РАЗДЕЛ 2. УСЛОВИЯ И ПРИЧИНЫ ВОЗБУЖДЕНИЯ ТЕРМОАКУСТИЧЕСКИХ АВТОКОЛЕБАНИЙ
2.1. Необходимые условия возбуждения автоколебаний
теплоподводом
Необходимым условием неустойчивости в электрических и электронных системах
является наличие ветви отрицательного сопротивления [2,51,71]. В пневмо и
гидросистемах [40,58], включающих лопастной нагнетатель, таким условием
является восходящая ветвь напорной характеристики. Возбуждение вибрационного
горения [63] объясняется положительностью потока акустической энергии.
Представленной ниже теоремой доказывается эквивалентность этих условий,
которых объединяет общность, заключающаяся в проявлении действия
отрицательного сопротивления соответствующей природы.
ТЕОРЕМА 1 Отрицательное сопротивление тепловое или гидравлическое
эквивалентно наличию положительности потока акустической
энергии и есть необходимым условием неустойчивости.
? Пусть в системе действует постоянный источник механической энергии, не
зависящий от расхода , который способствует его перемещению. Таким
источником может быть, например, вентилятор с радиальными лопастями его
колеса и теоретической характеристикой . На выходе из вентилятора (рис. 2.1)
установлено сопротивление с потерей энергии на нем . Тогда энергия, поступающая
в колебательный контур, .
Рис. 2.1. Колебательный контур с акустическими параметрами и , содержащий
вентилятор
Пусть зависимость имеет нисходящую ветвь при малых расходах, т.е. ветвь с
отрицательным сопротивлением, например гидравлическим (рис. 2.2). Тогда
характеристика будет иметь при малых расходах, восходящую ветвь, порожденную
падающей ветвью зависимости (рис. 2.3).
Рис. 2.2. Характеристика сопротивления
Рис. 2.3. Характеристика , энергии поступающей в колебательный контур
Зависимость имеет характер напорной характеристики центробежного компрессора
[11,40], которая описывается полиномом третьей степени, т.е.
(2.1)
Энергия идет на повышение кинетической и потенциальной энергий, т.е.
(2.2)
Из уравнения (2.2) следует, что потенциальная энергия равна
(2.3)
Учитывая, что кинетическая энергия потока есть квадратичная функция расхода ,
т.е. и, принимая во внимание соотношение (2.1), имеем
(2.4)
При определенном значении на восходящей ветви характеристики
и потенциальная энергия достигает максимума, что согласно теореме
Лагранжа-Дирихле соответствует неустойчивости режима в этой точке.
Для монотонно падающей характеристики производная , что обеспечивает
устойчивость на всей ее ветви.
Итак, необходимым условием неустойчивости является восходящая ветвь зависимости
поступающей энергии в колебательный контур от расхода , что наблюдается в
практике и положено в основу теории помпажа компрессора [11,40].
Производная на рассматриваемой восходящей ветви
(2.5)
Легко видно, что из выполнения условия (2.5) автоматически следует
выполнение условия:
, (2.6)
где [63].
Таким образом, ветвь отрицательного сопротивления , на которой , образует или
способствует образованию восходящей ветви на зависимости энергии поступающей
в колебательный контур, что эквивалентно условию ?. Итак, имеет место
эквивалентность условий:
(*)
ТЕОРЕМА 2. Наличие запаздывания при изменении гидравлической
энергии (подводе или ее рассеивании) может способствовать
неустойчивости системы.
? Пусть зависимость подводимой энергии от расхода является функцией
запаздывающего аргумента . При этом выпуклая монотонно убывающая функция,
т.е. характер подвода энергии сам по себе должен обеспечить устойчивый
характер. Разложим функцию по формуле Тейлора
.
Для обеспечения минимума потенциальной энергии в системе, что должно обеспечить
устойчивость стационарного режима требуется выполнение условия
или .
Учитывая, что рост величины может способствовать неустойчивости системы, что
определяется характером зависимости .?
Таким образом, причиной возбуждения автоколебаний, в том числе и
термоакустических является наличие восходящей ветви напорной характеристики
. В соответствии с эквивалентностью условий (*) ее образование порождается
нисходящей ветвью зависимости потерь (рассеивания) энергии, которая образуется
отрицательными сопротивлениями тепловым или гидравлическим, условия
проявления которых автором сформулированы в [15].
Появление запаздывания в системе с рассеиванием или подводом энергии может
быть также причиной неустойчивости, что определяется характером изменения
расхода , от которого изменяется масса и, соответственно, давление в
аккумулирующей емкости системы.
Как уже отмечалось во введении при ослаблении воздействия отрицательных
сопротивлений, когда величина теплового потока является неизменной,
возбуждение автоколебаний обуславливает, в соответствии с [8], именно
запаздывание объемной релаксации теплоподвода.
2.2. Достаточные условия возбуждения автоколебаний теплоподводом
и их реализация
Достаточные условия возбуждения термоакустических колебаний определяются
условиями периодического решения системы уравнений нестационарного движения,
имеющего характер автоколебаний, и положены в основу алгоритма их построения.
Критерий Бендиксона устанавливает отсутствие предельных циклов уравнения
интегральных кривых
(2.7)
и вытекает из следующей теоремы.
ТЕОРЕМА 3 Если в некоторой односвязной области выражение нигде не меняет
знак и не равняется тождественно нулю, то в области нет предельных циклов.
Условия теоремы удовлетворяются при