в жидкости контуром б
Введение........................................................ 6
Глава 1. Метод решения задач о движении вихреисточника в многослойной жидкости ........................................ 17
§ 1. Постановка задачи о движении вихреисточника в жидкости,
имеющей произвольное конечное число слоев............... 17
§ 2. Метод решения. Вывод формул для комплексных скоростей, гидродинамических реакций вихреисточника, асимптотики решения задачи в дальнем поле........................ 20
§ 3. Использование разработанного метода для решения задачи о движении вихреисточника в трехслойной жидкости, ограниченной снизу дном.......................................... 25
Глава 2. Исследование влияния границ раздела сред на гидродинамические характеристики вихреисточника.................... 34
§ 4. Обтекание вихреисточника потоком двухслойной жидкости 34
§ о. Обтекание вихреисточника потоком двухслойной жидкости,
ограниченной снизу дном................................. 42
§ 6. Обтекание вихреисточника потоком двухслойной жидкости,
ограниченной сверху твердой крышкой..................... 51
§ 7. Обтекание вихреисточника потоком двухслойной жидкости,
ограниченной прямолинейным каналом...................... 56
§ 8. Обтекание вихреисточника потоком трехслойной жидкости 63
§ 9. Обтекание вихреисточника потоком двухслойной жидкости,
ограниченной сверху свободной поверхностью и снизу дном 70 Глава 3. Метод решения линейных стационарных задач о движении контура в многослойной тяжелой жидкости...................... 79
1
§ 10. Постановка линейной задачи о движении контура в многослойной тяжелой жидкости и метод решения...................... 79
Глава 4. Влияние генерируемых поверхностных и внутренних волн на гидродинамические характеристики контура, совершающего
равномерное движение в многослойной жидкости ................. 84
§ 11. Движение контура вблизи границы раздела двух жидких сред 84 § 12. Движение контура под свободной поверхностью тяжелой
жидкости конечной глубины................................ 89
§ 13. Движение контура в двухслойной жидкости под твердой
крышкой................................................. 94
§ 14. Движение контура в двухслойной жидкости, ограниченной
прямолинейным каналом.................................... 98
§ 15. Движение контура в двухслойной жидкости, ограниченной
сверху свободной поверхностью ......................... 104
§ 16. Движение контура в двухслойной жидкости, ограниченной
сверху свободной поверхностью и снизу дном............. 109
§ 17. Линейные задачи о движение кругового цилиндра в трехслойной жидкости, ограниченной снизу дном............. 116
Заключение...................................................... 125
Часть 2. Нелинейная теория генерации волн контуром, движущимся с постоянной скоростью вблизи границы раздела двух жидких сред 128
Введение........................................................ 128
Глава 5. Метод решения нелинейных задач об обтекании гидродинамических особенностей потоком двухслойной весомой жидкости 140 § 18. Постановка задачи об обтекании системы вихрей потоком
двухслойной весомой жидкости............................. 140
§ 19. Вывод системы интегродифферендиальных уравнений и метод ее решения................................................ 141
Глава 6. Решение нелинейных задач об обтекании одиночного вихря и системы вихрей потоком весомой жидкости со свободной
поверхностью ..............................................
§ 20. Обтекание одиночного вихря заданной интенсивности с образованием нелинейных волн на свободной поверхности § 21. Обтекание системы двух вихрей противоположной интенсивности потоком тяжелой жидкости, ограниченным свободной поверхностью .......................................
Глава 7. Метод решения нелинейных задач об обтекании эллиптического контура равномерным потоком двухслойной жидкости .
§ 22. Постановка задачи, вывод системы интегродифференци-
аяьных уравнений и метод ее решения...................
Глава 8. Решение нелинейных задач об обтекании эллиптического контура потоком весомой жидкости со свободной поверхностью § 23. Обтекание кругового цилиндра с образованием нелинейных
волн на свободной поверхности.........................
§ 24. Обтекание эллиптического контура под углом атаки с образованием нелинейных волн на свободной поверхности . . .
Заключение....................................................
Часть 3. Моделирование волновых движений жидкости, вы званных нестационарным движением кругового цилиндра в многослойной тяжелой жидкости.
Введение .....................................................
Глава 9. Метод решения нелинейных начально-краевых задач о движении контура в многослойной жидкости........................
§ 25. Постановка задачи....................................
§ 26. Вывод системы интегродифференциальных уравнений и метод ее решения.............................................
Глава 10. Нестационарное движение кругового цилиндра под свободной поверхностью однородной жидкости......................
146
146
155
165
165
171
171
176
182
184
184
200
200
202
207
§ 27. Обрушение поверхностных волн, вызванных разгоном кругового цилиндра............................................
§ 28. Вертикальный подъем и погружение кругового цилиндра. § 29. Одновременные разгонные и колебательные движения кругового цилиндра...........................................
Глава 11. Нестационарное движение кругового цилиндра в двухслойной жидкости под свободной поверхностью ................
§ 30. Вертикальный подъем и погружение кругового цилиндра . § 31. Горизонтальные и вертикальные колебания кругового цилиндра ...................................................
Заключение...................................................
Основные результаты, полученные в работе Список литературы
207
212
221
227
227
235
240
243
247
IV
Предисловие.
Задачи генерации поверхностных и внутренних волн движущимся в жидкости телом являются предметом интенсивного исследования.
Решение задач данного класса в полной нелинейной постановке представляет серьезные трудности. Они обусловлены следующими факторами: неизвестна область течения, которая может изменяться с течением времени, нелинейны граничные условия, необходимо учитывать системы генерируемых волн в бесконечном удалении от тела. Решение ряда задач, например, об обрушении поверхностных волн при разгоне тела или формировании струи из впадины за погружающимся контуром, сопряжено со значительными трудностями при численном моделировании. Кроме того, наличие нескольких границ раздела приводит к катастрофическим затратам машинного времени при решении этих задач на ЭВМ.
В большинстве работ, посвященных данной тематике, краевые и начально-краевые задачи рассматриваются в приближенной постановке. В частности, используются приближения первого и второго порядков. Широкое распространение при решении нелинейных задач получил метод, в основе которого лежит выполнение нелинейных граничных условий на невозмущенном уровне свободной поверхности. Другие известные приближения связаны с предположением относительно величины базовых параметров, например, малости числа Фруда. Все такие приближения весьма условны и не способны обнаружить волновые картины течений, характерные для нелинейной теории.
Проектирование транспортных средств (экранопланов и судов на подводных крыльях), совершающих движение вблизи границы раздела сред, требует знания их распределенных и суммарных гидродинамических характеристик. Таким образом, решение задач данного класса имеет большое прикладное значение.
По тематике диссертации проводятся международные конференции, и растет число публикаций. Однако проблема решения задач о генерации по-
1
верхностных и внутренних волн движущимся в многослойной жидкости телом в общей нелинейной постановке остается недостаточно исследованной и является актуальной.
Целью данной работы является разработка методов решения задач о движении контура в многослойной тяжелой жидкости и исследование на их основе влияния поверхностных и внутренних волн на гидродинамические характеристики контура.
Диссертационная работа посвящена развитию нового научного направления, основанного на применении численных и аналитических методов решения плоских краевых и начально-краевых задач о взаимодействии тела с границей раздела жидких сред. В работе осуществлен единый подход к решению широкого класса задач, основанный на моделировании жидких и твердых границ особенностями, что позволяет свести исходную задачу к системе интегральных или интегродифференциальных уравнений.
В работе получены следующие новые научные результаты:
1. Разработан метод решения линейных задач о равномерном движении вихреисточника и контура в многослойной тяжелой жидкости, имеющей произвольное конечное число слоев.
2. Построен алгоритм решения интегрального уравнения, к которому сводится линейная краевая задача о стационарном движении контура вблизи границ раздела сред, основанный на использовании квадратур специального вида и аппарате спецфункций и обладающий высокой точностью.
3. В рамках линейной теории исследовано влияние поверхностных и внутренних волн на гидродинамические характеристики вихря и эллиптического контура, движущихся с постоянной скоростью в двухслойной и трехслойной жидкостях.
4. Разработан метод решения нелинейных краевых задач о стационарном обтекании гладкого контура потоком двухслойной жидкости.
5. Исследовано влияния нелинейных эффектов на характер поверхностных волн, генерируемых одиночным вихрем, системой вихрей, эллиптическим цилиндром.
6. Разработан метод решения нелинейных начально-краевых задач о произвольном движении кругового цилиндра в многослойной жидкости.
7. Решены задачи об определении нелинейных нестационарных гидродинамических характеристик кругового цилиндра, совершающего вертикальный подъем, разгон из состояния покоя, вертикальные и го-ризонтальные колебания, одновременные разгонные и колебательные движения в двухслойной и трехслойной жидкостях.
8. Создан комплекс программ по расчету распределенных и суммарных гидродинамических характеристик контура, совершающего стационарные и нестационарные движения в многослойной тяжелой жидкости.
Достоверность полученных результатов следует из корректности математических моделей, методов решения краевых и начально-краевых задач, тестирования известными точными решениями, а также хорошего согласования с экспериментальными и теоретическими данными, полученными другими авторами.
Праугтическая значимость результатов, полученных в диссертационной работе, состоит в следующем:
1. Методы, разработанные в диссертации, позволяют решать широкий класс плоских линейных и нелинейных, краевых и начально-краевых задач о движении тела в многослойной жидкости.
2. Разработанные методики, алгоритмы и пакеты программ могут быть использованы в проектных организациях при проектировании транспортных средств, движущихся вблизи границ раздела сред.
3
3. Полученные результаты могут быть рекомендованы для использования в учебном процессе.
Основные результаты, включенные в диссертацию, докладывались на 1 и 2 Международных конференциях ” Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов)” (Красноярск, 1997, 1999), на 1, 2 и 3 Сибирских школах-семинарах ''Математические проблемы механики сплошных сред” (Новосибирск, 1997, 1998, 1999), на III и IV Сибирских конгрессах по индустриальной и прикладной математике (Новосибирск, 1998, 2000), на VI Международной конференции по вычислительным методам в задачах волновой гидродинамики (Новосибирск, 1998), на Международной конференции ”Потоки и структуры в жидкостях” (Санкт-Петербург, 1999), на Международной конференции "Математика в приложениях”, посвященной 70-летию академика С.К.Годунова (Новосибирск, 1999), на Всероссийской конференции "Краевые задачи и их приложения” (Казань, 1999), на Международной конференции "Моделирование, вычисления, проектирование в условиях неопределенности - 2000” (Уфа, 2000), обсуждались на семинарах кафедры математического моделирования ОмГУ (Омск, 1995, 1996), семинарах отдела математического моделирования в механике Омского филиала Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН (Омск, 1995-2000), семинарах отдела прикладной гидродинамики Института гидродинамики имени М.А.Лаврентьева СО РАН (Новосибирск, 1995, 2000), семинарах отделения математического моделирования Научно-исследовательского института математики и механики имени Н.Г.Чеботарева Казанского государственного университета (Казань, 1995, 1999).
Основные положения диссертационного исследования опубликованы в статьях [1]-[20], докладах [21,22] и тезисах [22]-[36] Всероссийских и Международных конференций.
Диссертация состоит, из предисловия, трех частей, общего заключения и списка литературы. Каждая часть содержит введение и заключение и
4
разбита на главы, которые, в свою очередь, разделены на параграфы. Работа изложена на 273 страницах текста, подготовленного в издательской системе 1УПК1ЁХ, содержит 16 таблиц и иллюстрирована 101 рисунком, список литературы насчитывает 322 наименования.
5
Часть 1. Линейные стационарные задачи генерации поверхностных и внутренних волн движущимся в жидкости контуром.
Введение.
В настоящее время большое число задач о генерации поверхностных и внутренних волн погруженным в жидкость телом решается на основе линейной теории. Относительная простота уравнений, соответствующих линеаризованным граничным условиям, по сравнению с уравнениями полной нелинейной постановки, позволяет исследовать широкий круг вопросов по данной тематике. Наиболее полно современное состояние исследований в этой области отражено в монографиях А.А.Костюкова [38], М.Д.Хаскинда [39], Л.11.Сретенского [40], Дж.Нью.мена [41] и обзорах Ю.А.Степанянца, И.В.Стуровой и Э.В.Теодоровича [42], И.В.Стуровой, H.H.Бородиной и Л.Г.Гуляевой [43], J.V.Wehausen и E.V.Laitone [44], J.V.Wehausen [45]. Различные практические приложения, связанные с движением крылового профиля вблизи границ раздела сред, рассмотрены в монографиях И.Т.Егорова и В.Т.Соколова [46], А.Н.Панченкова [47], М.А.Басина и В.П.Шадрина [48].
Первые фундаментальные результаты, ставшие классическими, связаны с решением задач о движении гидродинамической особенности вблизи границ раздела сред. М.В.Келдыш [49] рассмотрел задачу о движении вихря под свободной поверхностью тяжелой жидкости. Н.Е.Кочиным [50] решена более общая задача о движении вихреисточника вблизи границы раздела двух жидких сред. Решение ищется для комплексного потенциала при помощи аппарата аналитического продолжения функции. В частном случае движения под свободной поверхностью весомой жидкости приведены оценки влияния глубины погружения и числа Фруда на гидродинамические характеристики вихря [51, 52]. В [53] выяснена взаимосвязь между амплитудой волн, генерируемых в дальнем поле, и волновым сопротивлением
6
вихреисточника. Эти же исследования независимо от Н.Е.Кочина проводили М.В.Келдыш и М.А.Лаврентьев [54, 55]. Решению более сложной задачи о движении вихря под свободной поверхностью тяжелой жидкости конечной глубины посвящена работа А.И.Тихонова [56]. Решение ищется методом Н.Е.Кочина [51]. В частном случае бесконечно глубокой жидкости полученное решение полностью совпадает с решением М.В.Келдыша [49]. В работе также рассмотрены вопросы сз'ществования волн в дальнем иоле за вихрем. Приведены результаты по расчету гидродинамических характеристик вихря для различных погружений и чисел Фруда. М.Д.Хаскинд [57] решил аналогичную задачу для источника. Движение диполя рассмотрено Л.Н.Сретенским [58]. Дальнейшее распространение метода Н.Е.Кочина [51] на случай многослойной жидкости сделано В.С.Войценей [59, 60]. Рассмотрен случай движения вихря вблизи границы раздела двух весомых жидкостей, одна из которых ограничена свободной поверхностью. Получены аналитические формулы для комплексных скоростей, изучена асимптотика решения задачи в дальнем поле.
Решение задачи о движении произвольного контура под свободной поверхностью весомой жидкости связано с дополнительными трудностями выполнения условия непротекания. Первые результаты в этой области получены НХатЬ [61]. Рассмотрена задача о движении кругового цилиндра с использованием дипольного приближения в предположении малости возмущений, вносимых контуром в поток. Дальнейшие исследования связаны с работой Т.Н.На\'е1оск [62]. Значения для суммарных гидродинамических характеристик получены в виде рядов, коэффициенты которых находятся из решения бесконечной системы уравнений методом редукции. Указанная работа продолжает исследования автора, начатые в [63] и связанные с задачей обтекания диполя потоком весомой жидкости со свободной поверхностью. Н.Е.Кочиным [51, 52] рассмотрено движение крылового профиля под свободной поверхностью. Получено интегральное уравнение, содержащее функцию Кочина, которое для тонкого профиля решено методом последовательных приближений. Аналогичные исследования проведены
7
М.В.Келдышем и М.А.Лаврентьевым [54, 55]. Получено интегральное уравнение относительно функции, выражающей величину тангенциального разрыва в точках контура. Уравнение решается разложением ядра в ряд по малому параметру, связанному с отстоянием контура от свободной поверхности. Приведены оценки влияния параметров задачи на волновое сопротивление и подъемную силу тонкого крыла.
Дальнейшие успехи в этой области связаны с использованием разнообразных численных методов. При помощи приближенного метода конформных отображений T.Nishiyama [64] и S.H.Smith [65] рассмотрели задачу о движении крылового профиля и кругового цилиндра под свободной поверхностью весомой жидкости. H.A.Walderhaug [66] предложил метод решения задачи о движении тонкого слабо изогнутого профиля, основанный на распределении вихрей вдоль средней линии. Интегральные уравнения с ядром Кочина решаются численно. Основное внимание уделено расчету распределения давления вдоль контура. Приведено сравнение с экспери-ментальными данными, полученными автором. J.P.Giesing и A.M.O.Smith [67] разработали общий метод для определения плоского потенциального течения около одного или нескольких тел произвольной формы под свободной поверхностью. Использован панельный метод с постоянным распределением вихрей и источников, разработанный ранее авторами в [68]. Проведенные вычисления сравниваются с аналитическими результатами T.H.Havelock [62], экспериментальными данными. Пакет программ, реализующих данный метод, разработан В.Атанасовым и Е.Чириковой [69]. Уточнению панельного метода J.P.Giesing и A.M.O.Smith [67] для решения задач об обтекании крыловых профилей посвящена работа С.В.Сутуло
[70]. Предложенная модификация позволяет более точно учитывать условие Кутта-Жуковского в задней кромке профиля на основе процедуры, разработанной автором в [71]. Дальнейшее развитие численного метода, разработанного J.P.Giesing и A.M.O.Smith [67], было сделано M.S.Chang и P.C.Pien [72]. Вводится постоянное по панели распределение диполей, обсуждается
8
эффективность предложенной модификации. Помимо случая глубоко погруженного тела, рассмотрены задачи для плавающих тел. Метод распределения особенностей по контуру тела использован также Т.-Э.^иуеп, Б.Ргитап и Т.З.Ьии [73] для задачи определения волнового сопротивления и подъемной силы тела произвольной формы. Исследованию поверхностных воли, генерируемых тонким профилем, посвящена работа В.А.Целищева [74]. Для решения сингулярного интегрального уравнения применен кол-локационный метод, разработанный автором в [75]. Приведены результаты обширного численного эксперимента по расчету гидродинамических реакций и формы свободной поверхности. Получено качественное совпадение с результатами М.В.Келдыша и М.А.Лаврентьева [54]. Частный случай движения тонкого профиля под свободной поверхностью невесомой жидкости и над экраном рассмотрен В.А.Целищевым [76].
Несколько в стороне от описанных методов стоят работы математиков Казанской школы. Г.Г.Тумашев [77] предложил решение задачи о движении тонкого слабоизогнутого профиля под свободной поверхностью тяжелой жидкости, основанный на методе конформных отображений. Исходная краевая задача сводится к интегральному уравнению, решение которого строится методом В.Г.Габдулхаева [78]. Приведены выражения для определения гидродинамических реакций. Позднее Н.Д.Черепенин [79] распространил эти результаты на случай движения профиля Жуковского. Заслуживает отдельного внимания численный метод, разработанный Г.Г.Тумашевым и Н.Д.Черепениным [80]-[83]. Этот метод заключается в следующем: распределяются особенности вдоль невозмущенного уровня свободной поверхности, выводятся интегральные уравнения относительно интенсивностей этих особенностей, полученные уравнения решаются методом итераций до достижения необходимой точности. Предложенный алгоритм включает в себя построение функции, осуществляющей конформное отображение области течения на внешность единичного круга по теореме Милн-Томсона об окружности [84]. Таким образом, условие непротекаиия на контуре вы-
9
полнено точно. В этой области рассматривалась также задача о движении системы тел под свободной поверхностью весомой жидкости, имеющая огромный практический интерес. Первые приближенные решения получены A.Coombs [85] и W.H.Isay [86]. М.В.Лотфуллин в [87, 88] распространил метод Г.Г.Тумашсва и Н.Д.Черепенина [80]-[83] на случай движения системы двух произвольных контуров. Методика построения функции, реализующая конформное отображение многосвязных областей, описана автором в [89,90]. Приведены результаты расчетов гидродинамических нагрузок, сделаны важные практические выводы.
В последнее время вновь появился интерес к этим задачам, связанный с решением чисто практических задач. В частности, оптимизационная задача о поиске формы крылового профиля с минимальным волновым сопротивлением решена K.Katajima, S.Nagaya, K.-H.Mori и Y.Doi [91, 92]. Рассмотренные профили имеют отрицательную подъемную силу. Задача решается методом граничных элементов в классической формулировке. Обнаружено, что волновое сопротивление рассмотренных профилей меньше, чем у профилей с положительной подъемной силой. S.Lee, I.-R.Park, H.H.Chun и
S.J.Lee [93] провели экспериментальное и численное исследование подъемной силы и характеристик течения около пары пластин. Целью описанных исследований является развитие численного метода граничных элементов высокого порядка, способного показать влияние свободной поверхности на рассматриваемые структуры. Получено хорошее совпадение с экспериментальными данными даже при очень малых погружениях. Обнаружено, что влияние свободной поверхности становится значительным, когда отношение глубины погружения к хорде пластины меньше трех. Однако, существуют серьезные расхождения в численном и натурном экспериментах при больших числах Фруда, что объясняется необходимостью учета нелинейности в граничных условиях.
Следует отметить, что решение линейных задач обтекания тел потоком весомой жидкости со свободной поверхностью имеет самостоятельный
10
теоретический интерес, связанный с изучением вопросов существования и единственности решений соответствующих краевых задач. Подобные исследования затронуты в работах Б.Р.Вайнбсрга, Н.Г.Кузнецова и В.Г.Мазьи [94, 95], J.C.Dem [96], J.N.Newman [97], М.J.Simon и F.Ursell [98].
Случай движения тела в потоке двухслойной весомой жидкости исследован значительно меньше. Н.Д.Черепениным при помощи метода граничных особенностей исследовал влияния границы раздела двух жидких сред на гидродинамические реакции цилиндра [99] и крылового профиля [100]. G.X.Wu [101, 102] вычислил волновое сопротивление и подъемную силу кругового цилиндра, движущегося с постоянной скоростью под и над границей раздела двух жидких сред, а также под свободной поверхностью однородной жидкости. При решении задач использовались мультипольные разложения по технологии R.C.Thorne [103]. И.В.Стуровой [104] собраны результаты исследований многих авторов по взаимодействию погруженного цилиндра с границей раздела сред. Рассмотрены случаи движения под свободной поверхностью и под границей раздела морской и пресной воды. Используется метод гибридных конечных элементов, разработанный G.X.Wu и R.Eatock Taylor [105]. Приведены расчеты суммарных гидродинамических реакций. В случае движения под свободной поверхностью проведено сравнение с результатами, полученными методом распределенных особенностей А.Мо и E.Palm [106], а в случае границы раздела двух произвольных сред - с результатами, полученными при помощи дипольного приближения и приближенного решения Н.Е.Кочина [38]. М.В.Лотфудлиным, И.В.Стуровой и С.И.Филипповым [107] проведено сопоставление результатов решения задачи о бесциркуляционном обтекании эллиптического цилиндра потоком двухслойной весомой жидкости, полученных методом гибридных элементов и при помощи метода моделирования границы раздела особенностями. Т.И.Хабахпашевой [108] получено явное решение задачи о равномерном обтекании кругового цилиндра потоком двухслойной жидкости. Решение представлено в виде ряда, с коэффициентами, определяемыми
И
рекуррентными соотношениями. Приведены табличные значения подъемной силы и волнового сопротивления для однородной и двухслойной жидкостей. Т.И.Хабахпашевой и И.В.Стуровой [109] обобщены результаты по решению задачи о генерации внутренних волн круговым цилиндром, помещенным в двухслойную жидкость. Рассмотрены случаи, когда цилиндр расположен как над границей раздела, так и под ней. Решение представлено в форме быстросходящихся рядов. Коэффициенты рядов находятся из рекуррентных соотношений, содержащих в качестве параметров отношение плотностей жидкостей, число Фруда и отстояние центра цилиндра от границы раздела. Приведены таблицы расчетов суммарных нагрузок, действующих на круговой цилиндр. Уточнены значения нагрузок, приведенные в [108]. С.ХЛУи, Т.МПоЬ и С^Итап [110] рассмотрели задачу о движении тонкого профиля вблизи Гранины раздела двух сред различной плотности. Используется итерационный метод, который предполагает альтернативное выполнение граничных условий на теле и границе раздела. Численное решение получено путем разложения типа Н.С1аиег1 [111] для функции распределения вихрей вдоль контура. Результаты рассмотрены для различных плотностей и чисел Фруда. Поступательное движение системы двух телесных профилей под линией раздела двух идеальных жидкостей разных плотностей рассмотрено В.Н.Кравцом [112]. Краевая задача сформулирована для потенциалов ускорений. Решение ищется в виде линейной комбинации двух интегральных операторов типа потенциала двойного слоя и интегрального оператора типа потенциала простого слоя. Определены функции Грина и получены сингулярные интегральные уравнения задачи, приближенные решения которых ищутся асимптотическим методом малых функциональных параметров. Построены алгоритмы определения коэффициентов подъемных сил и моментов профиля. Д.Н.Гореловым и С.И.Горловым [ИЗ] рассмотрена задача о движении профиля под границей раздела двух жидких сред. Линейная краевая задача сводится к двум интегральным уравнениям, ядро которых есть точное решение этой же задачи для вихря единичной интенсивности. Затем эти уравнения преобразуются с целью исключения
параметрической особенности, связанной с толщиной профиля, по методике, разработанной Д.Н.Гореловым в [114]. Решение уравнений основано на усовершенствованном методе дискретных вихрей, позволяющем получать высокую точность расчета распределенных и суммарных гидродинамических характеристик для профилей любой толщины, включая сколь угодно малую [115]. При помощи разработанного метода были также рассмотрены задачи о движении профиля над границей раздела двух жидких сред и над экраном [116, 117].
Следующей по сложности в этой области является задача о движении тела под свободной поверхностью тяжелой жидкости конечной глубины. Результаты, ставшие классическими, получены А.И.Тихоновым [56] и М.Д.Хаскиндом [57]. В этих работах краевая задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма относительно касательной составляющей скорости в точках контура, которое решается методами Н.Е.Кочина [51,52], М.В.Келдыша и М.А.Лаврентьева [54, 55]. Найдены гидродинамические характеристики профиля. Получен интересный результат - отсутствие волнового сопротивления при определенных числах Фруда. J.Р.Giesing и
А.М.О.Smith [67] показали применимость своего метода к решению задачи о движении кругового цилиндра под свободной поверхностью жидкости конечной глубины. Приведено сравнение формы свободной поверхности для жидкости конечной глубины и неограниченной снизу. K.J.Bai [118, 119] для решения задач такого рода разработал локализованный метод конечных элементов. Уравнение Лапласа для потенциала скорости решается методом Галеркина. Бесконечная область, занимаемая жидкостью, заменяется конечной при помощи решений, которые известны для дальнего поля. Граничные условия на свободной поверхности выполняются специальным выбором пробных функций. Метод применен для определения течения за погруженным эллиптическим цилиндром, гидропрофилем с произвольным углом атаки и неровностью дна. Рассмотрены до- и закритические течения. Представлены результаты для волнового сопротивления, подъем-
13
ной силы, момента, значения циркуляции, а также параметра блокировки, введенного J.N.Newman [120] и выражающего разность потенциалов вверх и вниз по потоку. Показано распределение давления по контуру и свободной поверхности, которое сравнивается с экспериментальными результатами, полученными B.R.Parkin, B.Perry и T.Y.Wu [121]. Получено хорошее согласование с известными результатами. Основное достоинство разработанного метода - возможность расчета течений в областях, имеющих сложную форму. C.C.Mei и H.S.Chen [122] показали, что плоская задача обтекания тела под свободной поверхностью тяжелой жидкости при наличии дна сводится к решению радиационной и дифракционной задач. Каждая из задач решается методом гибридных элементов, где конечные элементы используются в ближней для тела области и аналитическое решение в оставшейся (суперэлементы). Решение строится при помощи вариационных принципов, описанных H.S.Chen и C.C.Mei в [123]. Представлены числовые расчеты. Рассмотрены теоретические аспекты распространения метода для решения пространственных задач. Методом интегральных уравнений аналогичная задача решена R.W.Yeung и Y.С.Bouger [124, 125]. Интегральные отношения, описывающие течение внутри занимаемой жидкостью области получены применением теоремы Грина. Потенциал течения разлагается по собственным функциям во внешних областях вверх и вниз по потоку. Условие излучения выполняется выбором формы решения в области вверх по потоку. Метод применяется к телам с бесциркуляционным и циркуляционным обтеканием. В предельном случае бесконечно глубокой жидкости результаты полностью совпали с данными, полученными Т.Н.Havelock [62]. Метод, предложенный G.X.Wu и R.Eatock Taylor [105] сочетает конечные элементы в ближнем поле с решением граничных интегральных уравнений в дальнем. Представлены результаты расчетов для различных погружений. Рассмотрена задача обтекания системы двух круговых цилиндров. При помощи метода граничных особенностей С.И.Филипповым [126] решена задача обтекания контура потоком двухслойной тяжелой жидкости,
14
ограниченным снизу дном. Большое внимание уделено исследованию формы границы раздела в зависимости от параметров задачи.
Наиболее сложной задачей до сих пор остается проблема генерации поверхностных и внутренних волн телом, совершающим движение в многослойной жидкости. Подобные задачи рассматривались М.В.Лотфуллиным и С.И.Филипповым [127]-[134] для бесциркуляционного и циркуляционного обтекания контура. Рассмотрены гидродинамические характеристики контура, выяснены вопросы преобладания различных типов волн на границах раздела сред. И.В.Стуровой [104] представлены результаты численного решения методом гибридных конечных элементов задачи об обтекании эллиптического цилиндра стационарным потоком весомой жидкости с устойчивой стратификацией. Рассмотрено движение в двухслойной жидкости, ограниченной сверху свободной поверхностью или твердой крышкой. Во всех случаях показано, что поверхностные и внутренние волны существенно влияют на все гидродинамические характеристики в определенном диапазоне чисел Фруда. Распространение разработанных методов для решения нестационарных задач было сделано в [135]. Исследованию влияния внутренних волн на волновое сопротивление контура, движущегося с постоянной скоростью в двухслойной жидкости, ограниченной снизу дном, посвящена работа О.В.Мотыгина и Н.Г.Кузнецова [136]. Решение линейной краевой задачи учитывает асимптотику на бесконечности, полученную с помошью интегрального представления, основанного на функции Грина. Сформулирована теорема существования и единственности решения. Получены формулы для вычисления волнового сопротивления и приведены некоторые результаты расчетов, иллюстрирующие явление мертвой воды. И.В.Стуровой [137] при помощи метода мультипольных разложений решены задачи о бесциркуляционном обтекании кругового цилиндра равномерным потоком двухслойной жидкости при наличии дна. Рассмотрены случаи, когда верхний слой ограничен либо свободной поверхностью, либо твердой крышкой. Представлены зависимости суммарных гидродинамических нагрузок от числа Фруда.
15
Как видно из представленного обзора, в области решения стационарных линейных задач о взаимодействии контура с границами раздела сред достигнуты значительные успехи. В то же время ряд вопросов остается недостаточно исследованным. В частности, недостаточно исследована зависимость формы границ раздела от параметров задачи. Также недостаточно выяснено поведение гидродинамических нагрузок в малой окрестности критических чисел Фруда, при которых меняется характер волнообразования. Изучению этих вопросов и многих других и посвяшен настоящий раздел.
В этой части разработан и численно реализован новый метод решения линейных стационарных задач о равномерном движении эллиптического контура в многослойной тяжелой жидкости. Метод основан на сведении исходной краевой задачи к интегральному уравнению относительно интенсивности присоединенного вихревого слоя, моделирующего контур. Ядро этого уравнения - точное решение соответствующей краевой задачи об обтекании вихря потоком многослойной жидкости. Таким образом, условия на границе раздела сред выполняются точно.
Данный раздел диссертационной работы состоит из четырех глав. В первой главе описывается метод решения линейных задач о движении ви-хреисточника в жидкости, имеющей произвольное конечное число слоев. Вторая глава посвящена решению целого класса конкретных задач о взаимодействии вихрсисточника с границами раздела жидких сред. В третьей главе разрабатывается метод решения более общей задачи о движении гладкого контура. Четвертая глава содержит результаты решения конкретных задач о влиянии генерируемых волн на гидродинамические нагрузки эллиптического контура. Рассматриваются случаи движения эллипса и вихре-источника. вблизи границы раздела двух полубесконечных жидких сред, в двухслойной жидкости при наличии дна, твердой крышки, прямолинейного канала, а также в трехслойной жидкости при наличии дна и неограниченной снизу.
16
Глава 1. Метод решения задач о движении вихреисточ-ника в многослойной жидкости.
§ 1. Постановка задачи о движении вихреисточника в жидкости, имеющей произвольное конечное число слоев.
У
pH э Ко Ду
0 X
1 1 1 1 1 ^ 1 1 14 1 Я- Д
Р\ 5 Ко Д
Рис. 1. Схема установившегося обтекания вихреисточника потоком многослойной весомой жидкости (линейная теория).
Рассмотрим задачу обтекания вихреисточника интенсивности С = Г 4-гО установившимся потоком многослойной жидкости. Предположим, что жидкость идеальная, несжимаемая, тяжелая и однородная в каждом слое Д (& = 1,..., N и нумерация слоев начинается снизу). Слои Д и Д/ полу-бесконечны. Введем систему координат, располагая ось Ох вдоль невозмущенной нижней границы верхнего слоя. Введем обозначения: д - ускорение СИЛЫ тяжести, рь - ПЛОТНОСТЬ ЖИДКОСТИ в слое Г;., Уоо - скорость жидкости в бесконечном удалении перед вихреисточником, Нк - отстояние невозмущенной границы раздела областей О* и £>*+1 от оси Ох. Вихреисточник расположен в точке Д(хо, —Уо) слоя Д (г = 1,..., М) (рис. 1).
17
Возмущенное движение жидкости в слое описывается потенциалом скорости (рк{х,у)9 удовлетворяющим уравнению Лапласа в Ок (за исключением точки К при к = г):
&4>к{х,у)=0, (х,у) 6 Ц|Д.Й, к = 1,...,ЛГ. (1.1)
На границах раздела описываемых уравнением у = — Нк + /*(#) (А; = 1,...,ЛГ - 1), выполняются условия непрерывности нормальной составляющей скорости и давления:
У<р0к(х,у)-пк = 'Ур°ш(х,у)-пк = 0, у = Д(ж), (1.2)
^-(ж) = КюЖ + ^(г,2/),
Р*(*,2/) = Р*+1(ж,у), У = }к{х), (1.3)
где п* - нормаль к Ьк в точке (ж, Д(гс)), Рк - гидродинамическое давление в области Д&.
Кроме того, должно быть выполнено условие затухания возмущенных скоростей в бесконечном удалении перед вихреисточником:
дт = о (& = 1 ... ,ЛГ). (1.4)
х->-сс 0Х
Будем рассматривать краевую задачу (1.1)-(1.4) в рамках линейной теории волн малой амплитуды, в предположениях которой граничные условия (1.2), (1.3) сносятся на невозмущенные уровни границ раздела сред и выполняются следующие соотношения:
|^¥>*(ж,3/)| < Ум, |/*(я)| « |г/о|, |/*(®)1<1- (1-5)
Кинематическое условие (1.2) с учетом (1.5) будет иметь вид:
д<Рк{*,у) _ д<рм(х,у) _ у^к(х) _ ц ^
ду ду °° с1х
18
Гидродинамическое давление рк в области Ик определяется интегралом Бернулли, записанным в предположениях линейной теории (1.5):
Рк = Ркоо ~ РкЯУ ~ РкУоо9^*’^, (1.7)
где ркоо - давление в бесконечно удаленной точке области £>*. Динамическое условие (1.3) с учетом (1.7) примет вид:
»/.(.)<*♦, -Л) = у - —Я*.(1.8)
Дифференцируя (1.8) по ж и принимая во внимание (1.6), исключим из последнего соотношения fk(x):
. дч>к<,х,у) _ д<рк(х,у) _к+1 д<рк+\(х,у) и ,л ЛЧ
-ТПк ~ тк ш—Тх—'у = ь (щ
Рк т*+1 - Рк+1 „-±-
, з "Ч £+1 — . . . з т/2 5
Я* + Р*+1 Рк + РЬ+1 V*,
А: Аг4-1
тк *+1 = тк ш - тк\^ щ = игщ *+1.
Уравнение (1.1) и граничные условия (1.4), (1.6), (1.9) описывают решение линейной краевой задачи обтекания вихреисточника потоком многослойной весомой жидкости.
От краевой задачи (1.1), (1.4), (1.6) и (1.9) относительно потенциалов {рк{Х)'у) удобно перейти к задаче нахождения в плоскости комплексного переменного г = х + гу возмущенных комплексных скоростей У*(г), определяемых формулой:
*_1 N. (1.Ю)
Следует отметить, что К* (.г) являются аналитическими функциями в области йк за исключением точки = х$ — г у о при к = г. Кинематическое и динамическое условия (1.6), (1.9), условие излучения (1.4) с учетом (1.10) будут иметь вид:
\тУк{г) = 1тVк+\(г) при г-х- Шк, (1.11)
19
Полубесконечные области П\ и могут быть либо вакуумом, либо твердой недеформируемой средой. В этих случаях граничные условия (1.11), (1-12) принимают вид
1т У^(г) = 0, г = х — к = 1, N — 1,
Пб|^^ + г>У,(г)} =0, г = х-Шк, к = 1,ЛГ-1, где ] = 2 при к = 1 п 1 = N - 1 при к = N — 1.
Выражение для формы границ раздела сред /*(#) определяется формулой, полученной из (1.8), (1.10):
/*(*) = -~-ЯеК ш*М - = X - гЯ*. (1.14)
§ 2. Метод решения. Вывод формул для комплексных скоростей, гидродинамических реакций вихреисточника, асимптотики решения задачи в дальнем поле.
Будем искать комплексные скорости Vк(г) в виде V к(*) = +
где удовлетворяют соотношениям (1.11), (1-12), а функции
К*(г), кроме того, обеспечивают выполнение условия (1.4).
Построим сначала решение задачи о движении вихря заданной интенсивности Г. Поставленная краевая задача для функций У1(г) позволяет применить метод Фурье. С этой целью будем искать неизвестные функции У°к(г) в виде