Глава 2
Поведение собственных значений и собственных функций
задачи Дирихле для линейного уравнения второго порядка
в последовательности перфорированных областей
В данной главе изучается задача Дирихле на собственные значения для линейного
уравнения второго порядка в перфорированных областях непериодической структуры
при различных условиях на перфорацию.
2.1. Сходимость собственных значений и собственных функций
в последовательности перфорированных областей
с мелкозернистой границей к соответствующим собственным
значениям и собственным функциям усредненной задачи.
Пусть - произвольная ограниченная область в n-мерном евклидовом пространстве .
Предположим, что при каждом натуральном значении определено конечное число
непересекающихся замкнутых множеств содержащихся в .
Обозначим через нижнюю грань радиусов шаров, содержащих и пусть - центр такого
шара радиуса , что . Здесь и дальше - открытый шар радиуса с центром в точке.
Через обозначим расстояние от до множества . В дальнейшем через будем
обозначать положительные постоянные, не зависящие от .
Будем предполагать, что выполнены условия:
В области рассмотрим краевую задачу
(2.1)
(2.2)
где удовлетворяют следующим условиям:
вещественные измеримые ограниченные функции, то есть существует постоянная
такая, что и при п.в. ;
существует постоянная такая, что для п. в.
Для формулировки еще одного условия, необходимого для построения предельной
задачи, нам понадобятся вспомогательные функции . Определим как решение задачи
где . Таким образом, и удовлетворяет интегральному тождеству
(2.3)
. Продолжим на , полагая равной нулю вне . Будем предполагать, что выполнено
условие
существует непрерывная функция такая, что для произвольного шара выполнено
равенство
здесь - множество тех номеров , для которых .
В области рассмотрим задачу
(2.4)
. (2.5)
Из теоремы 8.37, стр. 203 ([8]) следует, что существует счетное дискретное
множество собственных значений задач (2.1), (2.2) и (2.4), (2.5).
Обозначим через p-е собственное значение задачи (2.4), (2.5), через -
соответствующую собственную функцию, . Известно, что . Пусть - p-е собственное
значение задачи (2.1), (2.2), - соответствующая собственная функция, .
Сформулируем основной результат этого раздела.
Теорема 2.1. Пусть выполнены условия , тогда
, (2.6)
и последовательность сходится к при сильно в и слабо в .
Для доказательства этой теоремы нам понадобятся некоторые вспомогательные
утверждения. В лемме 2.1, стр. 337, теореме 2.2, стр. 336, из работы [53] и в
теореме 2, стр. 31, из статьи [57] были доказаны следующие оценки
Лемма 2.2. Пусть выполнены условия , тогда справедливо неравенство
Лемма 2.3. Пусть выполнены условия , тогда существует постоянная такая, что
(2.7)
, (2.8)
(2.9)
где . (2.10)
В дальнейшем через будут обозначаться положительные постоянные, зависящие лишь
от известных параметров, в частности, от и , и не зависящие от .
Если в неравенстве (2.10) определить , то получаем оценку
(2.11)
Обозначим , где , тогда имеет место неравенство
. (2.12)
Рассмотрим также множества индексов
Лемма 2.4. Пусть выполнены условия , тогда существует постоянная такая, что
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
Доказательство леммы 2.4 аналогично доказательству леммы 3.1, стр. 343, и
неравенств (3.6), (3.7), стр. 344, из главы 9 книги [53].
Зафиксируем функцию бесконечно дифференцируемую и не возрастающую
где . Пусть . Так определенные функции обладают следующими свойствами
при , носители функций не пересекаются при фиксированном в силу неравенства
(2.12);
при ;
если .
Введем обозначения .
Для произвольной функции такой, что , пусть - равномерно абсолютно ограниченная
постоянной последовательность функций из , сходящаяся к в . Обозначим через
среднее значение функции по шару
. (2.17)
Ясно, что . Для фиксированного рассмотрим функцию
, (2.18)
где
Методами главы 9 монографии [53] доказываются следующие утверждения
Лемма 2.5. Пусть выполнены условия , тогда последовательности сильно сходятся к
нулю в при .
Доказательство. Так как носители функций не пересекаются, то
и из (2.16). Здесь - объем единичного шара в .
отсюда видим, что в силу (2.16). Аналогично, используя неравенство Пуанкаре,
получаем
где . Учитывая свойство абсолютной непрерывности интеграла ([31]), получаем,
что .
и, следовательно, . Лемма доказана.
Лемма 2.6. Пусть выполнены условия , тогда последовательность сходятся к нулю
слабо в , сильно в при .
Доказательство. Рассмотрим сначала норму функции в .
то есть . Далее имеем
где первое слагаемое в правой части неравенства стремится к нулю при в силу , а
второе ограничено постоянной, не зависящей от , в силу (2.14). Таким образом, ,
а для имеем
откуда видим, что .
Лемма 2.7. Пусть выполнены условия , тогда
Доказательство. Для любого обозначим , тогда . Выберем число так, чтобы .
Рассмотрим открытое множество . Тогда
можно выбрать конечное число шаров так, чтобы и ;
из условия следует, что
где ;
шары считаем настолько малыми, что при
. (2.19)
Тогда можно доказать, что
, (2.20)
где . Представим исследуемый интеграл в виде
.
- Киев+380960830922