РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ СХЕМЫ И ПРИНЦИПЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЕЙ
2.1. Обоснование принципов построения математических моделей электромагнитных вибрационных стендов
Известно, что для решения задач, связанных с анализом динамики исследуемых объектов, необходимо осуществить математическое описание этих объектов. В рассматриваемом случае таким объектом является электромеханическая система, представленная в данной работе как испытательный электромагнитный вибрационный стенд (ЭМВС) или система электромагнитного возбуждения вибраций и ударов. Особенностью математического моделирования электромеханических (в нашем случае электромагнитных) возбудителей вибрации является наличие как механических элементов (упругие элементы, демпферы и массы), так и электрических цепей (катушки возбуждения, подмагничивания). Математическое описание исходит из соображений автоматического управления испытательными стендами и системами воспроизведения вибраций и ударов. Управляющим воздействием предполагается электрический сигнал. Поэтому система уравнений, описывающих динамику системы, должна исходить из условий преобразования электрических сигналов в параметры движения платформы стенда.
Задача определения уравнений динамики вибрационного стенда основывается на составлении системы уравнений Лагранжа для соответствующих обобщённых координат rj [15,18]. Такими координатами являются перемещения хj элементов стенда, испытуемых изделий и электрический заряд q, который создает ток управления Iпс подвижной системой стенда.
В системе вибрационного стенда при его работе действуют внешние, потенциальные и диссипативные силы, соответствующие обобщённым координатам rj. При наличии этих сил уравнение Лагранжа в независимых координатах rj имеет вид:
где L ? функция Лагранжа, равная разности кинетической Т и потенциальной П энергий; Qrj ? обобщенные силы, соответствующие координатам rj, (Frj - внешние силы, приложенные к системе вибрационного стенда по цепи соответствующих координат rj; Фrj - силы активного сопротивления или диссипативные силы, действующие по цепи соответствующих координат rj).
Раскроем сущность слагаемых в уравнении (2.1). Кинетическая энергия Т (rj) в аналитической форме представляет собой квадратичную функцию скоростей координат rj
где тij - коэффициенты инерции (тij= тji)
Потенциальная энергия П(rj) существует в системе вибрационного стенда при условии, что координаты rj?0, и в этом случае её аналитическая запись представляет собой положительно определённую квадратичную форму относительно координат rj:
где сij - коэффициенты упругости (жёсткости)
В задачах механики в случаях малых колебаний диссипативные силы Фrj линейно зависят от скоростей координат rj, то есть
где D - диссипативная функция Рэлея.
Структура функции D аналогична структуре функции кинетической энергии. Формально она может быть получена из уравнения кинетической энергии заменой коэффициента инерции тij соответствующим коэффициентом сопротивления bij.
Выражение для функции D имеет вид
(2.5)
При составлении уравнений динамики электромагнитных вибрационных стендов следует учесть частотный диапазон имитируемых вибрационных нагрузок и особенности их контроля, которые обусловлены видами режима испытания приборов и машин. Эти особенности заключаются в следующем. Во-первых, на вибрационном стенде можно имитировать колебания источников вибрации, действующих в условиях эксплуатации на объекты. В этом случае контроль вибрации осуществляется на платформе вибрационного стенда при условии идентичности связей испытуемого изделия (машины) и стенда со связями этого изделия с источником вибраций в условиях эксплуатации. Составление динамической модели системы испытаний осуществляется без учета испытуемого объекта. Во-вторых, возможна имитация вибрационного воздействия на элементы конструкций, приборы или детали и узлы машин. В этом случае учитываются условия связи испытуемого объекта с платформой вибрационного стенда. Следует отметить более общий характер первого метода имитации вибраций, особенно при необходимости воспроизведения вибрационных нагрузок, эквивалентных эксплуатационным. Учет частотного диапазона воспроизводимых вибраций обуславливает рассмотрение моделей вибрационных стендов в низкочастотной и высокочастотной областях. В области высоких частот модели стенда усложняются вследствие дополнительных гибких связей между элементами конструкции стенда.
2.2. Модель стенда при воспроизведении низкочастотных вибраций
Для возбуждения колебаний в широком диапазоне частот (5 - 1 000 Гц) в вибростендах используются электромагнитные вибровозбудители [35, 42]. Описание вибрационных стендов приведено также в работе [36, 37, 39, 40, 41].
Схема подвески (расположения упругих элементов) и конструкция магнитопровода могут быть самыми разнообразными и выбираются в соответствии с назначением вибровозбудителя. Пример наиболее простой конструкции такого стенда приведен на рисунке 2.1,
Рис. 2.1. Конструкция ЭМВ
1 - испытуемый объект; 2 - платформа (якорь); 3 - упругие элементы, удерживающие платформу 2 и объект 1; 4 - магнитопровод; 5 - электрическая обмотка с числом витков w; U - входное электрическое напряжение; i - электрический ток; ? - воздушные зазоры между платформой 2 и полюсами магнитопровода 4; b - коэффициент сопротивления (демпфирования).
На основании физики функционирования ЭМВ тяговое усилие F представляет собой силу притяжения якоря 2 к магнитопроводу 4 при подаче на обмотку 5 электрического тока i [47]
, (2.6)
где Ф - магнитный поток; ?0 - магнитная проницаемость воздушного зазора ?; S - площадь поперечного сечения полюсов магнитопровода 5 у зазоров ?.
Поток Ф связан с током i зависимостью