"Дослiдження стiйкостi i стабiлiзованостi руху твердого тiла з ротором"

РАЗДЕЛ II
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ
2.1. Метод инвариантных соотношений в теории управления
Пусть задана автономная система дифференциальных уравнений с управлением
, (2.1.1)
где – фазовый вектор; допустимыми управлениями являются
ог­раниченные измеримые функции времени , принимающие значения на некотором
множестве . Система (2.1.1) рассматривается на проме­жутке времени .
Предполагается, что для всех допустимых управ­лений функция непрерывно
дифференцируема на .
Пусть векторное поле таково, что в области можно указать поверхность
размерности такую, что во всех ее точках векторы принадлежат касательному
пространству к Тогда все траектории системы (2.1.1), начинающиеся на этой
поверхности, будут целиком ей при­надлежать. В теории динамических систем такие
объекты называют инвари­антными многообразиями [32].
Определение 2.1. Многообразие называется инвариантным
многообразием системы управления, если при любых допустимых управлениях
траектория, принадлежащая этому многообразию в некоторый момент времени ,
принадле­жит ему и при всех остальных значениях .
Одномерным инвариантным многообразием является отдельная траектория системы, и
поэтому системы обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых выполнены
условия существования и единственности решения, всегда имеют в области задания
инвариантные многообразия (а именно одномерные). Хотя в задачах управления
понятие такого многообразия сохраняет геометрический смысл, по-прежнему его
можно понимать как некоторое многообразие, “сотканое” из траекторий системы, но
система управления может не иметь такого многообразия и процедура его отыскания
усложня­ется.
Изучение вопроса существования инвариантного многообразия естественно начать с
анализа линейной оболочки множества скоростей системы (2.1.1) в произвольной
точке . Очевидно, что для существования инвариантного многообразия размерность
ее должна быть меньше : . Если неравенство выполнено для всех , в области может
существовать инвариантное многообразие размерности, не меньшей . В случае,
когда условие выполнено в точках некоторого множества , инвариантное
многообразие, если оно существует, при­надлежит множеству . Выделенные случаи
для всех и для различаются по используемым для их исследования приемам, в
основе которых лежит метод инвариантных соотношений построения инвариантных
многообразий динамических систем.
Приведем основные определения и теоремы метода инвариантных соотношений,
решающие указанные проблемы для систем обыкновенных диффе­ренциальных
уравнений. Первый способ связан с вопросом существования инвариантных
многообразий [42], приведем основные определения и тео­ремы [32].
Определение 2.2. Конечное соотношение между и
(2.1.2)
называется инвариантным по отношению к заданной системе обыкновенных
дифференциальных уравнений
, (2.1.3)
если все решения системы, которые удовлетворяют этому соотношению вначале, то
есть при частном значении , будут удовлетворять ему и при всяком другом
значении этого переменного.
Теорема 2.1. Для того чтобы соотношение (2.1.2) было инвариантным
соотношением системы (2.1.3), необходимо и достаточно, чтобы функция
удовлетво­ряла линейному дифференциальному уравнению в частных производных
где – некоторая непрерывная функция в области .
Определение 2.3. Система из конечных соотношений между
(2.1.4)
называется инвариантной относительно системы обыкновенных дифференциальных
уравнений (2.1.3), если она удовлетворяется при каком угодно зна­чении всяким
решением системы (2.1.3), начальные значения которого (то есть соответствующие
частному значению ) ей удовлетворяют.
Теорема 2.2. Для того чтобы система функций (2.1.4) была системой
инвариантных соотношений уравнений (2.1.3), необходимо и достаточно, чтобы
функции удовлетворяли системе линейных дифференциальных уравнений в частных
производных
,
где – некоторые непрерывные функции в области .
Второй способ позволяет проверить, содержит ли многообразие определенное
равенством
, (2.1.5)
инвариантное многообразие системы обыкновенных дифференциальных уравнений
. (2.1.6)
Если ответ положительный, то соотношение (2.1.5) называют инвариантным
соотношением системы (2.1.6). Способ разработан в аналитической динамике и
успешно применен к нахождению точных решений задачи о движении твердого тела и
гиростата. Приводимые ниже результаты заимствованы из работы [94]. На основании
системы (2.1.6) всякой функции ставится в соответствие последовательность ,
члены которой определены таким образом .
Определение 2.4. Если многообразие
(2.1.7)
не пусто, оно называется инвариантным многообразием дифференциальных уравнений
(2.1.6), а соотношение – инвариантным соотношением этих уравнений.
Вводимое этим определением понятие инвариантного многообразия совпадает с
принятым в теории динамических систем и его описание системой (2.1.7) удобно
при решении поставленной выше задачи. В случае не пустого в системе соотношений
(2.1.7) имеется функционально независимых в членов. При многообразие
представляет собой множество осо­бых точек уравнений (2.1.6). В дальнейшем
предполагается .
Теорема 2.3. Многообразие определяется первыми уравнениями
(2.1.7).
Пусть рассматривается система инвариантных соотношений
. (2.1.8)
Случай, когда пересечение порождаемых ими инвариантных многообразий пусто, ,
интереса не представляет. Определяющие многообразия уравнения
(2.1.9)
в