РОЗДІЛ 2
ЗАДАЧА УТРИМАННЯ НА ПІВВІСІ
Розглянемо диференціальну гру, яка описується динамікою
(2.1)
де , , ; – -вимірний евклідовий простір, та – компакти в евклідових просторах.
Функція задовольняє низці умов, які забезпечують існування, продовжуваність,
єдність траєкторії та компактність пучка траєкторій:
– неперервна за сукупностю змінних та локально ліпшицева за ;
існує константа така, що для всіх , , ;
множина опукла для всіх , .
Звернемо увагу на гру з фіксованим часом закінчення за умови . В цьому випадку
мета гравця полягає в тому, щоб утримати траєкторію динамічної системи на
множині на всьому інтервалі . Така задача утримання є частинним випадком задачі
наближення-ухилення з фіксованим часом закінчення.
Допустимими керуваннями гравців і є вимірні функції зі значеннями в та ,
відповідно.
Гра ведеться в -стратегіях або в вольтерівських відображеннях. При -стратегіях
гравець вибирає в початковий момент розбиття
відрізку . В кожний момент гравець , що знає , вибирає допустиме керування , .
Гравець в кожний момент часу знає і керування , , та вибирає своє керування ,
.
Коли гравець будує своє керування за допомогою вольтерівських відображень, то
він для вибору використовує інформацію про та всю попередню історію , .
Будемо розглядати більш складний випадок, коли мета гравця полягає в тому, щоб
утримати траєкторію на множині на всій піввісі .
Нехай – замкнена множина, яку будемо називати термінальною. Мета гравця –
домогтися включення , , використовуючи ті або інші стратегії. Мета гравця –
протилежна.
2.1. Стратегії гравців
У роботі [56] описуються різні класи динаміки гравців. Зокрема, це -стратегії
та вольтерівські відображення.
Покладемо . Множина описує множину всіх початкових позицій, з яких гравець може
утримати траєкторію на множині на всьому інтервалі .
Оскільки в задачі утримання процес гри розглядається на всій піввісі , а в
[56] тільки на скінченних відрізках, то опишемо -стратегії для даного випадку.
Для цього дамо опис ходу гри на піввісі . У початковий момент часу гравець
обирає розбиття піввісі . При цьому розбиття не має точок згущення. У кожен
момент часу гравець знає фазові координати та вибирає своє керування , .
Гравець в той же момент знає та , , і вибирає своє керування , . Далі
підставляємо функції , у (2.1) та знаходимо розв’язок рівняння (2.1). Оскільки
функція неперервна та задовольняє умову Ліпшиця, то ії можна подовжити на
відрізок та знайти нову точку .
Покладемо . Множина є множиною всіх початкових позицій, з яких гравець може
утримати траєкторію на множині на всій піввісі .
Якщо , то інтерес становить задача знаходження максимального такого, що для
всіх .
Далі вважаємо, що – траєкторія системи (2.1) з початком в , яка відповідає
керуванням та гравців та , що будуються за відповідними -стратегіями.
Використовуючи методи роботи [56], отримуємо наступні результати.
Теорема 2.1. Нехай . Тоді для будь-якого існує -стратегія гравця така, що для
будь-якої -стратегії гравця виконується включення для всіх .
Доведення.
Нехай . Із теореми 1.8 випливає, що, якщо , то гравець , користуючись
-стратегіями, може домогтися того, що для відповідної траєкторії виконуються
включення , для всіх .
В нашому випадку це означає, що за умови гравець , користуючись -стратегіями
може добитися для відповідної траєкторії виконання включення , для всіх .
Враховуючи формулу , маємо, що для будь-якого існує -стратегія гравця така, що
для будь-якої -стратегії гравця виконується включення для всіх .
Теорему доведено.
Теорема 2.2. Нехай . Тоді існує момент часу та -стратегія гравця такі, що для
будь-якої стратегії гравця існує момент такий, що .
Доведення.
Нехай . Як було доведено в теоремі 1.8, якщо , тоді існує така -стратегія
гравця , що за будь-якої стратегії гравця для відповідної траєкторії з початком
в справедливі твердження: або , або для деякого . Звідси маємо, що, якщо , то
тоді для .
Отже, із формули випливає, що існує момент часу та -стратегія гравця такі, що
для будь-якої стратегії гравця існує момент такий, що .
Теорему доведено.
Вище було показано, що в деяких випадках . В цьому разі теорему 2.1 можна
посилити.
Наслідок 2.1. Нехай та . Тоді існує така -стратегія гравця , що для будь-якої
стратегії гравця виконується включення для всіх .
Опишемо вольтерівські відображення, які застосовуються для опису стратегії
гравця .
Вольтерівське відображення ставить у відповідність кожному керуванню , гравця
керування , : . При цьому повинна виконуватись умова: якщо для-будь якого , ,
то для . Тут . Наведена умова зветься умовою причинності.
Теорема 2.3. Нехай . Тоді існує вольтерівське відображення таке, що для
будь-якого та виконується включення для всіх .
Доведення.
Використовуючи теорему 1.5 та формулу для розрахунку множини , отримуємо
результат теореми.
Теорему доведено.
Наслідок 2.2. Справедливе твердження наслідка 2.1, якщо гравець замість
-стратегій використовує вольтерівські відображення.
2.2. Лінійна гра з простою матрицею
В даному випадку динаміка гри описується рівнянням
де – число.
Розглянемо випадок, коли – опукла компактна множина, , , , , , .
В цьому разі отримуємо:
Звідси
Для тих , для яких функція , множина має вигляд:
Нагадаємо, що . Оскільки , то множини , , вкладені одна в одну. Тому для
одержання необхідно знайти мінімум функції . Візьмемо похідну .
Якщо , то функція не спадає. Тому її мінімум знаходиться в точці . Оскільки ,
то отримуємо .
Якщо , то функція спадає. Оскільки , а функцію можно записати у вигляді
то, враховуючи, що , одержимо .
Отже, в даному випадку можна розглянути задачу знаходження максимального , при
якому . Для цього достатньо знайти корінь рівня
- Киев+380960830922