РОЗДІЛ 2
УЗАГАЛЬНЕНА МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ПРОЦЕСУ БУРІННЯ ТА ІДЕНТИФІКАЦІЯ ЇЇ ПАРАМЕТРІВ
2.1. Узагальнена математична модель процесу буріння
Для вирішення задачі оптимального керування процесом буріння нафтових і газових
свердловин з дискретно-неперервною зміною керувальних дій математичну модель
процесу буріння необхідно отримати у просторі станів. Для цього необхідно мати
інформацію про проходку на долото та про стан його озброєння і опор.
Емпіризм математичних моделей зношення опор долота, невимірюваність параметрів,
що входять в них, вузька область застосування є їх суттєвими недоліками . Ці ж
недоліки є і у моделях зарубіжних авторів, тому використання математичних
моделей, розроблених в США, у вітчизняній практиці не дало очікуваного
результату. Вони складені для умов, далеких від практики буріння в Україні і
пристосовані до доліт власного виробництва.
Стан озброєння долота будемо оцінювати опосередковано через зміну швидкості
буріння в часі [44]
, (2.1)
де – початкова швидкість буріння;
– функція зношення озброєння долота.
Рівняння (2.1) у [44] названо узагальненою математичною моделлю механічної
швидкості проходки процесу буріння свердловини.
Для опису зміни швидкості проходки для різних умов буріння Бадаловим була
запропонована така залежність [7]:
, (2.2)
де - інтенсивність зношення долота;
- ціле додатнє число, .
Продиференціюємо рівняння (2.1) за змінною
. (2.3)
Прирівняємо між собою праві частин рівнянь (2.2) і (2.3). У результаті
отримаємо
Значення , яке визначається рівнянням (2.1) підставимо в останнє рівняння. Тоді
. Із останнього рівняння знаходимо, що
. (2.4)
Рівняння (2.4) дає можливість визначити функцію зношення озброєння долота при
початковій умові
. (2.5)
Для будемо мати
, (2.6)
де , а для
. (2.7)
Для отримаємо таку залежність
Аналізуючи найбільш поширені математичні моделі процесу буріння [2, 6, 17, 50,
54, 63, 90, 105, 124, 141, 155], знаходимо, що узагальнена модель охоплює
залежності, що відображають функцію зношення озброєння долота при .
Отже, нехай . Тоді
, (2.8)
де .
Нарешті при маємо
, (2.9)
де .
Таким чином, щоб отримати математичну модель для різних умов буріння необхідно
в узагальнену модель (2.1) замість підставити одне із його значень, що
виражається формулами (2.6) – (2.9).
Залежно від умов буріння, типу долота, різні дослідники описували процес
буріння нафтових і газових свердловини однією із можливих моделей, що витікають
із (2.1). Наприклад, залежність (2.8) отримана авторами роботи [44] для трьох
шарошечних доліт з призматичними зубами при висунутій гіпотезі, що швидкість
об'ємного зношення зубів долота є незмінною у часі величиною.
Такий спосіб є суб’єктивним бо тут часто вирішальну роль відіграє інтуїція
дослідника або апріорні допущення, один із прикладів яких наведений вище.
Поставимо таку задачу. Використовуючи результати спостережень за проходкою на
долото h(t), вибрати з узагальненої моделі (2.1) ту, яка найкраще апроксимує
експериментальні значення h(t) [38, 70]. Тоді задача буде зведена до розробки
способу визначення параметрів моделі (2.1) з врахуванням рівнянь, які описують
функцію зношення озброєння долота за формулами (2.6) – (2.9). Для її рішення
можна використати оцінку дисперсії відхилень розрахункових значень h(ti),
обчислених для моментів часу ti (i=1, 2, ..., N, де N – кількість
експериментальних значень), від експериментальних Hi за методом найменших
квадратів
Враховуючи, що Vt=dh(t)/dt i h(0)=0, знайдемо h(t) для узагальненої моделі
(2.1) при різних рівняннях функції зношення (2.6) – (2.9).
Для m=0 будемо мати
Інтегруючи останнє рівняння, будемо мати
Звідси отримаємо
Виконуючи аналогічні дії при значеннях m=1,2,3, знаходимо рівняння проходки на
долото для інших моделей.
В табл. 2.1 для найбільш розповсюджених залежностей механічної швидкості
проходки: лінійної (модель А), експоненціальної (модель В), гіперболічної
(модель С) та кореневої (модель D), наведені результати обчислень .
Таблиця 2.1
Моделі процесу буріння свердловин
№
п/п
Значення т
Назва моделі
Модель
Рівняння для h(t)
B
4
Для вирішення задачі оптимізації математичну модель процесу буріння необхідно
подати в просторі станів [39]. Координатами такого простору станів виберемо
поточне значення проходки на долото і оцінку стану озброєння долота, яку
визначимо [120] як відношення початкової швидкості проходки v0 до поточної vt
(за винятком моделі з m=0, для якої оцінка стану озброєння долота визначена як
відношення поточної швидкості проходки vt до початкової v0).
Наприклад, для m=0 матимемо о=vt/v0=1-KRt. Тоді, відповідно,
Нехай т=1. Тоді і . Оскільки , то . Отже,
Тепер допустимо, що т=2. В роботі [44] було розглянуто цей випадок і введене
таке позначення е=Kеt+1. Візьмемо похідну від лівої і правої частин останньої
рівності
Враховуючи те, що , отримуємо
І нарешті т=3. Позначимо ж=Кqt+1. Тоді . Запишемо
Величини , , і можна використати для опосередкованої оцінки стану озброєння
доліт. Для моделі А із рівняння випливає, що ; для моделі В і відповідно ;
аналогічно для моделі С і нарешті для моделі D . Звідси .
Результати досліджень зведемо в табл. 2.2.
Таблиця 2.2
Математичні моделі процесу буріння свердловин у просторі станів
Назва моделі
Модель в просторі
станів
Оцінка стану озброєння долота
; ;
;
; ;
; ;
Аналіз табл. 2.2 показує, що можна ств