Розділ 2
МЕтодологічні основи Простого випадкового відбору та систематичного відбору
Простий випадковий відбір є основною формою ймовірнісного відбору і забезпечує
теоретичну основу для більш складних форм відбору. Можливі два шляхи здобуття
простої випадкової вибірки: із поверненням, у якій одна й та ж одиниця може
включатися більш, ніж один раз у вибірку; і без повернення, у якій всі одиниці
у вибірці різні.
Проста випадкова вибірка з поверненням (SRSWR – simple random sampling with
replacement) обсягу n із сукупності з N одиниць може розумітися, як n
незалежних вибірок обсягу 1 із всієї сукупності. Кожна одиниця вибирається з
ймовірністю . Таким чином вибирається n одиниць, які можуть включати і
дублікати від популяції. Однак, у скінченій генеральній сукупності відбір
однієї і тієї ж одиниці двічі не забезпечує додаткової інформації. Тому
звичайно віддається перевага вибірці без повернення. Проста випадкова вибiрка
без повернення (SRS – simple random sampling without replacement) обсягу n
вибирається так, що всі комбінації з n різних одиниць в популяції мали однакові
ймовірності бути обраними. Оскільки, всього можливо вибірок, то ймовірність
вибору будь-якої індивідуальної вибірки S із n одиниць буде
, де .
Таку вибірку можна отримати за n кроків, обираючи по одній одиниці за крок,
при цьому кожного разу всі одиниці, що не обиралися, можуть рівноможливо
потрапити до вибірки. При простому випадковому відборі без повернення (надалі –
простий випадковий відбір) ймовірність того, що і-та одиниця генеральної
сукупності потрапить до вибірки, дорівнює , тобто вона однакова для всіх
одиниць.
Дійсно, будь-яка фіксована і-та одиниця буде присутня у можливих вибірках (
і-та фіксована, інші n-1 одиниць – будь-які з N). Отже,
.
Інші типи відбору також можуть передбачити однакову ймовірність обрання для
кожної одиниці, але тільки при простому випадковому відборі кожна можлива
вибірка з n одиниць має однакову ймовірність обрання.
Дві різні прості випадкові вибірки обсягу n=9 із популяції N=100 показані на
рис.1 та рис.2.
Рис. 1. Проста випадкова вибірка обсягу 9 із сукупності у 100 одиниць.
Рис. 2. Інша проста випадкова вибірка обсягу 9 із сукупності у 100 одиниць
Наведемо інший приклад простої випадкової вибірки. На рис. 3 місцезнаходження
об’єктів (наприклад, це можуть бути дерева, житло, шахти) в регіоні задані
центрами символів “+”. Мета обстеження – оцінити число об’єктів в регіоні.
Регіон розбитий на 100 квадратів, . Зроблена проста випадкова вибірка обсягу .
Вибрані одиниці заштриховані на рис.3.
Рис. 3. Проста випадкова вибірка
обсягу 10 із сукупності у 100 одиниць
2.1. Здобуття простої випадкової вибірки
Проста випадкова вибірка може бути вибрана, наприклад, за допомогою кульок з
номерами від 1 до N, що містяться у ящику, і без погляду, вибираючи n кульок
без заміни будь-якої. Це робиться при проведенні лотерей чи конкурсів (спосіб
жеребкування).
Щоб зменшити роботу процесу відбору, вибір робиться більш просто,
використовуючи таблицю випадкових чисел або комп’ютерний датчик “випадкових
чисел”.
Наприклад, потрібно здобути просту випадкову вибірку обсягу n=10 із
генеральної сукупності N=70 одиниць.
Скористаємось статистичною таблицею (див.додаток А, табл.А.1). Вибираємо
будь-яку колонку таблиці (наприклад, другу) і будь-яких два стовпчика цифр
(наприклад, перші два). Рухаючись вниз по колонці, виписуємо 10 чисел, менших
за 70: 6, 63, 62, 37, 29, 60, 27, 64, 24, 25. Це і є номери елементів, що
потрапили до вибірки. Числа 72, 77, 75, 83, 90 були пропущені, так як вони
більші за N.
Символ “00”, коли використовуються два стовпчика, буде інтерпретовано, як
одиниця 100. Якщо ж зустрічаються повтори, то число вибирається лише один раз.
Наприклад, n=16, N=75, маємо 6, 69, 72, 62, 37, 29, 60, 75, 27, 64, 24, 25, 16,
19, 66, 59 (числа 72 та 27 були пропущені, оскількі вони вже присутні у
вибірці).
Якщо N тризначне число ( наприклад, N=152), тоді для прискорення процедури
вибору можна скористатися таким методом: беремо тепер в таблиці будь-яку
колонку і будь-яких три стовпчика цифр, якщо зустрічається тризначне число від
201 до 400, то віднімаємо від нього 200, якщо від 401 до 600 – віднімаємо 400,
від 601 до 800 – віднімаємо 600, від 801 до 999 – віднімаємо 800. Всі числа,
які більші 152 і менші 200, а також число 000, пропускаємо
Нехай n=8. Скористаємось четвертою колонкою. Маємо 64, 7, 26, 119, 67. 60, 10,
78.
Якщо , наприклад, N=282, то при появі чисел від 301 до 600 – віднімаємо 300,
від 601 до 900 – віднімаємо 600. Числа, більші 900, пропускаємо.
Аналогічно для чисел , при появі числа від 401 до 800, віднімаємо 400, а
числа, більші за 800, пропускаємо.
Якщо , то при появі чисел від 501 до 999, віднімаємо від них 500.
2.2. Оцінювання середнього та сумарного значень сукупності
Позначимо через - середнє значення сукупності. Будемо позначати через значення
одиниць, які потрапили у просту випадкову вибірку обсягу n.
- вибіркове середнє.
Теорема 2.1. Вибіркове середнє є незміщеною оцінкою середнього значення
сукупності .
Доведення. Необхідно показати, що . Дійсно, , де підсумування проводиться по
всіх можливих вибірках обсягу n (їх кількість ). Оскільки кожне фіксоване
значення буде присутнє у вибірках, тоді
.
Отже, .
Позначимо тепер через дисперсію всієї сукупності, тобто
(2.1)
Знайдемо дисперсію оцінки .
Теорема 2.2.
, (2.2)
де - частка відбору.
Доведення. Очевидно, що .
Зробимо додаткові обчислення.
.