РОЗДІЛ 2
АПРОКСИМАЦІЯ БАГАТОКАНАЛЬНИХ МЕРЕЖ
ПРОЦЕСАМИ ДИФУЗІЇ
У другому розділі для багатоканальних мереж при критичному навантаженні
розвинутий метод дифузійної апроксимації, суть якого полягає у тому, що
стрибкоподібний процес обробки інформації апроксимується неперервним дифузійним
процесом. Для обгрунтування апроксимації доведені відповідні функціональні
граничні теореми, що дає можливість використовувати ці результати для
розрахунку характеристик якості роботи стохастичних мереж. Граничний дифузійний
процес визначається параметрами мережі, а також режимом функціонування. В цьому
розділі розглянуто перехідний і квазістаціонарний режими. Дослідження
стаціонарного режиму вимагає певної підготовчої роботи, і його розгляд
відкладено до наступного розділу.
Методика доведення граничних теорем залежить від керуючих параметрів
стохастичної мережі. Якщо вхідний потік має певну структуру, то ефективним є
локальний підхід. На його основі досліджені мережі з незалежними рекурентними
вхідними потоками. Подальший аналіз умов, при яких можлива дифузійна
апроксимація, показав, що суттєвим для багатовимірного вхідного потоку у мережу
є справедливість для нього функціональної центральної граничної теореми. Це
дозволило поширити метод дифузійної апроксимації на моделі з взаємозалежними
вхідними потоками, досліджувати мережі з керованим джерелом пакетів і
одночасно, послабити умови для моделей типу , .
2.1. Локальний підхід до дифузійної апроксимації
Процес дифузії визначається як марковський процес, для якого для усіх
виконуються наступні локальні властивості
, (2.1)
, (2.2)
, (2.3)
де - вектор переносу, - матриця дифузії, , , , .
Природньо, враховуючи ці локальні властивості, шукати умови збіжності
послідовності випадкових процесів до дифузії в термінах приростів . Першими цю
ідею висловили ще С.Н. Бернштейн і О.Я. Хінчін у роботах [128] (стор. 256 -
258, 286 - 290), [129] (стор. 36 - 43). У подальшому вона отримала значний
розвиток. Найбільш загальні і зручні для перевірки умови збіжності до
дифузійних процесів були отримані І.І. Гіхманом, А.В. Скороходом і О.О.
Боровковим ([65], стор. 55-59; [59]; [60], стор. 275-276; [61], стор. 415-416).
Завдяки цим роботам локальний підхід став одним з потужних засобів строгого
математичного обгрунтування дифузійної апроксимації. Інший підхід до доведення
граничних теорем базується на операторній і мартингальній техніці (див.,
наприклад, [130] - [133]).
Наведемо один з варіантів достатніх умов збіжності до дифузійного процесу, який
належить І.І. Гіхману і міститься у його цитованих вище роботах.
Нехай , , послідовність випадкових процесів, а , дифузійний процес з вектором
переносу і матрицею дифузії . Для того, щоб , слабко (в термінах
скінченновимірних розподілів) збігалась до достатньо, щоб розподіл слабко
збігався до розподілу деякої випадкової величини і існували послідовність
розбиттів відрізку точками
, ; ,
, ,
послідовність сімейств монотонно зростаючих - алгебр (, якщо ) такі, що процес
- вимірний при , , і для будь-якого ,
, (2.4)
, (2.5)
, (2.6)
де , , .
Умови (2.4) - (2.6) відповідають властивостям (2.1) - (2.3) і означають
близкість локальних характеристик (в термінах приростів) дограничного і
граничного процесів. Перевірка для виконання умов (2.4) - (2.6) і складає суть
локального підходу при доведенні граничних теорем типу дифузійної
апроксимації.
Зазначимо, що додатково до умов (2.4) - (2.6) необхідно, щоб і були “достатньо
гладкими” функціями. Точне формулювання цих умов можна знайти в [60], стор.
271, 275; [61], стор. 415. Коефіцієнти , для дифузійних процесів, які
апроксимують процеси обробки інформації у багатоканальних мережах,
задовольняють умовам гладкості, і при доведенні граничних теорем ми будемо
приділяти увагу тільки перевірці (2.4) - (2.6).
Розглянемо процес обробки пакетів у мережі типу . Вивчимо методом дифузійної
апроксимації процес при критичному навантаженні мережі.
Режим критичного навантаження мережі означає, що інтенсивності обробки , ,
залежать від “” (номера серії) так, що
2.1) , .
Інші параметри - мережі від “” не залежать.
Для рекурентних вхідних потоків , , будемо вимагати обмеженості перших двох
моментів інтервалу часу між моментами надходження пакетів
2.2) , , .
У момент часу будемо вважати, що мережа порожня
2.3) , .
При виконанні умов 2.1) - 2.3) для відкритої - мережі ми розглянемо
послідовність процесів
, ,
де , , - розв’язок рівняння балансу для - мережі, , .
Для нормованого процесу обробки справедливий наступний результат.
Теорема 2.1. Якщо стохастична мережа типу задовольняє умовам 2.1) - 2.3), , ,
негратчаста, і спектральний радіус матриці маршрутизації менший , то на
будь-якому скінченному проміжку послідовність випадкових процесів , , слабко
збігається в рівномірній топології до дифузійного процесу () з вектором
переносу і матрицею дифузії , де , , , і для будь-якого вектора , - діагональна
матриця.
Перед тим, як доводити теорему, встановимо два допоміжних твердження, в яких
проаналізовано асимптотичні властивості перших двох моментів процесу .
Нехай, як і раніше, для відкритих - мереж - розв’язок рівняння балансу