РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ПОПРАВОК ЗА РЕЛЯТИВІСТСЬКІ ЕФЕКТИ ПІД ЧАС ВИЗНАЧЕННЯ
МІСЦЕПОЛОЖЕННЯ ОБ’ЄКТА ПРИ GPS-СПОСТЕРЕЖЕННЯХ
Користуючись даними, які наведені в параграфі 1.2, виділимо основні поправки за
релятивістські ефекти, в яких максимально повно врахуємо вплив релятивістських
ефектів.
По-перше, при синхронізації атомного годинника супутника із годинником наземної
станції між ними відбувається обмін електромагнітними хвилями. Оскільки при
синхронізації супутник і наземна станція мають різні просторові координати і
перебувають в різних неінерціальних системах відліку, то виникає часова
поправка, пов’язана із поширенням сигналу синхронізації в просторі з
викривленою метрикою [5,6].
По-друге, при отриманні наземним приймачем GPS-сигналу супутник перебуває в
іншій точці простору, порівняно із точкою синхронізації, з іншими метричними
параметрами, в якій хід атомного годинника супутника сповільнюється. При цьому
виникає часова поправка, пов’язана з релятивістською зміною ходу атомного
годинника супутника.
По-третє, відбувається скорочення довжини Лоренца при визначені відстані між
наземною станцією управління та супутником.
І, на кінець, по-четверте, відбувається скорочення довжини Лоренца при
визначенні відстані між GPS-приймачем і супутником.
Перші три з перелічених нами поправок впливають на точність визначення
координат супутника, а тому опосередковано впливають на точність визначення
місцеположення спостережуваного об’єкта. Четверта із перелічених поправок прямо
впливають на точність GPS-спостережень.
Третя і четверта поправки визначаються за однаковими математичними
співвідношеннями. Різниця полягає в тому, що при обчислені третьої поправки
враховуються координати наземної станції управління і супутника, а при
обчислені четвертої поправки – координати супутника і GPS-приймача. Якщо
припустити, що GPS-приймач, як і станція спостереження, розміщені на поверхні
Землі, то ці поправки будуть близькими за величиною.
В цьому розділі ми виведемо формули для обчислення перелічених вище поправок та
побудуємо математичну модель поправок за релятивістські ефекти при визначенні
місцеположення об’єкта за допомогою GPS-спостережень.
2.1. Виведення формул основних поправок за релятивістські ефекти при
GPS-спостереженнях
В цьому параграфі ми виведемо співвідношення для розрахунку поправок за
релятивістські ефекти.
Оскільки система відліку, в якій знаходиться система GPS, неінерціальна
(рухається з прискоренням, обертається) і вона перебуває в гравітаційному полі,
то дані поправки ми будемо визначати в рамках загальної теорії відносності.
В загальній теорії відносності проміжок часу між будь-якими двома подіями в
одній і тій же точці простору, визначається за формулою [5,33]:
. (2.1)
Для врахування часової поправки синхронізації атомних годинників супутника і
наземної станції управління за формулою [8]:
, (2.2)
де [хб(a)] – просторові координати супутника в точці а в момент синхронізації,
[хб(b)] – просторові координати наземної станції управління в точці b (Виберемо
наступну систему позначень: координати взяті в квадратні дужки; в них в круглих
дужках позначається система відліку, верхній індекс вказує на характер
координати. Наприклад б=0 відповідає часоподібній координаті ct; б=1, 2, 3
відповідає просторовим координатам в циліндричній системі координат відповідно
R, ц, z.), с – швидкість світла у вакуумі, g(8)00 g(8)0б – компоненти
метричного тензора в геоцентричній системі відліку {х(8)б} (чотиривимірний
метричний тензор будемо позначати g; нижні індекси вказуємо систему на
конкретну компоненту тензора; в круглих дужках вказується система відліку, для
якої знайдено даний тензор; системи відліку будемо брати в фігурні дужки).
Проміжок часу, який пройшов від моменту синхронізації до передачі сигналу від
супутника до приймача, за годинником супутника визначимо за формулою [5, 6,
33]:
, (2.3)
де х0(б) – часоподібна координата супутника в момент синхронізації, х0(с) –
часоподібна координата супутника в момент отримання GPS-сигналу приймачем.
Часова поправка релятивістської зміни атомного годинника супутника при цьому
може бути визначена за формулою [6, 7]:
, (2.4)
де [х0(а)] – часоподібна координата супутника в точці а в момент синхронізації
атомного годинника, [х0(с)] – часоподібна координата супутника в точці с в
момент спостереження, в геоцентричній нерухомій відносно Землі системі відліку
{х(7)б} і в геоцентричній супутниковій системі відліку {х(8)б}.
Елементарну відстань між двома нескінченно близькими точками простору можна
визначити за формулою [5]:
, (2.5)
де гбв - тривимірний метричний тензор, який дорівнює:
. (2.6)
де gбв (б, в =0,1,2,3), g00, g0б, g0в – компоненти чотиривимірного метричного
тензора.
Зробивши математичні перетворення і проінтегрувавши вираз (2.5), визначимо
псевдовідстань від наземного приймача до супутника:
, (2.7)
де [xб(c)] – просторові координати супутника в точці с в момент спостереження,
[xб(d)] – просторові координати приймача в точці d, г(8)бв – компоненти
метричного тривимірного тензора в геоцентричній системі відліку {х(8)g}.
Порівнюючи величину псевдовідстані (2.7) з аналогічною величиною, обчисленою в
системі відліку {х(7)і}, знайдемо поправку псевдовідстані за релятивістські
ефекти:
, (2,8)
Таким чином, для знаходження поправок за релятивістські ефекти нам необхідно
знайти компоненти метричного тензора в геоцентричній системі відліку та в
геоцентричній системі відліку, що пов’язана з супутником.
2.2. Математична модель метричного тензора, що враховує релятивістське
викривлення простору-часу
При визначенні параметрів метричного т
- Киев+380960830922