РОЗДІЛ 2
ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПЛОСКИХ КРИВИХ ЛІНІЙ
ІЗ ЗАСТОСУВАННЯМ ГРАФІКІВ РОЗПОДІЛУ КРИВИНИ
2.1. Лінійний елемент кривини та моделювання плоских
кривих ліній
У різних галузях науки і техніки при моделюванні об’єктів, процесів та явищ
широко застосовуються різноманітні геометричні моделі. Незважаючи на те, що
сучасна прикладна геометрія досягла певних успіхів у їх розробці, існує низка
прикладних задач, які потребують свого розв’язання. У значній мірі це
стосується аеродинамічних обводів лопаткових машин різного конструктивного
оформлення та цільового призначення: турбін, компресорів, насосів, вентиляторів
тощо, які мають складну геометричну форму.
Криволінійні обводи повинні задовольняти певним умовам, що до них подаються,
наприклад, вони мають проходити через визначені точки, мати задані кути нахилу
дотичних тощо. Функціональні залежності, які описують ці криві, як правило,
повинні дозволяти багатократне диференціювання, їх похідні задовольняти
критеріям неперервності. Не менш важливою характеристикою кривих, що подають
обводи, є неперервність кривини.
В узагальненому вигляді питання геометричного моделювання плоских криволінійних
обводів висвітлене в роботі [142]. Плоским криволінійним обводам, а також
питанням їх моделювання із застосуванням графіків розподілу кривини присвячені
публікації [79, 179].
У цьому розділі пропонується метод геометричного моделювання плоских кривих
ліній, який базується на заданих залежностях їх кривини від довжини дуги.
Залежність кривини дуги від її довжини приймається лінійною, що вимагає
знаходження двох коефіцієнтів рівняння та довжини дуги.
Розглянемо метод побудови плоскої кривої, яка далі буде застосовуватися при
моделюванні середньої лінії профілю лопатки осьового компресора.
Нехай задано лінійний графік розподілу кривини кривої від її довжини (рис.
2.1), який далі для простоти будемо називати елементом кривини. На цьому
рисунку під K розуміється кривина кривої, а S1 і S2 позначають початкове і
кінцеве значення довжини дуги, відповідно.
Оскільки елемент кривини має прямолінійну форму, то будемо задавати його
лінійною залежністю:
K = as + b, (2.1)
де K – кривина кривої;
s – параметр, асоційований з довжиною дуги кривої;
a і b – невідомі коефіцієнти, які підлягають визначенню в процесі моделювання
кривої.
Згідно з роботою [131] для визначення координат точок криволінійного обводу,
поданого за допомогою елемента кривини, потрібно знати довжину кривої S,
розподіл кривини вздовж довжини K(s), координати початкової точки x(0) і y(0)
та кут нахилу дотичної j(0) в цій точці.
Якщо значення кривини в початковій і кінцевій точках відомі, то коефіцієнти
рівняння (2.1) визначаються дуже просто:
; .
За цих умов визначення координати кривої обводу не подає особливих труднощів.
У різних практичних застосуваннях виникає потреба визначати координати точок
криволінійного обводу, якщо відомі координати початкової та кінцевої точок
кривої та кути нахилу дотичних до обводу в цих же точках (рис. 2.2). Однією з
вимог до обводу, що моделюється, є забезпечення неперервності кривини.
У такому випадку для подання обводу можна також застосовувати лінійний елемент
кривини (2.1), але невідомими при цьому будуть початкове K1 і кінцеве K2
значення лінійного елемента кривини (або коефіцієнти a і b) та довжина дуги
кривої S.
Розглянемо криву, яка генерується на базі заданого лінійного елемента кривини
(рис. 2.3). Кут j(0) дорівнює куту нахилу дотичної на початку дуги, j(S) –
наприкінці дуги.
Слід відзначити, що елемент кривини (2.1) визначає тангенс кута нахилу дотичної
j у довільній точці при її переміщенні від початкової до кінцевої точки,
побудованій на базі цього елемента кривини кривої.
Зазначимо, що окремими випадками кривих, побудованих на базі елемента кривини,
можуть бути відрізок прямої лінії довжини (S2 – S1), коли кривина в початковій
K1 і кінцевій K2 точках кривої дорівнює нулю (отже графік кривини збігається з
віссю х), або дугою кола радіуса і довжини (S2 – S1), коли кривина має однакові
значення в указаних точках, відмінні від нуля, тобто K1 = K2. Графік розподілу
кривини при цьому проходить паралельно осі х.
У загальному випадку диференціал дуги ds за відомим значенням кута нахилу до
осі абсцис дорівнює:
Інтегруючи цей вираз, знайдемо кут , який є кутом нахилу дотичної до кривої в
довільній точці:
. (2.2)
З урахуванням того, що кривина змінюється за лінійним законом, вираз для
обчислення кута нахилу дотичної набуде наступного вигляду:
. (2.3)
Знайдемо рівняння кривої, побудованої на базі елемента кривини. З розгляду рис.
2.3 випливає, що
Інтегруванням цих виразів одержимо параметричне рівняння кривої, в якому за
параметр прийнято довжину дуги:
(2.4)
Застосуємо такі позначення:
(2.5)
Тоді рівняння криволінійного обводу набудуть вигляду:
(2.6)
Отримані рівняння (2.4) або (2.6) є рівняннями відомої в математиці кривої –
клотоїди, яка є інваріантною по відношенню до повороту системи координат і
залежить тільки від положення початкової і кінцевої точок.
Параметричне рівняння дуги криволінійного обводу, отримане із застосуванням
елемента кривини, буде мати такий вигляд:
(2.7)
Якщо ж криволінійний обвід починається з точки, яка має нульові координати при
нульовій початковій довжині, то він матиме наступні параметричні рівняння:
З метою підтвердження працездатності розглянутого підходу до геометричного
моделювання криволінійних обводів із застосуванням елемента кривини розроблено
програму розрахунків і візуалізації отриманих р
- Киев+380960830922