РАЗДЕЛ 2
ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА ЛОПАТОЧНОГО АППАРАТА ТУРБОМАШИН С ПОВРЕЖДЕНИЯМИ
2.1. Вариационная постановка задачи расчета колебаний лопаточного аппарата
Вариационная постановка задачи колебания трехмерного тела основана на применении обобщенного принципа Гамильтона-Остроградского [21]
, (2.1)
где ? - потенциальная энергия;
Т - кинетическая энергия;
А - работа внешних поверхностных и объемных сил, выражения которых необходимо получить для трехмерного неоднородного тела.
Введем неподвижную систему координат Ox1x2x3, центр которой совпадает с центром вращения. Ось x3 направлена по радиусу от оси вращения, ось x1 параллельна оси вращения. Перемещения каждой точки тела в направлении x1, x2, x3 обозначаются u(x1, x2, x3, t), v(x1, x2, x3, t) и w(x1,x2,x3,t) соответственно, которые являются проекциями вектора перемещений .
Тогда кинетическая энергия колебаний лопатки имеет вид
или в тензорной форме
где V - объем рассматриваемого тела;
? - плотность материала.
Потенциальная энергия колебаний лопатки представляется в виде
или
, (2.2)
где - компоненты тензоров напряжений и деформаций, имеющих вид
, .
Связь между деформациями и перемещениями имеет вид
или
,
где u - тензоры деформаций и перемещений, соответственно;
- дифференциальный оператор, полученный на основе геометрических соотношений Коши
Зависимости между компонентами напряжений и деформаций представляют собой обобщенный закон Гука
где ? - тензор напряжений;
D? - симметричная матрица упругих постоянных, которую для изотропного материала можно записать в виде
, , ,
где - упругие постоянные Ляме, имеющие вид
, ,
E - модуль упругости;
? - коэффициент Пуассона.
Работа внешних объемных и поверхностных сил имеет вид
,
где - часть поверхности тела, на которой известны силы;
p - поле поверхностных сил;
f - поле объемных сил.
Сюда входит и работа центробежных сил, при определении которой следует учитывать изменение радиальной и тангенциальной составляющих проекций этих сил от изгиба лопатки при колебаниях.
Уравнение (2.1) необходимо дополнить главными граничными условиями для точек, принадлежащих части границы
, (2.3)
где - часть поверхности тела, на которой известны перемещения;
u - поле перемещений;
u0 - поле известных перемещений границы.
Вследствие сложной геометрической формы лопатки не может быть получено аналитическое решение поставленной задачи. Описание модели производится путем ее дискретизации - заменой объекта системой трехмерных конечных элементов. Численные методы, в частности метод конечных элементов, позволяют построить приближенное решение в виде суперпозиции аппроксимационных функций
или
где u(t) - вектор неизвестных коэффициентов (обобщенных координат);
- вектор заданных аппроксимационных функций, имеющих вид
В данном случае роль обобщенных координат играют компоненты перемещений узлов конечноэлементой модели. Для аппроксимационных и искомых функций должно выполняться условие непрерывности самих функций и их частных производных.
Подстановка апроксимационных функций в функционал (2.1) и вариация по обобщенным координатам с учетом ненулевых граничных условий (2.3) для случая собственных колебаний приводит к матричному уравнению
,
где M - матрица масс;
K - матрица жесткости.
При собственных колебаниях с частотой ? перемещения точек зависят от времени следующим образом
.
Число практически важных форм и частот собственных колебаний невелико (7-10 форм). Эти частоты и формы могут быть получены с достаточной точностью из решения обобщенной собственной проблемы
или
. (2.4)
Метод решения собственной проблемы, как наиболее ресурсоемкий, подвергся детальному исследованию. Для решения проблемы собственных значений (2.4) используется алгоритм Ланцоша с ортогонализацией. Основные шаги этого алгоритма:
а) выбор начального вектора ;
б) выполнение итерации для ...:
1) при условии, что ;
2) решение сокращенной проблемы собственных значений:
, (2.5)
где
. (2.6)
Если необходимое количество векторов получено с достаточной точностью, то переходим к пункту в) либо выполняем:
3) ;
4) ;
в) построение набора приближенных собственных векторов исходной задачи:
. (2.7)
Видно, что в ходе алгоритма Ланцоша требуется выполнить решение системы линейных уравнений (2.5) для матрицы жесткости (2.6), умножить пробный вектор на матрицу масс и найти собственные частоты и формы, согласно (2.7).
2.2. Обоснование выбора типа конечного элемента и его описание
Одним из наиболее важных мометов в МКЭ является дискретизация трехмерного тела на отдельные конечные элементы, которые должны удовлетворительно описывать геометрическую форму объекта и распределение перемещений внутри элемента.
Существуют целые библиотеки конечных элементов, но литературные источники [51, 55] и накопленный в ИПМаш им А.Н. Подгорного НАНУ опыт [21] показывают, что для моделей лопаточного аппарата сложной формы необходимо использование изопараметрической концепции МКЭ. Эта концепция основана на представлении координат и перемещений конечного элемента с помощью одинаковых интерполяционных многочленов.
Преимущество такого способа дискретизации заключается в возможности достаточно простого построения интерполяционных многочленов и использовании без особых трудностей элементов с криволинейными границами, что важно при построении моделей элементов лопаточного аппарата.
В данной работе были построены конечноэлементные модели упрощенных (ри