раздел 2
плоская осесимметричная задача термоупругопластического скоростного
деформирования полых цилиндров
В настоящем разделе рассматривается скоростное термоупругопластическое
деформирование полых цилиндров бесконечной длинны под действием импульсного
давления. Цилиндры расположены коаксиально, а между ними находится слой припоя.
Толщина внутреннего цилиндра в 2 ё 2,5 раза меньше, чем внешнего. Слой припоя
имеет толщину в 40 раз меньшую, чем внутренний цилиндр. Поэтому в расчетах его
толщиной пренебрегаем. Задача рассматривается в два этапа. На первом
исследуется напряженно-деформированное состояние и температурный режим
внутреннего цилиндра до момента его столкновения с внешним цилиндром. Второй
этап включает термокинетическое исследование процесса соударения. Поставленная
задача рассматривается как одномерная. Однако она позволяет изучить ряд важных
закономерностей процесса деформирования и влияние температуры на этот процесс.
Предполагается адиабатическое повышение температуры в результате развития
пластических деформаций как при расширении внутреннего цилиндра продуктами
детонации взрывчатых веществ, так и при соударении цилиндров. Рассмотрена
диффузия тепла в процессе соударения.
2.1. Основные физические зависимости
2.1.1. Основная термодинамическая зависимость (sij - eij)
При механических и тепловых воздействиях в цилиндре возникает помимо полей
перемещений ui, напряжений sij и деформаций eij также температурное поле Т. Под
тепловыми воздействиями понимаются процессы теплообмена между поверхностью тела
и окружающей средой с последующим изменением температуры внутри тела.
Термодинамическая теория необратимого процесса термоупругопластического
деформирования тела базируется на трех основных положениях:
— изменении энтропии dS за определенный промежуток времени определяется
выражением
(2.1)
где deS — энтропия, сообщенная системе из окружающей среды,
dQ — тепло, сообщенное системе из окружающей среды,
diS — энтропия, которая возникает в результата необратимого процесса и является
всегда положительной величиной;
— справедливо предположение о локальном термодинамическом равновесии, т.е.
мгновенные значения термодинамических функций U, F, G, являются однозначными
функциями термодинамических параметров T, S;
— справедлив феноменологический закон, описывающий необратимый процесс
теплопроводности, т.е. закон Фурье о пропорциональности вектора теплового
потока градиенту температуры:
(2.2)
где lq — коэффициент теплопроводности.
Последний закон предполагает бесконечно большую скорость распространения тепла
в материале. Уравнение теплопроводности, учитывающее скорость распространения
тепла включает время релаксации t теплового потока:
(2.3)
однако, для металлов величина весьма мала (порядка 10-11) и ею можно
пренебречь.
Для установления термодинамической зависимости между компонентами тензоров
напряжений и деформаций воспользуемся выражением [76]
(2.4)
где U — плотность внутренней энергии,
S — плотность энтропии,
F— плотность свободной энергии.
Известно, что dU, dF и dG — полные дифференциалы, каждый из них является
функцией семи из четырнадцати термодинамических параметров sij, eij , T, S (i,j
= 1,2,3), т.е. U = U(eij,S), F = F (eij,T), G = G(sij,T).
Чтобы получить соотношения между напряжениями и деформациями необходимо
составить выражение для плотности свободной энергии как функции компонентов
тензора деформации и температуры. Оно имеет вид [76]:
(2.5)
где aТ — средний коэффициент линейного теплового расширения в интервале
температуры (T0,T),
l, m — коэффициенты Ламе при изотермической деформации,
dij — символ Кронекера.
В случае адиабатической деформации соотношения (2.5) примут вид
(2.6)
где — адиабатический коэффициент Ламе. Он связан с изотермическим коэффициентом
Ламе по формуле:
, (2.7)
где — удельная объемная теплоемкость при отсутствии деформации.
Соотношения между деформациями и напряжениями имеют вид [79]
(2.8)
где изотермический модуль упругости E и коэффициент Пуассона g связаны с
изотермическими коэффициентами Ламе зависимостями:
(2.9)
Коэффициент n = 0.3 для упругой области и n ® 0.5 для пластической.
Таким образом, из соотношения (2.8) можно тензор полной деформации разбить на
две части. Первая его часть — это тензор деформации
, (2.10)
возникающей от действия внешних сил и напряжений, которые необходимо приложить
для обеспечения сплошности тела. Его компоненты связаны с компонентами тензора
напряжений соотношениями обобщенного закона Гука, которые будут рассмотрены
ниже.
Вторая часть — шаровой тензор деформации
(2.11)
обусловленный чисто тепловым расширением тела при повышении его температуры с
Т0 до Т. В предположении термически изотропного тела эта деформация одинакова
во всех направлениях.
2.1.2. Основная физическая зависимость (si - ei) деформационного и
динамического упрочнения материала
Пусть полый цилиндр находится в условиях динамического нагружения, вызванного
действием внешней импульсной нагрузки и температуры. В основу построения
зависимостей (si - ei) для описания поведения материалов в области
термоупругопластического деформирования материалов положены деформационные
соотношения при следующих гипотезах и допущениях:
— справедлива гипотеза о неизменн
- Київ+380960830922