ГЛАВА 2
РАЗРАБОТКА И АНАЛИЗ РЕКУРРЕНТНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.1. Постановка задачи.
В соответствии с темой диссертации необходимо провести разработку и исследование рекуррентных методов решения интегрального уравнения (1.4). Эти методы должны базироваться на рекуррентных формулах решения этого уравнения. Как уже отмечалось в первой главе диссертационной работы, идея использования рекуррентных формул для численного решения интегральных уравнений изложена в [14].
Целью настоящего раздела является вывод двучленных рекуррентных формул решения интегрального уравнения (1.4), которые обобщают рекуррентные формулы, полученные в [14] (см. главу 1), анализ одночленных и двучленных рекуррентных формул, на основе которого разрабатывается рекуррентный метод численного решения интегрального уравнения (1.4).
Результаты этой главы изложены в [27-30].
2.2. Вывод соотношений, связывающих решения интегральных уравнений, импеданс которых отличается на двух элементарных интервалах
Интегральное уравнение (1.4) моделирует задачу возбуждения импедансной полосы (см. главу 1). В дальнейшем функцию в этом уравнении будем называть импедансом.
Рассмотрим уравнение (1.4). Пусть импеданс не равен нулю на конечном промежутке и таков, что уравнение (1.4) имеет единственное решение. Разобьем этот промежуток на элементарных интервалов длиной ?. Отметим, что ради простоты рассматривается случай, когда элементарные интервалы имеют одинаковую длину. Обобщение на случай интервалов различной длины не составляет трудностей. Координату середины каждого интервала обозначим .
Пусть функция распределения импеданса представлена кусочно-постоянной функцией, которая определена формулой (1.6).
Подставим представление (1.6) в уравнение (1.4), тогда это уравнение примет следующий вид:
. (2.1)
В случае, когда импедансная плоскость возбуждается нитями магнитного тока, функция определяется следующей формулой:
,
где - амплитуда -той нити магнитного тока в Вольтах.
Запишем уравнение (2.1) в следующем виде:
(2.2)
где - оператор, который определяется следующей формулой:
. (2.3)
Рассмотрим теперь следующую систему интегральных уравнений:
(2.4)
Будем считать, что каждое из уравнений системы (2.4) разрешимо. Это будет иметь место, если импеданс является физически реализуемым, т.е. [19].
Из сравнения уравнений (2.2) и (2.4) следует, что
, при .
Таким образом, найдя функцию , можно определить приближенное решение уравнения (2.2), а значит и уравнения (1.4).
Перепишем уравнение (2.4) в следующем виде:
. (2.5)
С целью упрощения дальнейших выводов введем оператор следующего вида:
, (2.6)
где - единичный оператор.
Отметим, что .
С учетом обозначения (2.6) уравнение (2.4) можно записать в следующем виде:
(2.7)
Решение уравнения (2.7) формально можно записать в следующей операторной форме:
, (2.8)
где - оператор обратный оператору .
Так как по условию уравнение (2.7) разрешимо, то оператор существует.
С учетом (2.6) перепишем равенство (2.5) в следующем виде:
. (2.9)
Применим к уравнениям (2.9) оператор , обратный оператору , который определен формулой (2.6). Тогда получим следующее выражение:
. (2.10)
Из (2.8) видно, что
. (2.11)
Из (2.3) следует, что
Учитывая, что функция вне интервала равна нулю, а плотность тока на интервале практически не изменяется, получим
С учетом обозначения (1.8), имеем
. ( 2.12)
Подставим последнее выражение и формулу (2.11) в уравнение (2.10). Получим
. (2.13)
Обозначим действие обратного оператора на функцию () через , т.е.
Нетрудно видеть, что функции являются решением следующего уравнения:
. (2.14)
Отметим, что уравнение (2.14) аналогично уравнению (2.7), а значит и уравнению (1.4).
С учетом введенных обозначений перепишем уравнение (2.26) в следующем виде:
. (2.15)
Допустим, что нам известны функции и . Тогда для нахождения функции , на всем промежутке , достаточно знать ее значения в двух точках: и .
Найдем эти значения, т.е. величины и . Для этого положим в уравнении (2.15) , а затем . После простых преобразований получим следующую систему уравнений для определения величин и :
.
Запишем полученную систему уравнений в матричной форме:
Решение этой системы, в соответствии с формулами Крамера, представляются в следующем виде:
,
где , и определяются следующими формулами:
, (2.16)
Решения искомой системы уравнений выражаются следующими формулами:
Подставим полученные значения и в соотношение (2.15). Тогда формула для будет иметь следующий вид:
, (2.17)
где определяется формулой (2.16).
Легко видеть, что формула (2.17) позволяет вычислить функции по функциям (если известны функции и ).
Из приведенных рассуждений следует, что формула (2.17) связывает между собой решения следующих интегральных уравнений:
(2.18)
(2.19)
, . (2.20)
Отметим, что формула (2.20) следует из формулы (2.14).
Из сравнения (2.18) и (2.19) с уравнением (1.4) видно, что формула (2.17) связывает между собой решения уравнения (1.4) с импедансами,