РОЗДІЛ 2
МЕТОДИКА ДОСЛІДЖЕНЬ ДИНАМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ
НАСОСНИХ УСТАНОВОК НА ОСНОВІ ПОМП З КРИВОЛІНІЙНО-ПРОФІЛЬОВАНИМИ РОТОРАМИ
2.1. Математична модель насосної установки на основі помпи із дволопатевими криволінійно-профільованими роторами
2.1.1. Основні математичні залежності, допущення та наближення.
Розрахункова схема електромеханічної системи (рис.2.1), що складається з асинхронного двигуна, ротор якого розглядається як тверде тіло, муфти та помпи, подана на рис. 1, де Jm1 - момент інерції ротора двигуна з ведучою півмуфтою; Jm2 - момент інерції веденої півмуфти; Jr1 та Jr2 - моменти інерції роторів помпи; Jk1, Jk2 - моменти інерції однакових зубчастих коліс. Оскільки кутова жорсткість зубчастого зачеплення є значно вищою від кутової жорсткості валів роторів, передачу будемо вважати абсолютно жорсткою. Кутові жорсткості ділянок валів позначаємо як сv1, сv2 та сv3, а коефіцієнти дисипації цих ділянок - як kv1, kv2 та kv3 відповідно. З двигуном помпа з'єднується за допомогою пружної муфти, яка передає момент двигуна Mdv, кутова жорсткість муфти - сm. На ротори діють моменти сил тиску на профільовані ротори Mr1 та Mr2, моменти сил тертя цих роторів об воду або повітря Md1 і Md2, а також моменти сил тертя в підшипниках Mp1, Mp2.
Рис. 2.1. Розрахункова схема помпи
Оскільки розрахункова схема містить лише зосередженні моменти інерції твердих тіл, то, як відомо, вона може бути описана системою звичайних диференціальних рівнянь другого порядку, виведеними з використанням другого закону Ньютона, принципу Д'Аламбера, рівняння Д'Аламбера та рівняння Лагранжа другого роду:
(2.1)
де isx, irx, isy, iry - проекції струмів на координатні осі х, у (індекси s i r вказують на те, що ці параметри властиві обмоткам статора і ротора відповідно), um - амплітуда напруги живильної мережі; Ls, Lr - індуктивності обмоток статора і ротора;; ?0 - синхронна швидкість обертання ротора; rs, rr - активні опори фаз статора і ротора; ?x , ?y, ?r, ?s - константи:
, ,
де , , , , .
Електромагнітний момент асинхронного двигуна визначаємо за формулою:
, (2.2)
де p0 - число пар магнітних полюсів; Lm - робоча індуктивність двигуна.
Система диференціальних рівнянь (2.1) є цілком достатньою для дослідження обертових рухів елементів помпи під дією прикладених до них обертових моментів, тобто описують динаміку механічної системи з пружними ланками. Щодо самих моментів, то невідомими є величини Mr1; Mr2; Md1; Md2, оскільки для їх визначення необхідно виконати гідравлічні розрахунки, тобто доповнити систему рівнянь (2.1) диференціальними рівняннями, які описують рух рідини в залежності від параметрів руху механічної системи. Таким чином, доповнення системи (2.1) необхідними гідравлічними рівняннями перетворить її з електромеханічної у гідроелектромеханічну.
Гідравлічну схему помпи подано на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Гідравлічна схема дволопатевої помпи
Гідравлічна схема складається із корпуса із вхідним (знизу) та вихідним (зверху) отворами. Всередині корпуса розташовано два криволінійно-профільовані дволопатеві ротори, які обертаються з однаковими швидкостями назустріч один одному, що призводить до почергового зменшення об'єму біля випускного отвору (об'єм камери нагнітання) та збільшення об'єму біля вхідного отвору (об'єм камери всмоктування). На рисунку 2.2 зображено момент, коли об'єми нагнітання та всмоктування однакові і один з роторів відсік ще один об'єм - об'єм відсічки, який власне і переноситься ротором із камери нагнітання в камеру всмоктування.
Як відомо [6, 68, 83], в рівняннях гідродинаміки повинні відображатися закони зміни тиску і витрат рідини в досліджуваному січенні лінії або деякому об'ємі гідравлічної системи з врахуванням опору та приведеної жорсткості.
Якщо розглядати гідравлічну систему, як систему з розподіленими параметрами, то зміна тиску і швидкості рідини в ній описуються хвильовими рівняннями в часткових похідних. Розв'язування хвильових рівнянь дає найточніші результати, оскільки дозволяє досліджувати перехідні процеси з врахуванням біжучих хвиль. Внаслідок того, що швидкість розповсюдження хвилі тиску або деформації в рідині в багато разів перевищує швидкість її протікання в процесі роботи гідравлічної машини, допускається [83], що впливом швидкості рідини на швидкість розповсюдження хвиль можна знехтувати і пропонуються точні хвильові рівняння замінити спрощеними:
де p, ?0, v, E - тиск, густина, швидкість руху та модуль пружності рідини; x - лінійна координата.
Але навіть цими спрощеними рівняннями можна проводити аналіз тільки найпростіших гідросистем. Для випадків, коли довжина гідравлічного трубопроводу відносно мала, в роботі [83] пропонується значно спростити розрахунковий апарат шляхом заміни системи з розподіленими параметрами дискретною системою, тобто розподілом конструкції на частини і записом рівнянь тиску та витрат для кожної з них. В цьому випадку часткові похідні та на кожній з ділянок можна спростити до такого виду:
де pi; Qi - тиск та витрати рідини в січенні і; ?x - довжина ділянки трубопроводу.
Для дискретної гідравлічної системи рівняння, які описують динамічні процеси на ділянці від і до і+1, можна записати:
(2.2) де ?=m/V - густина рідини; m, V - маса і об'єм рідини; F - площа поперечного січення потоку рідини; а - коефіцієнт гідравлічного опору трубопроводу; Е - приведений модуль пружності системи "рідина - конструкція"; - опір протіканню рідини.
Позначимо в рівняннях (2.2) масу рідини та приведену жорсткість де об'єм рідини Vp=F?x. Тоді для гідроциліндра (гідромотора або помпи) можна записати:
(2.3)(2.4) де с0 =Е/Vp; Е - модуль пружності рідини; Q - щосекундні витрати рідини в січенні циліндра помпи, Q0 - витрати рідини в трубопроводі ( на виході з помпи).
У випадку роторної помпи лінійну швидкість dx/dt слід замінити кутовою d?/dt швидкістю ротора. Тоді F0 - площа лопатей ротора в камері нагні