РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВОЗДЕЙСТВИЯ ИМПУЛЬСНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ НА БИОЛОГИЧЕСКУЮ КЛЕТКУ
2.1. Постановка задачи проникновения импульсного электрического поля в биологическую клетку
Используем сферическую модель биологической клетки с постоянными удельными электропроводностями ?k и абсолютными диэлектрическими проницаемостями ?k отдельных элементов (рис. 2.1). Внешняя среда (k=1) имеет электрофизические характеристики обрабатываемого продукта, сферическая оболочка (k=2) соответствует мембране биологической клетки, а среда внутри оболочки (k=3) - внутреннему содержимому клетки ?13?.
Рис. 2.1. Сферическая оболочка из неидеального диэлектрика
в декартовых (x,y,z) и сферических (r, ?, ?) координатах
Помещаем сферическую оболочку из неидеального диэлектрика в однородное импульсное электрическое поле напряженностью Евн(t), вектор которого ориентирован в отрицательном направлении оси z декартовой системы координат (см. рис. 2.1). Используем "квазистатическое" приближение процесса, в соответствии с которым влиянием магнитного поля на электрическое поле пренебрегаем ?21?. Для потенциала результирующего плоскомеридианного электрического поля в сферических координатах ?(k)(r,?,t) имеем такую формулировку задачи:
; (2.1)
, (2.2)
, (2.3)
, ;
, (2.4)
где Er(k) - радиальная проекция вектора напряженности результирующего электрического поля в сферических координатах, причем в "квазистатическом" приближении
; (2.5)
Rm - радиус граничной сферической поверхности;
n - число областей системы с различными электрофизическими характеристиками (для системы, показанной на рис. 2.1, n=3, m=1,2).
Для полноты формулировки потребуем выполнения ещё двух дополнительных условий: 1) потенциал результирующего электрического поля в центре системы (см. рис. 2.1, r=0) ограничен; 2) при удалении от оболочки на значительное расстояние (r>>R1) потенциал результирующего электрического поля стремится к потенциалу внешнего электрического поля.
2.2. Случай очень высокой частоты внешнего электрического поля
2.2.1. Постановка электростатической задачи. Высокочастотные электрические поля можно рассматривать в электростатическом приближении. При этом пренебрегаем электрической проводимостью элементов клетки () ?21?. Рассматриваем воздействие однородного постоянного электрического поля напряженностью , ориентированного вдоль декартовой координаты z, на систему диэлектрическая оболочка - шар (см. рис. 2.1).
Формулировка задачи состоит из выражений (2.1), (2.2), дополнительных условий (потенциал уже не является функцией времени) и граничного условия
. (2.6)
Формулировку, подобную описанной, имеют задачи об однородном диэлектрическом теле (шаре или цилиндре) и однослойной оболочке [21 - 24] в однородном внешнем поле. Поэтому решение рассматриваемой задачи ищем в таком виде [21, 22]:
, , (2.7)
где Ak, Bk - постоянные, для определения которых был разработан ниже описанный универсальный алгоритм ?25?;
s - показатель, зависящий от формы оболочки (для сферической формы s=2, для цилиндрической - s=1).
Выражение (2.7) удовлетворяет уравнению (2.1), записанному в соответствующих координатах. Для примера рассмотрим трехслойную оболочку, в которой R1, R2, R3, R4 - радиусы границы между 1-й и 2-й, 2-й и 3-й, 3-й и 4-й, 4-й и 5-й участками сред, соответственно (n = 5). Для нахождения 2n постоянных Ak, Bk из граничных условий (2.2), (2.6) получаем систему из 2n-2 однородных линейных алгебраических уравнений:
;
;
;
;
;
;
;
;
или
(2.8)
где C - прямоугольная матрица размером (2n-2)? 2n;
X - вектор неизвестных постоянных Ak, Bk.
Система (2.8) недоопределена. Число неизвестных уменьшаем до необходимого числа 2n-2 с помощью дополнительных условий, которым должно удовлетворять решение (2.7). Условие 1) даёт
(2.9)
а условие 2) -
(2.10)
Знак в правой части (2.9) зависит от принятого направления вектора . Если этот вектор направлен согласно некоторой оси координат, берётся знак минус, против этой оси - плюс (см. рис. 2.1). В обоих случаях потенциал внешнего поля, определяемый первым слагаемым в скобках решения (2.7), убывает в направлении .
Таким образом, систему уравнений (2.8) с помощью (2.9), (2.10) преобразуем к виду
(2.11)
где C1 - квадратная матрица размером (2n-2)?(2n-2), полученная из матрицы C;
X1 - - вектор неизвестных постоянных Ak, Bk, полученный из вектора X;
F - вектор правых частей.
При n>2 формирование матрицы C1 трудоёмко, особенно при возрастании n. Кроме того, решение системы уравнений (2.11) общими методами нерационально, поскольку матрица C1 является неплотной.
2.2.2. Алгоритм нахождения коэффициентов решения. Анализ показывает, что при изменении числа слоёв и формы оболочки структура матриц C и C1, а также формулы для расчёта их элементов подчиняются определённым закономерностям. Последние позволяют построить универсальный (не зависящий от числа слоёв и формы оболочки) алгоритм нахождения коэффициентов Ak, Bk,