РОЗДІЛ 2
РОЗРОБКА І ВИРІШЕНЯ БАЗОВИХ ПИТАНЬ, ОРІЄНТОВАНИХ НА РОЗВИТОК ТЕОРІЇ ГІПЕРКОМПЛЕКСНИХ ЧИСЛОВИХ СИСТЕМ
2.1.Основні визначення та базові поняття гіперкомплексного числення
Для проведення математичного моделювання з використанням методів гіперкомплексних числових систем розроблені засоби виконання таких алгебраїчних операцій, як додавання, віднімання, множення, ділення, виключаючи ділення на дільники нуля, обчислення норми гіперкомплексного числа, спряжених елементів, дільників нуля, побудову представлень таких нелінійних функцій від гіперкомплексного змінного, як експонента, тригонометричні та гіперболічні синус та косинус, і всі інші функції, які безпосередньо використовують вищезгадані нелінійності.
2.1.1. О с н о в н і в и з н а ч е н н я т а о с н о в н і а р и ф м е т и ч н і о п е р а ц і ї. Гіперкомплексною числовою системою розмірності n називається множина чисел такого вигляду:
(2.1)
з введеними за певними законами операціями додавання та множення.
Сукупність элементів
(2.2)
зветься базисом гіперкомплексної числової системи або системою її утворюючих.
Коефіцієнти
можуть належати системам дійсних, комплексних або інших гіперкомплексних чисел, в тому числі і тій же системі гіперкомплексних чисел, що розглядається В цьому випадку вважається, що гіперкомплексна числова система задана над відповідною системою дійсних, комплексних або іншою системою чисел.
Для визначення операції множення і повного завдання гіперкомплексної числової системи необхідно задати правила множення элементів базису (2.2). Основна вимога до цієї операції полягає в тому, що система чисел повинна бути замкнутою відносно цієї операції.
Досить очевидно, що:
(2.3)
В загальному же випадку добуток двох базисних элементів з (2.2) з-за замкнутості системи відносно операції множення повинно представляти собою число тієї ж гіперкомплексної числової системи вигляду (2.1):
(2.4)
Коефіцієнти , які звуться структурними константами, являються дійсними числами: . При такому представленні для повного завдання гіперкомплексної числової системи необхідно задати всього структурних констант.
Як видно з (2.2), в базис ГЧС входить дійсна одиниця, яка ї в тій же час одиничним элементом ГЧС. Однак для багатьох практичних застосувань доцільно розглядати ГЧС з базисами, які не включають в себе одиничний элемент системи. В ціх випадках базис будет мати вигляд:
гіперкомплексне число:
(2.5)
а закон множення базисних элементів:
(2.6)
Для повного завдання гіперкомплексної числової системи такого вигляду необхідно задати вже всього структурних констант. Перший випадок завдання ГЧС є частковим випадком завдання, другим способом. Дійсно, для одержання перого способа достатньо в другому способі завдання припустити:
Найпростіші операції над гіперкомплексними числами - це додавання та множення.
Додавання гіперкомплексних чисел вигляду (2.1) або (2.5) провадиться покомпонентно:
або:
Множення гіперкомплексних чисел провадиться шляхом їх перемноження як поліномів, підстановкою добутків базисних елементів за (2.3), (2.4) або (1.6) та групуванням членів з однаковими базисними елементами. В загальному вигляді:
Так, наприклад, добуток комплексних чисел визначається законом:
где
Добуток подвійних чисел:
где
Добуток кватерніонів:
Два гіперкомплексних числа вважаютьсяся рівними, якщо попарно рівні відповідні коефіцієнти при однакових базисних элементах, а саме:
, якщо , .
В гіперкомплексних числових системах вводяться нулевий та одиничний елементи.
Нулевий елемент, або нуль, - це гіперкомплексне число, нейтральне відносно додавання, а саме:
Гіперкомплексне число дорівнює нулеві, якщо дорівнюють нулеві коеффіціенти при всіх базисних елементах:
, якщо , .
Одиничний элемент, або одиниця, - це гіперкомплексне число, нейтральне відносноно операції множення. Якщо пізначити одиничний елемент через Е, то повинні виконуватися такі співвідношення:
Одиничний елемент может бути елементом базиса системи, як, наприклад, в системах комплексних, подвійних, дуальних, квадриплексних чисел, в кватерніонах та багатьох інших ГЧС.
Якщо ж одиничного елемента в базисі нема, то його можна винайти, якщо розв'язати гіперкомплексное рівняння
(2.7)
відносно компонентів одиничного елемента.
Відшукаєм, наприклад, одиничний элемент в гіперкомплексній числовій системі розмірностю , яка задана такою таблицею множення:
00 (2.8)00
Припустимо, що одиничний елемент E має вигляд:
Якщо підставити це в (2.7), одержимо гіперкомплексне рівняння:
Прирівнюючи коефіциенти при однакових базисних елементах, одержимо систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
Розв'язок цієї системи:
Таким чином, одиничний елемент в ГЧС, яка завдана законом композиції (2.8), має вигляд:
Дійсно:
2.1.2. М а т р и ч н е п р е д с т а в л е н н я г і п е р к о м п л е к с н и х ч и с л о в и х с и с т е м. З точки зору загальної алгебри визначена таким чином гіперкомплексна числова система представляє собою кільце. Тому при дослідженні властивостей гіперкомплексних числових систем можна використати той факт, що на них розповсюджуються всі властивості кілець. Зокрема, існує теорема про вкладеність кілець [178]: всяке кільце R ізоморфно вкладається в повне кільце матриць. На цій теоремі засноване матричне представлення гіперкомплексних чисел. Широко відомі представленяя комп