РАЗДЕЛ 2
ЭВОЛЮЦИЯ ВРАЩЕНИЙ ВОЛЧКА ЛАГРАНЖА ПОД
ДЕЙСТВИЕМ ВОЗМУЩАЮЩЕГО МОМЕНТА СИЛ,
МЕДЛЕННО ИЗМЕНЯЮЩЕГОСЯ ВО ВРЕМЕНИ
2.1. Возмущенное движение Лагранжа при различных порядках малости проекций
вектора возмущающего момента
2.1.1. Постановка задачи. Рассмотрим движение динамически симметричного
твердого тела вокруг неподвижной точки O под действием восстанавливающего
момента и возмущающего момента, медленно изменяющегося во времени. Уравнения
движения (динамические и кинематические уравнения Эйлера) имеют вид:
(2.1.1)
Динамические уравнения (2.1.1) записаны в проекциях на главные оси инерции
тела, проходящие через точку О. Здесь p, q, r – проекции вектора угловой
скорости тела на эти оси; величины Mi (i = 1, 2, 3) – проекции вектора
возмущающего момента на те же оси, они зависят от медленного времени t = et
(e << 1 – малый параметр, t – время) и являются периодическими функциями углов
Эйлера y, j, q с периодами 2p; j – угол собственного вращения, y – угол
прецессии, q – угол нутации; A – экваториальный, C – осевой момент инерции тела
относительно точки O. Предполагается, что на тело действует восстанавливающий
момент, максимальная величина которого равна k и который создается постоянной
по величине и направлению силой, приложенной в некоторой фиксированной точке
оси динамической симметрии. Примером может служить случай тяжелого волчка
k=mgl, где m – масса тела, g – ускорение силы тяжести, l – расстояние от
неподвижной точки О до центра тяжести тела.
В данной задаче делаются следующие исходные предположения:
(2.1.2)
которые означают, что направление угловой скорости тела близко к оси
динамической симметрии; угловая скорость достаточно велика, так что
кинетическая энергия тела много больше потенциальной энергии, обусловленной
восстанавливающим моментом; две проекции вектора возмущающего момента на
главные оси инерции тела малы по сравнению с восстанавливающим моментом, а
третья – одного с ним порядка.
Неравенства (2.1.2) позволяют ввести малый параметр e << 1 и положить:
(2.1.3)
Функции , а также переменные и постоянные P, Q, r, ш, и, K, A, C предполагаются
ограниченными величинами порядка единицы при .
Ставится задача исследования асимптотического поведения решений системы (2.1.1)
при малом е, если выполнены условия (2.1.2), (2.1.3), которое будет проводиться
широко используемым в задачах динамики твердого тела методом усреднения [11-13]
на интервале времени порядка e–1.
2.1.2. Процедура усреднения. В работе применена методика усреднения
разработанная Л. Д. Акуленко, Ф. Л. Черноусько, Д. Д. Лещенко [69]. Сделаем в
системе (2.1.1) замену переменных (2.1.3). Сократив обе части первых двух
уравнений (2.1.1) на е, получим:
(2.1.4)
Рассмотрим систему нулевого приближения, положим e = 0 в (2.1.4), тогда из
последних четырех уравнений получим:
(2.1.5)
Здесь – постоянные, равные начальным значениям переменных при t = 0. Подставим
равенства (2.1.5) в первые два уравнения системы (2.1.4) при e = 0 и
проинтегрируем полученную систему двух линейных уравнений для P, Q. Получим:
(2.1.6)
Здесь – начальные значения новых переменных P, Q, введенных согласно (2.1.3), а
переменная g = g0 имеет смысл фазы прецессионных колебаний и определяется
уравнением
(2.1.7)
Равенства (2.1.5), (2.1.6) определяют общее решение системы (2.1.4) и (2.1.7)
при e = 0. Первые два соотношения (2.1.6) можно, исключая постоянные, с учетом
(2.1.5) переписать в эквивалентном виде:
(2.1.8)
и разрешить относительно a, b
(2.1.9)
Рассмотрим систему (2.1.4) при и соотношения (2.1.8), (2.1.9) как формулы
замены переменных, определяющие переход в системе (2.1.4), (2.1.7) от
переменных к новым переменным , где
(2.1.10)
После преобразований получим более удобную для дальнейшего исследования систему
семи уравнений следующего вида:
(2.1.11)
Введем вектор x, компонентами которого служат медленные переменные системы
(2.1.11). Тогда эту систему можно записать в виде:
(2.1.12)
Здесь вектор-функция X и скалярная функция Y определяются правыми частями
уравнений (2.1.11), начальные значения получаются согласно (2.1.5)-(2.1.7),
(2.1.10).
Рассмотрим систему (2.1.11) с точки зрения применения метода усреднения [13]. В
работах [69, 72] исследованы движения твердого тела при предположениях (2.1.2),
когда возмущающие моменты не зависят от t, а восстанавливающий момент k=const
или k=k(и). Если предположить, что возмущающие моменты зависят от быстрой
переменной t, например периодически, то получим существенно нелинейную
трехчастотную систему и непосредственное применение метода усреднения весьма
затрудненно. Исследуем более простой случай зависимости возмущающих моментов от
медленного времени . В ряде работ, например [15, 29], исследованы возмущенные
движения твердого тела, близкие к случаю Лагранжа, под действием момента,
изменяющегося во времени.
Система (2.1.11) содержит медленные переменные и быстрые переменные – фазы a,
g, причем g входит лишь в первые три уравнения (2.1.11). Так как периодичны по
j с периодом 2p, то согласно (2.1.6) и (2.1.10) функции из (2.1.11) являются
периодическими функциями a, g с периодом 2p. В этом случае система (2.1.11)
содержит две вращающиеся фазы a и g, и соответствующие им частоты и переменны.
При усреднении системы (2.1.11) следует различать два случая: нерезонансный,
когда частоты w1 и w2 несоизмеримы (С/A – иррациональное число) и резонансный,
когда эти частоты соизмеримы (С / A = i / j, i / j Ј 2, i, j – взаимно простые
небольшие натуральные числа) [18]. Существенной особенностью системы (2.1.11),
является то, что отношение часто