РАЗДЕЛ 2
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ С УЧЕТОМ НЕСПЛОШНОСТЕЙ
И КОНТАКТА И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ
В разделе представлены, в основном, методы решения, относящиеся к задачам статики конструкций, однако многое из рассмотренной методологии применяется и для решения задач динамики. Особое внимание уделено усовершенствованию метода решения задач для конструкций, содержащих тонкостенные криволинейные элементы.
2.1. Применение многосеточного метода конечных элементов. Модификация алгоритмов для конструкций с тонкостенными криволинейными элементами
Для решения задачи используется метод конечных элементов. В настоящее время наиболее распространенным является вариант МКЭ, основанный на методе перемещений. Для получения уравнений МКЭ предпочтительна вариационная формулировка, которая применительно к рассматриваемой постановке задачи представлена в виде принципа минимума полной потенциальной энергии системы [128]. Функционал полной потенциальной энергии системы ? имеет следующий вид
, (2.1)
где - тензор упругих постоянных неоднородной ортотропной среды;
- вектор перемещений;
- тензор деформации;
- единичный тензор;
- объемные и поверхностные силы;
SF - часть поверхности, где действуют силы ;
? - коэффициент теплового расширения;
Т - температура.
Варьируемые смещения в (2.1), согласно МКЭ, представлены суперпозицией аппроксимаций на конечном элементе (КЭ). Необходимое условие решения вариационной задачи (2.1) - это непрерывность смещений, удовлетворяющих кинематическим граничным условиям, и полнота аппроксимаций. В этом случае сходимость процесса, в качестве которого обычно используют метод Ритца, является монотонной [52]. Непрерывность смещений означает выбор совместного элемента, а условие полноты обычно сводится к требованию возможности представления перемещения тела как жесткого целого и состояния однородной деформации.
Концепция изопараметрического преобразования, используемая в настоящей работе, гарантирует выполнение необходимых условий монотонной сходимости МКЭ.
где - вектор смещений на КЭ;
Gi - функции формы на элементе, записанные для трехмерного случая;
?i - локальные координаты, условно показанные на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Используемый конечный элемент
Скорость сходимости по МКЭ при увеличении дискретизации на КЭ существенно зависит от вида аппроксимации на элементе. Увеличение порядка полиномов, обычно используемых в функциях формы Gi, повышает скорость сходимости, но при этом возрастает количество переменных и изменяется ширина ленты матрицы системы уравнений МКЭ. Поэтому вопрос о выборе элемента, т.е. функций формы, является открытым. В данной работе использованы полилинейные приближения. Для случая полилинейного приближения (рис. 2.1) функции Gi определяются формулами
для трехмерного КЭ (i = 1, ..., 8),
причем величины ?1i, ?2i, ?3i являются координатами i узла в локальных координатах ?1, ?2, ?3 , в которых КЭ являются классической фигурой - кубом, а начало координат лежит в центре и
? ki = ? 1 (к = 1, 2, 3).
При выполнении необходимых условий для КЭ-аппроксимаций обеспечивается сходимость по энергетической норме, а в задачах без особенностей - и по перемещениям и напряжениям.
Применение процедуры МКЭ к функционалу (2.1) приводит к системе линейных алгебраических уравнений
, (2.2)
где K0 - матрица жесткости;
f0 - вектор правых частей.
Индекс "0" введен для обозначения номера сетки, т.к. в дальнейшем используется многосеточная процедура с последовательной нумерацией сеток.
В настоящее время многосеточный метод (МСМ) является одним из наиболее мощных методов решения задач математической физики, приводящих к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) высокого порядка, в том числе и получаемых при решении задач методом конечных элементов. Реализация МСМ связана с построением последовательности операторов (матриц) убывающей размерности, соответствующих системе вложенных сеток, и организации итерационного решения исходной задачи, учитывающего решения на дополнительных сетках. Теоретические оценки МСМ показывают более высокую скорость сходимости по отношению к лучшим итерационным методам решения СЛАУ. Несмотря на успешное применение МСМ во многих задачах, для некоторых задач при практическом использовании стандартных процедур метода возникают значительные трудности, связанные с недостаточной скоростью сходимости итерационного процесса. В наибольшей степени это проявляется в расчетах НДС конструкций, которые содержат тонкостенные криволинейные элементы.
Конечноэлементная модель задачи определения НДС в постановке теории упругости для основной, мелкой сетки необходимого уровня дискретизации представлена разрешающей СЛАУ (2.2).
Введена система вспомогательных сеток ?i (i=0, 1, ..., n), причем ?i ? ?i+1, т.е. с увеличением номера i сетка становится более разреженной и содержится в предыдущей. Последнее замечание характерно для вложенных сеток, но для многосеточного процесса не является обязательным. На каждом уровне дискретизации (сетке ?i) рассматриваются аналогичные (2.2) задачи
, (2.3)
решения которых заменяются двухслойными итерационными схемами
(2.4)
с критериями сходимости
где - матричный оператор, "близкий" к оператору ;
- коэффициенты релаксации;
- текущая и требуемая точность решения системы (2.3).
Преемственность информации между уровнями задачи осуществляется операторами интерполяции для получения решения при переходе на нижний уровень, оператора сужения (конденсации) , сопряженного с , для конденсации правых частей при переходе на более высокий уровень, а также операторами . При этом операции интерполяции и конденсации записываются в виде
, . (2.5)
Построение матрицы жесткости грубой сетки выполняется конденсированием матриц
- Київ+380960830922