Раздел 2
ПОЛУЧЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ
2.1. Уравнения для корреляционных функций, порождающих эволюционно
представимые нестационарные случайные процессы
Мы изучаем случайный процесс как кривую в гильбертовом пространстве Н,
воспроизводящим ядром которого является корреляционная функция [34].
Поскольку ядро по сути определяет кривую в гильбертовом пространстве Н, то
характерные свойства проявляются в свойствах . Изучим случайные процессы в Н,
порождаемые задачей Коши [44]:
(2.1)
При определенных ограничениях на A(t), которые удобно формировать в терминах ,
можно провести анализ случайного процесса [46, 63]. В прикладных задачах часто
приходят к уравнениям в частных производных для корреляционной функции . В
связи с этим представляют интерес классы нестационарных эволюционно
представимых случайных процессов, порождаемых уравнениями для корреляционной
функции, при этом для оператора получаются нелинейные эволюционные операторные
уравнения. Решение этих уравнений в явном виде позволяет получать новые
спектральные разложения некоторых классов нестационарных случайных кривых.
2.1.1. Пусть корреляционная функция удовлетворяет уравнению
, (2.2)
где – вещественная постоянная величина.
Вычислим представление для функции когда случайный процесс имеет вид (1.22):
(2.3)
Поскольку для всякого ограниченного линейного оператора существует
единственный сопряжённый к оператору оператор , такой, что при любых и
выполняется равенство[56]:
, (2.4)
а из свойства скалярного произведения на комплексном линейном пространстве
, (2.5)
где – комплексное число, то формула (2.3) принимает вид:
Таким образом, для выражения (2.2) имеем:
или
. (2.6)
Так как не существует функции, ортогональной всем функциям системы в
пространстве , то эта система функций является полной в данном пространстве.
Следовательно, для выполнения условия (2.6) необходимо чтобы:
. (2.7)
В силу линейности оператора [41]:
Если является собственным значением оператора кратности , то – собственное
значение сопряжённого оператора той же кратности [61]. Тогда:
Таким образом, спектр оператора лежит на положительной полуоси и уравнение
(2.7) может иметь решение лишь при , причем если a=0, то оператор A=0 (в этом
случае корреляционная функция ).
Введем новый оператор :
. (2.8)
Тогда
Значит оператор – изометрический оператор и, следовательно, [17]
.
В силу выше изложенного, оператор отображает пространство на все пространство
целиком, то есть оператор является унитарным [17]. Любой унитарный оператор
допускает спектральное разложение [41]
, (2.9)
где – спектральное семейство, заданное на отрезке .
Мы можем теперь найти явный вид стохастического процесса в терминах
спектрального разложения оператора :
Воспользуемся разложением экспоненты в ряд Тейлора [41]:
. (2.10)
Теперь нам нужно выяснить какой вид имеет оператор .
В общем случае, пусть оператор U – унитарный оператор в пространстве .
Рассмотрим разбиение отрезка [0, 2p] точками
удовлетворяющее условию . Выберем в каждом из интервалов произвольную точку .
Из определения спектральной функции следует, что операторы для любого интервала
есть операторы проектирования [24]. Поскольку интервалы попарно не
пересекаются, то
, .
Таким образом, проекционные операторы взаимно ортогональны, поэтому для любого
целого
следовательно,
Воспользуемся полученной формулой и вернемся к выражению (2.10)
Обозначим
. (2.11)
Тогда
В пространстве скалярное произведение вычисляется по формуле (1.91). Значит, ,
где .
Учитывая, что , получим окончательный результат: .
Таким образом, мы можем сформулировать критерий представления корреляционной
функции [81].
Для того чтобы функция являлась корреляционной функцией случайного процесса в
пространстве () необходимо и достаточно, чтобы она имела вид
где – неубывающий функционал ограниченной вариации.
Покажем, что рассматриваемый выше случай соответствует некоторому
колебательному процессу. Пусть – самосопряжённый оператор, имеющий вид
, (2.12)
где – некоторая постоянная величина.
Тогда - двумерный вектор в пространстве . Координаты удовлетворяют следующей
системе уравнений:
, (2.13)
Система (2.13) может быть представлена в виде уравнения
, (2.14)
решением которого является случайный процесс (1.22). Если ввести координаты , ,
тогда и мы получаем простой пример – уравнение колебаний осциллятора: .
Поскольку, оператор ввели как самосопряжённый оператор, то выражение (2.7)
примет вид
. (2.15)
Подставляя в выражение (2.15) представление для оператора (2.12) получим:
. (2.16)
Следовательно . Тогда корреляционная функция данного случайного процесса
удовлетворяет уравнению, которое получаем из формулы (2.2)
. (2.17)
2.1.2. Пусть удовлетворяет уравнению
. (2.18)
Для эрмитовой неотрицательности функции предположим, что . Из определения
(1.16) для корреляционной функции и представления (1.22) для случайного
процесса имеем:
(2.19)
(2.20)
Тогда получаем соотношение
. (2.21)
Обозначая , получаем .
В том случае, когда B(t) не зависит от t, из (2.21) следует, что , а для A(t)
получаем операторное уравнение Риккати [63]:
. (2.22)
Учитывая предыдущие предположения, для случайного процесса имеем:
. (2.23)
Из формулы (2.22) для случайного процесса получаем дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянным операторным коэффициентом
. (2.24)
Если воспользоваться спектральным разложением и искать решение уравнения (2.22)
в виде
, (2.25)
то для функции получаем скалярное уравнение Риккати [8]
(2.26)
решение которого имеет вид и,
- Киев+380960830922