РАЗДЕЛ II
РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ ГАРАНТИРУЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ С
ПРОГНОЗИРОВАНИЕМ
2.1. Теоретическая основа АГУ с прогнозированием.
В п. 1.2 указано, что для СГУ с быстрыми алгоритмами эффективность решения
задачи (1.3) во многом зависит от запаздывания в канале управления ОУ. Оно не
позволяет системе своевременно реагировать на изменение , что увеличивает
дисперсию , а в отдельных случаях может приводить к возникновению S. Для
соблюдения условия СГУ «отодвигает» дальше от угр+, что снижает эффективность
функционирования ОУ. Повышение качества работы системы возможно за счет
использования в расчете прогнозирования необходимых компонент y(t) на время
соизмеримое со временем запаздывания в канале управленияо. Такое
прогнозирование, прежде всего, относится к «быстрым» переменным и , так как и
являются достаточно медленными и интервал квазистационарности у них гораздо
больше запаздывания.
Проведенный анализ показывает, что отдельные участки траектории движения y(t)
могут быть представлены непрерывными, многократно дифференцируемыми функциями
(сплайнами). Это дает возможность для прогнозирования (экстраполяции)
переменных априори выбрать «достаточно хорошую» модель (сплайн) траектории
изменения этих переменных на интервале прогнозирования и затем в реальном
времени проводить текущую идентификацию ее параметров.
В общем случае движение в системе имеет как свободную, так и вынужденную
составляющие. Инерционности каналов регулирования, наличие замкнутого контура
обуславливают многократную дифференцируемость и колебательность составляющей
свободного движения быстрых САР. Большое количество составляющих в координатных
возмущениях и их преобразование инерционными каналами ОУ позволяет
рассматривать их в виде многократно дифференцируемого случайного гауссовского
процесса. Прохождение этих процессов через каналы САР приводит к формированию
вынужденной составляющей движения y(t), часто в виде узкополосного, случайного
процесса. Такие свойства y(t) позволяют достаточно хорошо аппроксимировать
траектории изменения переменных и гармоническим или кубическим сплайном.
2.1.1. Гармонический сплайн
, Dtпр О [0, tпр]. (2.1)
В (2.1) текущие значения параметров обобщенной синусоиды , , , оцениваются и
принимают новые значения в каждый момент времени t. И только на отрезке времени
Dtпр О [0, tпр], на которое осуществляется прогнозирование, и которое по сути
является «машинным», а не реальным временем, они сохраняются неизменными.
Подставляя (2.1) с Dtпр = tпр в (1.8) получим выражение для расчета
прогнозированного на tпр значения интенсивности выбросов, которое для
рассматриваемого АГУ должно быть реализовано МОЧН:
, (2.2)
где , - то же, что , , но учитывающие ошибки прогнозирования.
Заменим в (2.2) оценку текущего значения его допустимым значением , которое
определяется заданной гарантированной вероятностью , а текущее значение оценки
- заданным, предельно близким к yгр± значением yздд±(t). Разрешив (2.2)
относительно yздд±, получим выражение для МРЗД:
(2.3)
Найдем соотношения, позволяющие оценивать параметры модели (2.1) в текущий
момент времени t = t0 по значениям и ее производным. Поскольку общее количество
оцениваемых параметров равно четырем, то необходимо дополнительно иметь в
момент t0 значения трех производных. Тогда получим систему уравнений:
Решая (2.4), получим:
, , (2.5)
, .
Оценку квазипостоянной составляющей в можно, используя аналогичный подход,
найти из выражения:
. (2.6)
2.1.2. Кубический сплайн
,(2.7)
Dtпр О [0, tпр].
Тогда, если могут быть найдены значения трех производных этих оценок в момент
времени t = t0, то оценки значений коэффициентов в (2.7) определяются из
простых и удобных для расчета в реальном времени соотношений:
, ,
, ,
, ,
, (2.8)
а спрогнозированные на tпр вперед значения необходимых оценок рассчитываются из
выражений:
.(2.9)
Тогда, с учетом (2.9), расчет уздд+ и оценки средней частоты S, реализуемые
модулями МРЗД и МОЧН, ведутся на основе выражений:
(2.10)
. (2.11)
Необходимым условием работы алгоритма, является трехкратная дифференцируемость
и . Это условие вполне выполнимо, т. к. переменные на выходе ОУ,
отфильтрованные от шумов, как правило, являются многократно дифференцируемыми.
В обоих рассмотренных сплайнах расчет их коэффициентов ведется в
предположении, что в момент t0 известны значения самой переменной и всех
необходимых производных. В случае цифровой реализации алгоритма управления, а
именно она предполагается как основная, производные вычисляются по значениям
решетчатой функции , , с шагом квантования Ткв.
При цифровой реализации алгоритма возможен еще один вариант параметрической
идентификации кубического сплайна, не требующий трехкратной дифференцируемости
и . Пусть значения кубического сплайна совпадают со значениями в текущий момент
времени и три предыдущие момента времени сдвинутые на шаг квантования. Перейдя
к дискретному времени, получим следующее выражение:
.(2.12)
Для решения данной системы уравнений относительно параметров кубического
сплайна воспользуемся теоремой Крамера. Для простоты пусть текущий момент
времени для кубического сплайна равен нулю (n=0), тогда получим следующее
выражение:
,(2.13)
Решая данную систему уравнений, получим:
, , , (2.14)
где ,
Как видно главный определитель Д не равен ну