РОЗДІЛ 2
НЕЛІНІЙНА МОДЕЛЬ АНТЕННОЇ СИСТЕМИ
У даному розділі досліджується динамічна модель антенної системи у вигляді чотиримасової системи з азимутально - кутомісцевим ОПП. У моделі антени використано методику приведення зосереджених мас та враховано інертність мас, жорсткість та демпфування. Побудовано нелінійні рівняння руху антенної системи з врахуванням електромагнітних перехідних процесів у двигунах. Досліджено вплив вітрових навантажень[40, 44 - 46]. Отримано рівняння збуреного руху, розглядаємо на інтервалі [t0, tf], де t0 - початок спостереження, tf - кінець спостереження, включно з вітровими навантаженнями, здійснено аналіз структури сил, що діють на антенну систему[41, 47]. Досліджено стійкість рівнянь збуреного руху вільної системи де виявлено необхідність у керуванні антенною системою. Здійснено математичне моделювання кінематики двовісного ОПП з довільно розташованими осями, показано зв'язок кутів, швидкостей та прискорень в кінематичних рівняннях з відповідними динамічними рівняннями антени та рівняннями у збуреному русі.
2.1. Побудова нелінійної моделі антени
Розглянемо динамічну модель антенної установки у вигляді чотиримасової системи (рис. 2.1). На рисунку зображено привід першої осі опорно-поворотного пристрою (азимутальна вісь для азимутально-кутомісцевої підвіски) у вигляді двох зосереджених мас , та привід другої осі (кутомісцева вісь). Маси з моментами інерції відповідають масам опорно-поворотного пристрою, котрі зведені до валів двигунів. - моменти інерції приведені до виконавчих осей по кожній осі окремо. Тут вибрано: ?10, ?20 - узагальнені координати на валах двигунів (відповідно азимутальна, кутомісцева осі), ?1, ?2 - узагальнені координати на виконавчих осях.
Рис. 2.1. Динамічна модель опорно-поворотного пристою азимутально-кутомісцевої антени
Між масами встановлені редуктори з передаточними відношеннями та . Пружність, яка існує у валах осей і приводу, а також в зубцях передаточного механізму, муфтах і т.д., приведена до валу виконавчого механізму і позначена - і . Процеси демпфування враховано за допомогою коефіцієнтів демпфування - і . R - відстань від центру мас дзеркала, до перетину азимутальної і кутомісцевої осей, m - маса дзеркальної системи. Приймемо, що на валах двигунів діють моменти - і , а на виконавчі маси моменти опору - і . Моменти опору, що діють на виконавчі маси, можуть зображатись різними математичними виразами в залежності від прийнятої моделі. Так, наприклад, сили вітру, які складаються з статичної і динамічної складової можуть також використовуватись в динамічній моделі і рівняннях, котрі її описують.
Моменти електродвигунів можуть задаватись за допомогою різних характеристик (статичних і динамічних) в залежності від типу електроприводу (двигунів постійного струму, асинхронних, синхронних, крокових). В наш час широке застосування отримали двигуни постійного струму незалежного збудження. Рівняння, яке описує перехідні процеси в такому двигуні, при постійному магнітному потоці , зокрема має вигляд[3]:
(2.1.1)
де - електромагнітний момент двигуна; - електромагнітна постійна часу; - індуктивність якірного ланцюга; - індуктивності генератора і двигуна; - активний опір якірного ланцюга; - активні опори генератора та двигуна; - параметри статичної характеристики; - коефіцієнт крутизни статичної характеристики; - кутова швидкість ідеального холостого ходу. - кутова швидкість навантаженого ходу. Величини і визначаємо за формулами:
,
де - е.р.с. генератора; - магнітний потік двигуна, ke , km - коефіцієнти пропорційності струму якоря від напруги проти е.р.с.
При складанні рівнянь руху нашої моделі скористаємось рівняннями Лагранжа ІІ-го роду [81, 86 - 88, 98]:
(2.1.2)
де - кінетична енергія системи, - узагальнені координати, - потенціальна енергія, Ф - функція розсіювання або дисипативна функція,
тут і далі для зручності узагальнені координати будемо позначати ,
.
Запишемо кінетичну, потенціальну та енергію дисипації опорно-поворотного пристрою у вигляді [55, 81, 86, 87]:
(2.1.3)
де - - приведений момент інерції на азимутальній осі, що залежить від суми зведених моментів інерції по азимутальній осі та моменту інерції що залежить від положення кутомісцевої осі.
- приведений момент інерції на виконавчій кутомісцевій осі.
Для зручності обчислення відповідних похідних рівняння (2.1.2) розкриємо дужки (2.1.3):
Використовуючи рівняння Лагранжа (2.1.2) обчислимо відповідні похідні, тоді по координаті ?10 отримаємо
по узагальненій координаті ?1
,
по узагальненій координаті ?20 ,
по узагальненій координаті ?2
=, ,
Остаточні нелінійні рівняння руху антенної системи можна записати у такому вигляді:
(2.1.4)
Для достовірності отриманої моделі розглянемо частковий випадок системи (2.1.4). Покладемо наступні коефіцієнти, узагальнені координати та моменти - нульовими, тоді модель антени зводиться до моделі нестійкого конічного маятника.
У даному випадку в системі рівнянь (2.1.4) перше та третє рівняння зникають, а друге і четверте, що записані по узагальнених координатах ?1, ?2 після очевидних спрощень набудуть вигляду:
(2.1.5)
Використовуючи рівняння для стійкого конічного маятника [6 - 8], заміну , , R=l, та змінюючи знак при потенційній енергії, матимемо рівняння (2.1.4) у формі:
,
.
Отже, в розглянутому частковому випадку модель антени збігається з відомою моделлю нестійкого конічного маятника.
До системи диференціальних рівнянь (2.1.4), які описують механічну частину коливних процесів в антені, часто долучаються ще уточнені нами диференціальні рівняння перехідних процесів електроприводу:
. (2.1.6)
В правій частині рівнянь (2.1.1) введені керування , , де вважається, що інформація про та задана чи є можливість отримати її певним способом. Тоді
,
де , - лінійний