РОЗДІЛ 2
ТЕОРЕТИЧНІ ДОСЛІДЖЕННЯ ПАРАМЕТРІВ
АНАЛІЗАТОРА
За рахунок в'язкого тертя залита в порожнину диска порція молока здійснює обертовий рух разом з диском. В результаті відцентрового прискорення жирові кульки витісняються до осі обертання і утворюють кільце, ширина якого характеризує жирність молока. Процес руху плазми молока і жирових кульок залежить від геометричних параметрів порожнистого диска, кінематичних параметрів обертового руху і гідродинамічних характеристик. Слід зауважити, що обертовий рух створює аеродинамічні потоки повітря між диском і захисним кожухом.
Аналіз процесу вимірювання жирності молока неможливий без детального розгляду основних гідродинамічних закономірностей руху плазми молока та жирових кульок в порожнині диска аналізатора. Енергетичні затрати на процес вимірювання жирності залежать як від геометричних і фізико-механічних параметрів, так і від характеристик повітряних потоків, які виникають навколо зовнішньої поверхні диска аналізатора, при його обертанні.
Розглянемо рух в'язкої нестислої рідини з постійною густиною, а також проаналізуємо аеродинамічні явища між корпусом диска аналізатора і захисним кожухом.
2.1. Математична модель процесу руху молока у відцентровому полі диска аналізатора
Дослідження руху рідини, яка захоплюється рухомими поверхнями диска описані в роботах ?10,11,21,49,56-58,65,66,82,86,90,92,106,120,123?.
В тонкому шарі, який контактує з поверхнею рідина приймає обертовий рух з самого початку обертання диска, причому кутова швидкість її збільшується з наближенням до поверхні аж до значення, яке рівне кутовій швидкості самого диска. Внаслідок відцентрового ефекту плазма молока і жирові кульки також рухаються в радіальному напрямку.
Дослідимо розподіл швидкостей молока в аналізаторі. Виберемо нижню поверхню порожнини за площину z = 0 циліндричних координат
(r, ?, z).
В циліндричних координатах рівняння Нав'є-Стокса і рівняння нерозривності мають вигляд ?10,11,49,56-58,65,66,82,86,90,111?:
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Тут ?r, ??, ?z - радіальна, тангенціальна і аксіальна компоненти швидкості; ? - густина; p - тиск; ? - кінематична в'язкість;
Для нижньої стінки порожнини приймаємо граничні умови ?114?:
(2.5)
де ? - кутова швидкість обертання диска.
На поверхні z = 0 швидкість молока рівна швидкості диска. Обертовий рух зумовлює появу поблизу поверхні значної радіальної швидкості плазми молока, яка направлена від центру до краю диска. Одночасно кульки рухаються до осі обертання із швидкістю Стокса ?12,55,60-64,71,104?:
(2.6)
де ?к - швидкість руху жирових кульок; R - радіус порожнини диска;
d - діаметр жирової кульки; ?м, ?ж - густина відповідно молока та жиру; ? - динамічна в'язкість молока.
Оскільки описана модель має аксіальну симетрію, то всі похідні по куту ? зникають. В цьому випадку рівняння (2.1)-(2.4) запишуться в вигляді:
(2.7)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
Рішення рівнянь (2.7) - (2.9), які задовольняють рівняння неперервності (2.10) і граничним умовам (2.5) будемо шукати у вигляді:
(2.11)
де змінна ? є безрозмірним відношенням.
(2.12)
Невідомі функції F, G, H і P задовольняють рівнянням:
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
і граничним умовам:
при (2.17)
при (2.18)
де яку необхідно визначити; ?0 - швидкість молока в центрі порожнини.
Рівняння (2.13) - (2.16) одержуємо при підстановці виразів (2.11) в рівняння Нав'є-Стокса і рівняння неперервності.
Враховуючи граничні умови (2.18) в рівнянні (2.13) знехтуємо квадратичними членами і запишемо його в вигляді:
при (2.19)
Інтегруючи це рівняння, знаходимо асимптотичний вираз для F:
при (2.20)
Аналогічно з рівняння (2.14) одержуємо:
при (2.21)
Звідки знаходимо вираз для G:
при (2.22)
Тому функції F, G і H повинні розкладатися асимптотично за степенями е-??.
Першими членами цих розкладів, які задовольняють рівняння (2.13) - (2.16) і граничні умови (2.11), (2.18), є:
(2.23)
(2.24)
(2.25)
Враховуючи граничні умови при ? = 0 одержимо формальний розклад, що задовольняє рівняння і граничні умови при малих ? в вигляді:
(2.26)
(2.27)
(2.28)
Постійні A, B, a, b, і ? необхідно визначити враховуючи, що функції F, G, H і їх похідні F? і G? повинні бути неперервні. Числове інтегрування приводить до значень ?58,66?:
(2.29)
В роботах ?58,66,114? проведений аналіз властивостей функції F, G і H. Показано, що товщина гідродинамічного пограничного шару рівна:
. (2.30)
В границях шару істотно змінюються радіальна і тангенціальна компоненти швидкостей молока. На поверхні z = 0 порожнини тангенціальна швидкість ?? має максимальне значення, а при віддалені від неї вона зменшується і поза пограничним шаром ?0 прямує до нуля. Радіальна складова ?r швидкості плазми на поверхні порожнини рівна нулеві, а при віддалені від поверхні зростає приймаючи максимальне значення на поверхні близькій до ? = 1.
З аналізу виразу (2.30) видно, що товщина пограничного шару залежить від величини кінематичної в'язкості молока і частоти обертання диска (див.дод.А). На рис. 2.1 подано результати моделювання величини пограничного шару ?0 в залежності від частоти обертання n при різній температурі молока. Як бачимо, із збільшенням кутової швидкості величина ?0 зменшується, а при зменшені температури (збільшені кінематичної в'язкості) молока пограничний шар збільшується.
В роботах ?12,55,60-64,71,104? показано, що ефективний процес розділення молока проходить при частотах обертання, більших за 3000 хв-1. З аналізу результатів дослідження, представлених на рисунку 2.1, видно, що пограничний шар при частотах обертання n, більших за 3000 хв-1 не перевищує 0,4 мм.