РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Приведенное в литературном обзоре описание системы ТФО позволяет выделить две основные группы случайных факторов, оказывающих существенное влияние на вибрацию исследуемой системы: случайные просадки (вектор {S(t)}) и случайные жесткости (вектор {Х(t)}) колонн фундамента. Эти факторы различным образом влияют на систему ТФО, но имеют общие закономерности временного поведения при длительной эксплуатации:
1. случайное квазистатическое изменение по сравнению с высокочастотными вибрационными процессами, которые определяются резонансными режимами системы;
2. кумулятивность изменения характеристик во времени.
Данные закономерности позволяют для описания векторных процессов {S(t)} и {Х(t)} использовать модели нестационарных квазистатических случайных процессов, которые полностью описываются одномерными плотностями вероятности , или, в случае нормальности этих плотностей, моментными характеристиками , , , задаваемые в фиксированные моменты времени.
Для решения задачи анализа вибрационного состояния и прогнозирования надежности системы ТФО с учетом случайного временного изменения характера взаимодействия фундамента с основанием и физико-механических характеристик материала фундамента при длительной его эксплуатации необходимо построение адекватной математической модели указанной системы, которая учитывает динамическую взаимосвязанность ее отдельных элементов и случайность основных параметров {S(t)} и {Х(t)}. Таким требованиям удовлетворяет метод конечных элементов (МКЭ) [94 - 97], который хорошо зарекомендовал себя при решении различных задач и получил широкое распространение. Одним из достоинств метода является возможность аппроксимации сложной геометрической формы при помощи большого количества различных конечных элементов (КЭ), что является важным фактором при моделировании разнообразных машиностроительных конструкций.
Уравнение колебаний исследуемой системы ТФО можно представить в следующей операторной форме:
LS(t,{X(t)}) {q(t)} = {R(t)} , (2.1)
где LS(t,X(t)) - дифференциальный матричный оператор с переменной (случайной) структурой, которая определяется вектором S(t), и переменными (случайными) параметрами, которые определяются вектором X(t);
{S(t)} - вектор случайных просадок колонн фундамента;
{X(t)}- вектор случайных жесткостных характеристик фундамента;
{q(t)} - вектор случайных обобщенных перемещений системы;
{R(t)} - вектор случайных внешних воздействий.
Вектор {R(t)} задается величиной случайных дисбалансов ротора турбины на его опорах и может быть представлен в виде:
, (2.2)
где {R0} - вектор случайных амплитуд вынуждающих сил;
?- частота вращения ротора.
Оператор LS(t,{X(t)}) можно представить в виде суммы оператора с переменными детерминированными структурой и параметрами , который определяется средними значениями , , и оператора с переменными случайными структурой и параметрами , который определяется случайными центрированными составляющими , векторов {S(t)} и {X(t)}:
, (2.3)
С учетом представления (2.3) и конечно-элементной дискретизации системы ТФО операторное уравнение (2.1) принимает следующий вид:
(2.4)
где , - матрицы, характеризующие инерционные, демпфирующие и жесткостные свойства конструкции соответственно.
При решении задачи статистической динамики с использованием матричного уравнения (2.4) будем считать, что коэффициенты матриц являются квазистационарными детерминированными функциями времени, а коэффициенты матриц - квазистационарными случайными функциями времени, вероятностные характеристики которых задаются одномерными плотностями вероятности или моментами для фиксированного времени t. В дальнейшем для упрощения записи будем опускать аргумент времени, тогда выражение (2.4) можно представить в виде:
(2.5)
Для решения сформулированной задачи статистической динамики необходимо определить вероятностные характеристики вектора {q(t)} по известным вероятностным характеристикам векторов {S(t)}, {X(t)}. Для этой цели решаются задачи собственных и вынужденных детерминированных колебаний системы ТФО при заданных реализациях векторов {S(t)}, {X(t)} и {R(t)}.
В зарубежных и отечественных стандартах по нормам вибрации систем ТФО для характеристик колебаний вводятся допустимые и предельные значения. Длительная эксплуатация систем ТФО допускается при непревышении допустимого значения, а в случае достижения предельного значения необходима немедленная остановка работы турбоагрегата. При нахождении контролируемых характеристик колебаний между допустимым и предельным значениями необходимо в короткий срок (до 1 месяца) провести мероприятия по уменьшению этих параметров до допустимого значения или ниже. Долгая эксплуатация системы ТФО при нахождении контролируемых характеристик колебаний между допустимым и предельным значениями приводит к повышенному износу его отдельных элементов и может явиться причиной аварии.
Существующие международный (ISO 3945), отечественный (ГОСТ 25364-97) стандарты по нормам вибрации турбоагрегатов и технические нормы эксплуатации турбоагрегатов на электростанциях задают ограничения на виброскорости и виброперемещения (двойная амплитуда колебаний) опор подшипников валопровода. Эти ограничения, согласно отечественным нормам эксплуатации турбоагрегатов, накладываются на колебания с рабочей частотой и половиной рабочей частоты. Кроме этого, имеется требование отсутствия резонансов колебаний в 10 % диапазоне относительно рабочей частоты. Указанные обстоятельства позволяют сформулировать задачу вибрационной надежности системы ТФО. С этой целью зададим область работоспособных состояний ?, которая определяется диапазонами частот (, j=1..?) и допустимыми значениями амплитуд вынужденных колебаний опор ротора Ак в этих диапазонах:
, (2