РОЗДІЛ 2. РОЗРОБКА ТА АНАЛІЗ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ
ІНВЕСТИЦІЙНОГО МЕНЕДЖМЕНТУ
2.1. Аналіз математичних моделей побудови портфеля оптимальної структури
обтяжених ризиком цінних паперів.
Однією з важливих проблем інвестиційного менеджменту є проблема оптимального
розподілу обмежених фінансових ресурсів інвестора, яка має назву “вибір
портфеля цінних паперів” [113].
Нехай: – вектор, що визначає ціни обтяжених ризиком ЦП, що обертаються на
фондовому ринку країни; – вектор очікуваних середніх значень компонент вектора
; – коваріаційна матриця, .
На основі цього, відповідно позначимо математичне сподівання та ризикованість
окремого ЦП [60,113]:
Нехай – вектор, що належить множині LN:
Сумарною вартістю портфеля цінних паперів будемо називати величину Р:
Компоненти вектора у прийнято називати ваговими коефіцієнтами цінних паперів в
портфелі ЦП [75, 113].
Математичне сподівання, яке виражає очікувану прибутковість, та дисперсія, яка
виражає ризикованість, портфеля ЦП будуть, відповідно [60]:
де верхній індекс означає транспонування.
Задача формування структури портфеля ЦП полягає у виборі вектора , для якого
виконується сформульований інвестором критерій якості і який задовольняє
відповідним обмеженням [85, 86, 113].
Для порівняння випадкових величин, вводиться міра ризику , тобто відображення з
деякої множини випадкових величин (або множини їх розподілів ) в простір
дійсних чисел [60]:
Міра ризику портфеля ЦП при цьому буде функцією вектора вагових коефіцієнтів :
Таким чином, задача оптимального вибору портфеля ЦП в загальному вигляді може
бути сформульована так [113]:
(2.1.1)
Деталізація постановки даної задачі передбачає введення додаткових обмежень,
які можуть бути обумовлені специфікою задачі.
Позначимо: , тоді множина може бути записана у вигляді: Коваріаційна матриця є,
як відомо, симетричною і додатно-визначеною [60], при цьому існує обернена ,
теж додатньо-визначена [113].
В багатьох задачах оптимізації структури портфеля ЦП вагові коефіцієнти повинні
бути додатні (у фінансовому менеджменті це прийнято називати інвестування з
покриттям) [111], тому, оптимізаційну задачу (2.1.1) будемо розглядати на
підмножині множини :
Множину інколи називають стандартним симплексом в . При розв’язанні багатьох
задач інвестиційного менеджменту інколи виникає необхідність у побудові
рівномірного розподілу на . Одним із методів такого моделювання є перетворення
рівномірного розподілу на одиничному гіперкубі у бажаний [75].
На множині випадкових величин із визначеним другим моментом: , в якості міри
ризику можна вибрати дисперсію випадкової величини [60]:
Позначимо – дисперсію випадкової величини, яка має функцію розподілу , що
задана на множині розподілів , тоді:
Дисперсію, як міру ризику, необхідно мінімізувати і задача (2.1.1) буде мати
вигляд:
(2.1.2)
Розв’язок даної задачі можна знайти за допомогою методу множників Лагранжа:
Прирівнявши частинні похідні функції Лагранжа до нуля, з першого рівняння
системи отримаємо:
Підставимо це значення в друге рівняння системи і знайдемо значення :
Отже, запишемо оптимальний розв’язок задачі (2.1.2):
(2.1.3)
Значення математичного сподівання та дисперсії на оптимальному розв’язку будуть
відповідно [75]:
Ця задача аналогічна класичній задачі Марковиця [113, 123], в якій очікувана
прибутковість портфеля ЦП фіксується на певному рівні .
Отже, сформулюємо задачу мінімізації дисперсії портфеля ЦП [127]:
(2.1.4)
Для розв'язання сформульованої вище задачі також можна застосувати метод
множників Лагранжа:
де
Отже, залежність оптимального розв’язку від параметра задачі – лінійна.
Дисперсія портфеля ЦП на оптимальному векторі :
(2.1.5)
Залежність оптимального для інвестора значення ризику від очікуваної
прибутковості - квадратична. Мінімальне значення для рівняння (2.1.5):
Оптимальний ваговий вектор , який відповідає у цьому випадку і він повністю
співпадає із розв’язком задачі (2.1.2).
Слід відмітити також, що
тобто, вектор лежить у гіперплощині , а вектор – паралельний .
Множина точок площини , які пов’язані співвідношенням (2.1.5) при , має назву
“ефективна границя” [113, 123]. Точки цієї множини відповідають портфелям, що
мають мінімальну дисперсію при заданій очікуваній прибутковості, або,
еквівалентно, максимальну очікувану прибутковість для заданого рівня дисперсії
.
Це твердження ще відомо як теорема Марковиця про ефективну множину [123]:
“Інвестор повинен вибрати свій оптимальний портфель ЦП із множини портфелів,
кожен із яких:
* Забезпечує максимальну очікувану прибутковість для певного рівня ризику.
* Забезпечує мінімальний ризик для певного значення очікуваної прибутковості.
Набір портфелів, який задовольняє цим двом умовам, зветься ефективною множиною
(efficient set), або ефективною границею.”
Допустима множина (feasible set) - множина можливостей, з яких може бути
виділена ефективна множина. Допустима множина являє собою всі портфелі, які
можуть бути сформовані із групи цінних паперів. Ці портфелі знаходяться або на
границі, або всередині допустимої множини (множина на Мал.2.1.1). Отже,
ефективна множина (efficient set) у цьому випадку - множина . Портфелі ЦП, що
належать множині , мають назву ефективних (efficient portfolios) і саме із них
інвестор повинен вибрати оптимальний для себе. Всі інші досяжні портфелі є
неефективними портфелями (inefficient portfolios) і тому їх можна ігнорувати.
Мал. 2.1.1.
Оптимальний портфель (optimal portfolio), за Марковицем, інвестор визначає за
допомогою методу кривих байдужості [113, 123]. Криві байдужості відображають
відношення інвестора до
- Київ+380960830922