РОЗДІЛ 2. СТАЦІОНАРНІ СТАНИ СИСТЕМИ НОСІЇВ ПРИ НАЯВНОСТІ ДРЕЙФОВОЇ НЕСТІЙКОСТІ ТА ОСВІТЛЕННЯ [2*, 6*]
2.1 Вихідна система рівнянь. Стаціонарний
просторово-однорідний стан системи
У загальному випадку знайти аналітичні розв'язки системи рівнянь (1.2) із врахуванням впливу просторової дисперсії освітлення неможливо. Тому розглянемо спочатку спрощений випадок, коли m=0, тобто коли інтенсивність зовнішньої світлової хвилі є постійною I(z,t)=I0=const.
Продиференціювавши рівняння Пуассона у системі (1.2) по просторовій змінній і позначивши
, (2.1)
перепишемо систему (1.2) у вигляді:
(2.2)
Перейдемо у (2.2) до безрозмірних змінних:
, , , , , (2.3)
ввівши такі безрозмірні позначення:
, , , , , , (2.4)
, (2.5)
де , . (2.6)
Тоді система рівнянь (2.2) у безрозмірному вигляді матиме такий вигляд:
(2.7)
де (2.8)
(2.9)
У виразі (2.9) потрібно прийняти до уваги, що величина jП0=f(?), але не залежить від просторової координати x.
Розглянемо спочатку просторово-однорідний стаціонарний розв'язок (2.7), коли m=0, а ?, x ??.
Легко показати, що рішення (2.7) у цьому випадку мають вигляд:
(2.10)
, (2.11)
де індекс "0" біля незалежних змінних засвідчує їх приналежність до стаціонарного просторово-однорідного стану системи, а при записі (2.11) враховувалося, що заданим є струм провідності j0.
Якщо відома напруга V на батареї, то рівняння для визначення y30 зміниться і буде залежати від параметрів зовнішнього електричного кола. Слід відзначити, що рівняння (2.11) відносно y30 може мати більш, ніж один розв'язок, оскільки функція ?(y30) є складною функцією y30 (див. формулу 2.8). Проте, із усіх цих розв'язків фізичний зміст матимуть лише корені, що відповідають умові y30 > 0.
Із (2.10) і (2.11) слідує, що стаціонарний просторово-однорідний стан досліджуваної системи визначається, в основному, величинами керуючих параметрів а (інтенсивності освітлення) та b (концентрації легуючої домішки), а також напруженості зовнішнього електричного поля y30. Зауважимо, що при відсутності освітлення (а=0) із (2.10) слідує, що y10(а=0)? ? y10(0)=1, y20(0)=0. Це означає, що у формулі (2.10) вираз для y20 відповідає концентрації збуджених світлом електронів у зоні провідності, які утворилися в результаті переходу типу глибокий донорний рівень - зона провідності.
Зрозуміло, що в залежності від співвідношення між величинами керуючих параметрів даний стан може втрачати свою стійкість.
2.2 Умови стійкості стаціонарних просторово-однорідних розв'язків
Будемо використовувати лінійну теорію стійкості Ляпунова [85-86], надавши стаціонарним просторово-однорідним розв'язкам невеликі збурення:
y1=y10+?y1, y2=y20+?y2, y3=y30+?y3, ?yі<< yі0. (2.12)
Природа цих збурень може бути різноманітною. Зокрема, в напівпровідниковому зразку завжди існують розташовані випадковим чином неоднорідності в розподілі концентрацій, наприклад, легуючої домішки і електричного поля, або зумовлені наявністю дефектів кристалічної гратки. Ці неоднорідності можуть бути спричинені також контактами, границями розподілу поверхонь та іншим. В умовах термодинамічної рівноваги або близьких до них ці неоднорідності екрануються так, що їх вплив суттєвий лише в прилягаючих до неоднорідностей областях з лінійними розмірами порядку дебаєвського радіусу екранування. Якщо останні малі в порівнянні з довжиною зразка, то наявність неоднорідностей при їх хаотичному розташуванні в просторі виявляється несуттєвою. Проте в умовах досить далеких від стану термодинамічної рівноваги, сама можливість екранування не є очевидною, оскільки вільні носії, що приймають участь в екрануванні неоднорідності, разом з тим приймають участь і у перенесенні струму і можуть ним захоплюватися. В результаті випадкова неоднорідність може збільшитися до макроскопічних розмірів і таким чином привести до втрати стійкості однорідного розподілу. Система буде стійкою по відношенню до випадкової неоднорідності, якщо створені цією неоднорідністю поля або густини зарядів будуть спадати за абсолютною величиною з віддаленням від неоднорідності.
Будемо рахувати, що струм та освітленість такі ж, як і у стаціонарному стані. Підставляючи (2.12) у систему рівнянь (2.7) і лінеаризуючи її звичайним чином [83], отримаємо систему рівнянь відносно невеликих збурень:
(2.13)
Характеристичне рівняння, що відповідає системі рівнянь (2.13), має вигляд:
(2.14)
де
. (2.15)
Кубічне характеристичне рівняння (2.14) у загальному випадку може мати три дійсних, або один дійсний і два комплексних корені [83].
Достатні умови стійкості розв'язків рівняння (2.14) виражаються критеріями Рауса-Гурвіца [84]: (2? + ?) > 0, ?(? +2?)>0 та ? 2? >0. Якщо хоч одна із цих умов порушується, то розв'язки (2.10) і (2.11) є нестійкими. Критерії стійкості за Ляпуновим [85-86] зводяться до наступного:
- якщо всі корені характеристичного рівняння (2.14) мають від'ємну дійсну частину, то рівноважний стан є асимптотично стійким;
- якщо хоча б один корінь (2.14) має додатню дійсну частину, то рівноважний стан нестійкий;
- якщо рівняння (2.14) не має коренів з додатною дійсною частиною, а є чисто уявні корені, то має місце критичний випадок, при якому стійкість розв'язків залежить від виду функції, якою нехтується при лінеаризації досліджуваної системи рівнянь.
Можна показати, що розв'язки рівняння (2.14) є наступними:
. (2.16)
Із (2.16) видно, що S3 завжди менше нуля. В той же час двічі вироджений корінь S1,2 може бути додатнім, якщо . У цьому випадку
вольтамперна характеристика має ділянку з від'ємною залежністю j(E) і розв'язки (2.10), згідно з умовами стійкості Ляпунова, є нестійкими.
Діаграму стійкості стаціонарного просторово-однорідного