РАЗДЕЛ 2
МЕТОДЫ СИНТЕЗА ПОЛНЫХ КЛАССОВ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ ДИСКРЕТНЫХ ЧАСТОТНЫХ СИГНАЛОВ
2.1. Введение, постановка задачи
Дискретные частотные сигналы (ДЧ-сигналы) представляют последовательность
радиоимпульсов, несущие частоты которых изменяются по заданному закону (рис.
2.1), где сверху у каждого отрезка гармоники проставлены значения их
относительных частот.
Рис. 2.1. Дискретный частотный ДЧ-сигнал Ї сигнал с частотной
манипуляцией кодовой последовательностью
Из рассмотрения рис. 2.1 нетрудно записать аналитическое выражение ДЧ-сигнала в
виде действительной функции времени
, (2.1)
где аргумент ;
Ї начальная фаза го импульса;
Ї амплитуда, при значениях Ї единичный импульс, или логическая функция
включения;
Ї кодирующая целочисленная функция от аргумента .
Пусть число радиоимпульсов в сигнале равно , и каждый импульс имеет свою
частоту, отличную от частот других импульсов. Все частоты попарно ортогональны.
Следовательно, число различных частот . База ДЧ-сигнала
, (2.2)
Из анализа (2.2) следует основное достоинство ДЧ-сигналов, которое состоит в
том, что для получения необходимой базы число частотных каналов обработки , что
существенно меньше в сравнении с многочастотными МЧ-сигналами параллельного
типа, где .
Оптимальные системы ДЧ-сигналов. Два ДЧ-сигнала и называют оптимальной парой,
если их апериодическая взаимокорреляционная функция (АВКФ) обладает свойством
не более одного совпадения (параметр ) одновременно по частоте и времени при их
произвольных апериодических временных сдвигах друг относительно друга [22-24].
По определению АВКФ оптимальной пары сигналов имеет модуль, равный 0 или , где
— длина каждого сигнала. Если все возможные пары, составляющие систему,
оптимальны, то такую систему сигналов называют оптимальной. Регулярные
алгоритмы построения оптимальных систем ДЧ-сигналов подробно исследовались в
[22-23]. Эти алгоритмы были получены на основе теории чисел и теории, простых
полей Галуа.
Каждый ДЧ-сигнал системы полностью определяется своей частотно-временной
матрицей, характеризующей распределение энергии сигнала на частотно-временной
плоскости. Частотно-временную матрицу можно описать с помощью либо
частотно-кодирующей последовательности (ЧКП), либо время-кодирующей
последовательности (ВКП). Обозначим через целочисленную переменную по оси
времени , где — длительность элементарного импульса, которая при кодировании
будет изменяться линейно . Частотно-кодирующую последовательность, определяющую
смещение частоты от импульса к импульсу для -го сигнала, обозначим через .
Пусть теперь целочисленная переменная по оси частот изменяется линейно —, тогда
порядок следования импульсов во времени будет определяться ВКП, которую
обозначим через . Свойство взаимности ЧКП и ВКП называют частотно-временной
дуальностью. Например, распределение энергии ДЧ-сигнала (рис. 2.1), приведено
на частотно-временной плоскости рис. 2.2.
Рис. 2.2. Свойство частотно-временной дуальности (взаимности)
ЧКП и ВКП
Представим конструктивное правило преобразования ВКП в ЧКП. С этой целью
каждый элемент , кодового слова ВКП представим в виде двумерного вектора , где
первая координата всегда представляет собой номер временной позиции данного
элемента в кодовом слове, а вторая Ї величину частотного скачка. Правило
преобразования дуальности состоит в том, что координаты каждого элемента
кодового слова ВКП подвергаются двум процедурам: сначала осуществляется обмен
местоположения координат
, (2.3)
а затем сортировка полученных элементов в порядке возрастания линейного
дискретного времени , как это видно из сравнительного анализа ВКП и ЧКП на рис.
2.2.
Заметим так же, что в литературе не рассматривались вопросы построения
оптимальных систем ДЧ-сигналов над расширенными полями Галуа, между тем
изоморфные поля позволяют существенно расширить набор (ассортимент) допустимых
длин ДЧ-сигналов.
Основные задачи настоящего раздела состоят в следующем:
1. Разработка методов синтеза полных классов линейных и нелинейных оптимальных
систем ДЧ-сигналов над простыми и расширенными полями Галуа.
2. Разработка методов синтеза полных классов зондирующих радиолокационных
ДЧ-сигналов с оптимальными функциями неопределенности в координатах
«дальность-доплеровская частота».
2.2. Правила построения и свойства полного класса форм
арифметических таблиц умножения в простых полях Галуа
Традиционно в литературе, например [72-89], представляют таблицы умножения в
полях Галуа таким образом, что на каждой грани этой таблицы расположен один и
тот же возрастающий ряд целых чисел вида . Такая таблица обладает свойством
симметрии: . Однако, для решения ряда прикладных задач, желательно найти другие
формы представления таблицы умножения . Например, исключить из рассмотрения
тривиальную операцию умножения на ноль и потребовать, чтобы была
матрицей-циркулянтом, и тем самым являлась бы основной алгебраической
конструкцией для построения различных классов кодов большой мощности, либо для
построения оптимальных систем ДЧ-сигналов. Обозначим линейную рекуррентную
последовательность максимального периода через МЛРП Ї
, (2.4)
где Ї первообразный элемент поля .
Приведем определение и правило построения таблицы умножения для произвольного
поля , в виде матрицы-циркулянта.
Утверждение 2.2.1. Арифметическая таблица умножения порядка в поле представляет
собой матрицу-циркулянт, если, и только если, на гранях этой таблицы
расположена одна и та же МЛРП.
Доказательство. Действительно, МЛРП является циклической последовательностью
периода , поэтому как следствие, матрица является цир