РОЗДІЛ 2.
ЕКСИТОННА ФОТОЛЮМІНЕСЦЕНЦІЯ СТРУКТУР З КВАНТОВИМИ ЯМАМИ
2.1. Модель квантової ями і постановка задачі
Розглянемо модельну двохкомпонентну структуру першого роду, що складається з
діелектричної матриці 2 і КЯ товщиною D з напівпровідникового матеріалу 1
всередині цієї матриці. Розрив зон провідності і валентної зони на гетеромежі
напівпровідника з діелектриком в такій структурі формує потенціальну яму
кінцевої глибини для електронів і дірок в області КЯ. Вважаємо, що кристалічна
орієнтація КЯ сприяє реалізації псевдопрямих переходів у випадку непрямозонного
напівпровідника. Для кремнію в якості матеріалу КЯ це означає орієнтацію
гетеромежі КЯ у напрямку типу [1,0,0], оскільки саме в цих напрямках
розташовані найнижчі за енергією Х-долини зони провідності кремнію. Для
характеристики системи використовувались параметри: ізотропні ефективні
електронні маси me1 і me2, ізотропні ефективні електронні маси тяжких дірок mh1
і mh2, діелектричні постійні e1 і e2 і розриви зони провідності і валентної
зони на гетеромежах Ue і Uh.
У випадку КЯ найнижчі за енергією стани екситонів, сформовані важкою діркою
Г-долини і електроном Х-долини зони провідності, описуються огинаючими
хвильовими функціями виду K|| =S?1/2 exp(iK||R||) exp(iK0 ze ) Y(r, ze , zh),
де S ? площа структури, R|| = {X,Y} ? координата центра маси екситона в площині
шару, K|| ? планарний хвильовий вектор екситона, K0 – хвильовий вектор, що
відповідає дну X-долини зони провідності кремнію в поперечному напрямку, ze
(zh) ? електронна (діркова) координата в цьому ж поперечному напрямку,
? відстань між електроном та діркою в площині ями. Хвильова функція Y при
цьому буде розв’язком наступного рівняння Шредінгера:
(2.1)
де ? приведена маса екситона, . Доданки Us(ze) і Us(zh) являються
одночастиковими потенціальними енергіями поля сил зображень, що враховують
самодію електрона і дірки через наведену поляризацію гетеромеж; доданок включає
в себе як пряму кулонівську електрон-діркову взаємодію, так і непряму через
наведену поляризацію гетеромеж, J0 ? функція Бесселя. Доданки Uc(ze) і Uv(zh) є
звичайними потенціальними енергіями методу ефективної маси, що характеризують
розриви зон провідності і валентної зони в квантово-розмірній структурі;
Uc(v)(z) = 0 всередині КЯ (|z|
матеріалі 2, тобто при відсутності розмірного квантування спектру носіїв
заряду.
Енергії самодії і електронно-діркової взаємодії при різному просторовому
положенні носіїв заряду у структурі, що розглядається, можна легко отримати
методом функції Гріна [21,119-121]. Хоча для різних окремих випадків явні
вирази для Us(z), і можна знайти в деяких роботах, ми запишемо їх в загальному
випадку:
при , (2.2)
при , (2.3)
де . В центрі квантового шару .
Що стосується двохчастинкової взаємодії, то у випадку, коли і електрон, і дірка
знаходяться в області бар’єру по один бік від КЯ (тобто, коли і ze і zh>D/2 або
коли і ze і zh<-D/2):
(2.4)
У випадку знаходження електрона і дірки в області бар’єру, але по різні боки
КЯ:
(2.5)
Якщо один заряд знаходиться в області КЯ, а інший за її межами, то Weh прийме
вигляд:
(2.6)
де e = (e1 + e2) / 2. Нарешті, якщо обидва носії заряду знаходяться всередині
КЯ,
(2.7)
де .
Оскільки , то перші складові у виразах (2.4)?(2.7) відповідають за пряму
кулонівську електронно-діркову взаємодію, а наступні ? за опосередковану
взаємодію через полу сил зображень (тобто через наведену поляризацію
гетеромеж).
Розрахунок характеристик основного стану екситона проведемо у квантовій межі,
використовуючи простий вид варіаційної функції з розділеними змінними
повздовжнього і поперечного руху:
, (2.8)
де . Функція з варіаційним параметром a описує відносний планарний рух носіїв
заряду в основному стані екситона, тоді як функції і ? поперечний рух електрона
і дірки в найнижчих енергетичних станах розмірного квантування в рамках моделі
прямокутних потенціальних ям з ефективними висотами бар’єрів і , відповідно.
Енергетичні рівні розмірного квантування Ee і Еh і відповідні хвильові функції
і знаходяться стандартним способом. Для електронів вони є розв’язками наступної
системи рівнянь Шредінгера для модельної прямокутної потенціальної ями:
(2.9)
з використанням граничних умов:
(2.10)
на гетеромежах. Розв’язками (2.9) є і , де і . Енергії Ee відраховуються від
дна зони провідності, зсунутого на величину Us(0), матеріалу 2. Ці енергії
знаходяться шляхом розв’язання трансцендентного рівняння:
. (2.11)
Отже, ce(ze) = ce1(ze) q(|ze|-d/2) + ce2(ze) q(d/2-|ze|) де q ? тета-функція
Хевісайда: q(x)=1 якщо x>0, q(0)=1/2, q(x)=0 якщо x<0. Коефіцієнти ae1 і ae2
визначаються з граничних умов і умови нормування . Для найнижчого значення Ee
величина Us(0) + Ee. дає положення дна найнижчої двовимірної підзони
провідності по відношенню до дна зони провідності об’ємного матеріалу 2.
Діркові функції ch та відповідні їм енергії Eh знаходяться аналогічно
електронним при підстановці замість , mh1(2) замість me1(2) і т.д..
Інтегруючи (2.1) з варіаційною функцією (2.8) повна енергія екситонного
переходу Е запишеться у вигляді , де Ex – енергія зв’язку екситона, і ?
власно-енергетичні зсуви, зумовлені залишковою частиною самодії носіїв заряду .
Для енергії зв’язку отримаємо:
(2.12)
де
. (2.13)
Інтеграл береться аналітично, проте явний вираз буде дуже громіздким і
складним, тому тут не приводиться. Мінімізуючи (2.12), ми отримаємо варіаційне
значення енергії зв’язку екситона.
Інтегрування у виразах для власно-ен
- Киев+380960830922