РОЗДІЛ 2. СИСТЕМИ З КВАДРАТИЧНОЮ ПРАВОЮ ЧАСТИНОЮ.
При дослідженні стійкості нелінійних систем загальноприйнятими є декілька
підходів. Першим є лінеаризація в околі стану рівноваги і дослідження стійкості
за лінійним наближенням. Цей підхід простий і часто використовується в
практичних дослідженнях. Недоліком є, по-перше неможливість оцінки областей
стійкості і, по-друге, існування критичних випадків, тобто, існування в матриці
лінійного наближення коренів з нульовою дійсною частиною.
Дослідження критичних випадків було дуже поширене в 30-50 роки двадцятого
сторіччя. В роботах М.Г.Четаєва, І.Г.Малкіна, І.В.Каменкова та ін. було
проведено детальний аналіз і визначено умови стійкості в критичних випадках.
При одержанні умов стійкості (чи нестійкості) використовується теорема про
неявні функції. Це означає, що треба розв’язувати систему нелінійних рівнянь. І
навіть для систем з квадратичною правою частиною великої розмірності це
практично неможливо.
В розділі при дослідженні стійкості нульового розв’язку системи з квадратичною
правою частиною у критичних випадках існування одного нульового власного числа
і пари чисто уявних власних чисел використовується метод квадратичних функцій
Ляпунова. Одержані достатні умови стійкості, які у двовимірному випадку
співпадають з існуючими.
Окремо розглянута система з чисто квадратичною правою частиною. Приведені
необхідні і достатні умови існування інтегралу квадратичного вигляду. Якщо
матриця квадратичної форми інтегралу є додатно визначеною, то нульовий
розв’язок системи буде стійким за Ляпуновим.
§ 2.1. СТІЙКІСТЬ КВАДРАТИЧНИХ СИСТЕМ З ОДНИМ НУЛЬОВИМ ВЛАСНИМ ЧИСЛОМ НА ПЛОЩИНІ
ТА В ТРЬОХВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ
Багато проблем в біологічих , медичних та інших науках приводять до дослідження
систем , що описані за допомогою звичайних диференціальних рівнянь з
квадратичними правими частинами (наприклад [10,27,28,96]). Нульовий розв’язок
системи з квадратичними правими частинами в випадку наявності нульового
власного числа матриці відповідної лінійної частини є, взагалі кажучи,
нестійким. Цей ефект виникає вже в скалярному випадку. Наприклад, тривіальний
розв’язок простого скалярного рівняння
є нестійким, оскільки розв’язок з початковими умовами , що записується
формулою
має , в випадку , границю .
Як відомо, випадки, коли між власними значеннями матриці відповідного лінійного
наближення є по меншій мірі одне нульове власне число або пара чисто уявних
власних чисел, а інші власні числа мають від’ємні дійсні частини, називаються
критичними. Тоді стійкість чи нестійкість не може бути встановлена лінійним
наближенням.
В даному параграфі розглядаються системи з квадратичною правою частиною на
площині та в трьохвимірному просторі, лінійна частина яких має одне нульове
власне значення. За допомогою векторно-матричного апарату системи записуються в
уніфікованому вигляді. Наведено достатні умови стійкості нульового розв’язку ,
отримано оцінку області стійкості. Зазначені частини квадратичних складових, що
погіршують стійкість нульового розв’язку.
2.1.1. Системи на площині.
Розглянемо систему на площині. Нехай матриця лінійної частини має власні числа
. Тоді систему завжди можна привести до вигляду
. (2.1)
Візьмемо квадратичну функцію Ляпунова: . Її повна похідна в силу системи (2.1)
має вигляд :
Достатньою умовою не додатновизначеності повної похідної в деякому околі
початку координат є виконання рівностей
. (2.2)
Звідси випливає, що функцію Ляпунова належить брати у блоковому вигляді . Ії
повна похідна матиме вигляд :
Оскільки , то в деякому околі стану рівноваги повна похідна недодатна.
Розглянемо наступні випадки :
1.1 Нехай Тоді за , можемо брати будь-які додатні числа. Поклавши , отримаємо ,
що область стійкості містить еліпс
, , , .
1.2 Нехай . Тоді для виконання умов (2.2) необхідно , щоб , але це неможливо в
силу додатної визначеності V(x,y).
1.3 Нехай . Аналогічно попередньому випадку, для виконання (2.2) необхідно
виконання умови , що неможливо.
1.4 Нехай . Тоді, поклавши , отримаємо, що повна похідна має вигляд
.
Звідси , при умовою стійкості нульового розв’язку є виконання співвідношення
, . (2.3)
При цьому область стійкості містить внутрішність еліпса , який є поверхнею
рівня функції Ляпунова
,
, .
Таким чином на стійкість найбільш сильно впливає останній квадратичний член при
другому рівнянні та коефіцієнти .
2.1.2 Системи у трьохвимірному просторі
Розглянемо систему трьох диференціальних рівнянь:
, , . (2.4)
Покажемо , що на стійкість впливають коефіцієнти , аналогічні отриманим для
системи на площині.
Введемо наступні позначення :
, , , ,
, , ,
, ,
, , , (2.5)
, , , , , ,
, .
- екстремальні значення відповідних матриць.
Справедливе наступне твердження.
Теорема 2.1. Нехай існує симетрична додатно визначена матриця H , при якій
матриця також додатно визначена та виконуються умови
, . (2.6)
Тоді нульовий розв'язок системи (2.4) стійкий за Ляпуновим та область стійкості
містить еліпсоїд
,
. (2.7)
Доведення. Використовуючи позначення (2.5) , систему (2.4) запишемо у вигляді :
,
або у вигляді :
, (2.8)
де
,
, , (2.9)
Для доведення стійкості і отримання оцінок області стійкості скористаємося
другим методом Ляпунова. Виберемо функцію Ляпунова у вигляді блокової
квадратичної форми
Її повна похідна в силу системи має вигляд :
,
, .
Використовуючи позначення (2.9) , отримаємо:
Тому для повної похідної функції маємо вираз:
Розглянемо кожен з доданків окремо.
1) Якщо матриця А асимптотично стійка , тоді завжди існує додатно в
- Київ+380960830922