Нелинейное деформирование упругих тонкостенных конструкций

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ..................................................5
Г л а в а 1
Механические аналоги нелинейного деформирования
тонкостенных конструкций .................................10
§ 1. Исследование нелинейного деформирования тонкостенных конструкций с прощелкиванием .....................12
1.1. Модель для исследования нелинейных систем с нрошелкиванием .......................................12
1.2. Расчет внештатной посадки космического летательного аппарата.........................................19
§ 2. Модельный подход к исследованию ударного взаимодействия конструкций с преградами ....................27
2.1. Основные соотношения ............................27
2.2. Точное решение задачи для преград частного вида 29
2.3. Поперечный удар по свободно опертому стержню. Основные соотношения..................................32
2.4. Поперечный удар по свободно опертому стержню. Численные решения.................................... 38
2,-5. Возможное обобщение: поперечный удар по стержню на упругом основании..................................52
Г л а в а 2
Нелинейное деформирование и устойчивость тонкостенных сферических оболочек ........................60
51. Устойчивость тонкостенных сферических оболочек . . 61
1.1. Механика деформирования и критические нагрузки
сферических оболочек .............................61
2
1.2. Полуэмпирические формулы для расчета критических нагрузок сферических оболочек .................68
1.3. Устойчивость пологих трехслойных сферических оболочек .............................................72
§2. Нелинейное деформирование тонкостенной сферической
оболочки при ее взаимодействии с жесткой преградой . 76
2.1. Механика проворачивания сферической оболочки и исходные соотношения..................................76
2.2. Формулировка граничных условий трехточечной краевой задачи .......................................78
2.3. Обсуждение результатов вычисления..................83
Г л а в а 3
Уравнения теории тонких оболочек для инженерных
приложений .....................................................88
§ 1. Квадратичные варианты теории изгиба пластин
и пологих оболочек .........................................90
1.1. Основные гипотезы. Перемещения и деформации . 92
1.2. Внутренние усилия и моменты. Соотношения упругости ...............................................100
1.3. Разрешающие системы уравнений......................104
§ 2. Квадратичный вариант теории непологих оболочек
произвольного вида ........................................120
2.1. Основные гипотезы. Перемещения и деформации . 120
2.2. Внутренние усилия и моменты. Соотношения упругости ........................................... 123
2.3. Уравнения равновесия. Граничные условия . . . .125
2.4. Разрешающая система уравнений при осесимметричном деформировании................................127
§ 3. Вариант уравнений теории упругих непологих
тонкостенных оболочек произвольного вида................131
3.1. Основные гипотезы. Перемещения и деформации
срединной поверхности..................................133
3
3.2. Перемещения и деформации произвольной поверхности ................................................144
3.3. Внутренние усилия и моменты. Соотношения упругости ..............................................159
3.4. Уравнения равновесия. Граничные условия . . . .164
Г л а в а 4
Методы сплайн-аппроксимаций в задачах теории оболочек.................................................181
§1. Повышение точности вычислений при интерполяции
сплайнами ...........................................186
§ 2. Применение сглаживающих сплайнов для вычисления геометрических параметров поверхности в задачах
теории оболочек...................................196
§ 3. Использование тестовой поверхности для контроля вычислений геометрических параметров поверхности оболочек неканонической формы ..................... 206
Г л а в а 5
Влияние геометрической нелинейности на деформирование тонкостенных конструкций.........................219
§ 1. Влияние геометрической нелинейности на деформирование канонических механических систем...............220
§ 2. Осесимметричное нагружение эллипсоидальной оболочки локально распределенными нагрузками .... 236
§3. Механика деформирования эллипсоидальной оболочки
при действии распределенных и локальных нагрузок . 248
Список литературы .......................................253
4
ВВЕДЕНИЕ
В диссертационной работе предлагаются различные подходы к решению фундаментальной проблемы нелинейного упругого деформирования тонкостенных конструкций произвольного вида.
Нелинейное упругое деформирование механических систем всегда привлекало внимание исследователей: упругие эластики (Л.Эйлер, 1744 г.), прощелкивание цилиндрической панели и конечные прогибы тонких пластин (И.Г.Бубнов, 1902 г.), прощелкивание однородных пологих стержней и биметаллических пластин (С.П.Тимошенко, 1925 г.) и др.
Широкую известность получили нелинейные уравнения теории изгиба пластин Фёппля-Кармана (1907, 1910 г.) и уравнения теории оболочек К.Маргерра (1938 г.), которые позволили исследовать проблему нелинейного деформирования в квадратичном приближении. В рамках этих уравнений решены многочисленные задачи нелинейного деформирования пластин и оболочек.
В дальнейшем задачами нелинейного деформирования тонкостенных конструкций занимались Х.М.Муштари, К.З.Галимов, Э.И.Григолюк, Н.А.Алумяз, И.И.Ворович, А.В.Погорелов, Л.А.Шаповалов, В.Е.Спиро, Л.И.Шкутин, В.Койтер, Э.Рейсснер и многие другие исследователи.
Однако проблема нелинейного упругого деформирования тонкостенных конструкций исследована далеко недостаточно. Современный интерес к ней связан прежде всего с применением в машиностроении тонкостенных легких конструкций из новых материалов, особенно в таких областях, как кораблестроение, авиация и ракетно-космическая техника.
В первой главе рассмотрены возможности применения механических моделей для исследования значительного нелинейного деформирования тонкостенных конструкций при действии статических и динамических нагрузок. Под значительным деформированием понимается поведение конструкции во внештатных и аварийных ситуациях, когда элементы конструкции могут терять устойчивость, а сама
5
конструкция испытывает значительное формоизменение вплоть до ее смятия.
Для решения этой чрезвычайно трудной задачи предлагается использовать простые механические модели, которые отражают основные нелинейные свойства изучаемой конструкции, в частности потерю устойчивости с прощелкиванием или смятие в процессе деформирования. Такой подход оказывается достаточно эффективным, по крайней мере, на начальном этапе проектирования конструкции'.
В качестве первого примера в § 1 рассмотрено моделирование аварийной посадки спускаемого космическою аппарата с трехслойным днищем, которое может прощелкивать внутрь. Предложенная нами модель позволила успешно оценить критические скорости посадки и возникающие при этом перегрузки внутри спускаемого аппарата.
Во втором параграфе изучается удар и смятие тонкостенного летательного аппарата об упругую преграду. Используется простейшая модель с заданной жесткостью и вязкостью, которые предполагаются известными из специальных экспериментов или других соображений.
Рассмотрены преграды, для которых имеет место точное решение задачи в рассматриваемой постановке. На примере удара по упругой шарнирно опертой балке разработан эффективный итерационный метод решения задачи и доказана его сходимость. При этом перемещение преграды в месте удара раскладывается в ряд по собственным функциям. Приведены результаты вычислений. Показано, как распространить полученные результаты на случай, когда балкой на упругом осповании моделируется плавающая преграда.
Предложенный метод естественным образом обобщается на преграды других типов: арки, круговые пластины, в том числе и на упругом основании, и пологие сферические купола.
Во второй главе рассматриваются некоторые проблемы нелинейного деформирования и устойчивости тонкостенных сферических оболочек.
В § 1 главы 2 на основе анализа известных экспериментов со
6
сферическими оболочками обсуждается механика деформирования и устойчивость сферических оболочек при различных способах нагружения и закрепления. Проанализированы основные принципы несоответствия наблюдаемых в опытах и теоретических величин критических нагрузок.
Рассмотрена проблема построения полуэмпирических формул для расчета критических нагрузок сферических оболочек. Обсу ж дается проблема выбора структурных формул. Приведены известные нам полуэмпирические формулы для вычисления критических нагрузок сферических оболочек и рассмотрены некоторые практические рекомендации по проектированию этих оболочек.
Предложена новая полуэмпирическая формула для расчета критической нагрузки нагруженных внешним давлением трехслойных сферических куполов. В качестве структурной формулы принято выражение для критической нагрузки пологих трехслойных длинных цилиндрических панелей. Поправочные коэффициенты определены путем анализа известных в литературе экспериментов с однослойными подкрепленными ребрами жесткости и трехслойными сферическими куполами.
В § 2 этой главы приведены результаты численного исследования квазистатического проворачивания тонкостенной сферической оболочки при ее взаимодействии с жесткой преградой. Подробно проанализированы известные экспериментальные исследования о проворачивании сферических оболочек при их взаимодействии с жесткой плитой. Сформулирована соответствующая трехточечная краевая задача, описана принятая вычислительная процедура, представлены результаты вычислений и проведено их сопоставление с данными известных экспериментов.
В третьей главе обсуждаются уравнения теории тонких оболочек для инженерных приложений.
Сначала приведены известные квадратичные варианты уравнений нелинейной теории упругих пластин и пологих оболочек. В § 1 рассмотрены уравнения Фёппля-Кармана, описывающие изгибы пластин при конечных прогибах и уравнения К.Маргерра теории
7
пологих оболочек. Подробно обсуждены исходные гипотезы. Даны различные формы записи этих фундаментальных уравнений.
Затем приведены и анализируются два варианта уравнений нелинейной теорий непологих оболочек. В § 2 даны полученные нами уравнения квадратичного варианта теории непологих оболочек произвольного вида. Наконец, в § 3 предлагаются уточненные уравнения нелинейного деформирования упругих непологих тонкостенных оболочек произвольного вида.
Соотношения между усилиями, моментами и деформациями, а также уравнения равновесия и соответствующие им граничные условия записаны в принятой в линейной теории оболочек форме, но относительно нелинейных величин. Принятая форма записи уравнений не только делает очевидным предельный переход к соотношениям линейной теории, но удобна для применения известных аналитических и численных пошаговых методов.
В четвертой главе представлены результаты исследований по проблеме использования сплайн-функции для вычисления геометрических параметров поверхности в задачах теории оболочек неканонической формы.
Как известно, при численном исследовании нелинейных задач теории оболочек необходимо определять текущие геометрические параметры деформированной срединной поверхности оболочки. Аналогичные трудности возникают для оболочек сложной формы, поверхность которых задается приближенно, например таблицей чисел с чертежа. Проблема сводится к вычислению первых и вторых производных таблично заданных функций, которая может быть успешно решена с использованием сплайн-аппроксимаций со сглаживанием.
Предложены эффективные приемы снижения осцилляций интерполирующего и сглаживающего сплайна. Описаны экономичные двухступенчатые схемы вычислений на основе кубического сплайна и показана их надежность при отыскании вторых производных таблично заданных функций. Определены приемы оптимального подбора параметров сглаживания и контроля точности вычислений. Да-ны примеры вычислений для оболочек тороидальной и оживальной
8
формы.
В последней пятой главе обсуждается важная для технических приложений проблема влияния геометрической нелинейности на деформирование тонкостенных упругих конструкций. В самом деле, интересно оценить вклад дополнительных усилий, связанных с решением более сложной нелинейной задачи, в наше понимание механического поведения конструкции под нагрузкой.
В § 1 этой главы проанализировано влияние геометрической нелинейности на вид зависимости нагрузка-прогиб канонических механических систем, под которыми понимаем механические системы, для которых известно точное или достоверно приближенное решение в геометрически нелинейной постановке.
В следующих двух параграфах обсуждаются результаты численного исследования нелинейного упругого осесимметричного и неосесимметричного деформирования эллипсоидальных оболочек при действии локальных нагрузок. Оценен вклад нелинейных членов в распределение прогибов в зоне локального деформирования. Приведены многочисленные графики и проанализирован характер деформирований изучаемой оболочки.
В представленной диссертации излагается взгляд автора на проблему нелинейного деформирования тонкостенных упругих конструкций произвольного вида и предлагаются новые эффективные методы ее решения.
Нами затронута лишь небольшая часть этой фундаментальной и очень сложной проблемы механики деформируемого тонкостенного тела. Тем не менее, развиваемые нами подходы оказываются весьма эффективными при проектировании и расчете легких современных тонкостенных конструкний.
9
Глава!
МЕХАНИЧЕСКИЕ АНАЛОГИ
НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ
ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Проблемы значительного нелинейного деформирования тонкостенных конструкций при действии статических и динамических нагрузок представляют значительный интерес для инженерных приложений. Это, прежде всего, внештатные и аварийные ситуации, когда изучаемая тонкостенная конструкция может деформироваться при значительном формоизменении, с потерей устойчивости, вплоть до ее полного смятия.
Для решения этой проблемы, по крайней мере на начальном этапе проектирования конструкции, значительную помощь исследователю могут оказать механические модели.
В самом деле, часто можно подобрать простые механические модели, которые отражают основные нелинейные свойства деформирования изучаемой тонкостенной конструкции. На основе таких простых моделей могут быть построены более сложные механические модели, являющиеся аналогами деформирования изучаемых тонкостенных конструкций. Такой подход продемонстрирован в настоящей главе.
Здесь рассмотрены два примера использования механических моделей для анализа нелинейного поведения значительно деформируемых тонкостенных конструкций.
Сначала анализируется внештатная посадка космического летательного аппарата, трехслойное сферическое днище которого может при этом терять устойчивость. Для этой цели используется естественным образом построенная механическая модель на основе двухстержневой системы, прощелкивающей при некоторой нагрузке в положение, зеркальное исходному.
В качестве второго примера рассматривается удар тонкостен-ной конструкции летательного аппарата об упругую преграду.
Ю
Конструкция аппарата моделируется в этом случае простейшей механической моделью с известными жесткостью и вязкостью. Рассмотрены случаи жестких и упругих преград различного вида. Предложен сходящийся итерационный алгоритм вычисления перегрузок в процессе ударного взаимодействия летательного аппарата с преградой.
Представленные в этой главе результаты допускают естественные обобщения на конструкции и преграды различного типа.
11
§ 1. Исследование нелинейного деформирования тонкостенных конструкций с прощелкиванием
Предлагается нелинейная модель для описания динамического поведения тонкостенных оболочечных конструкций, элементы которых могут .значительно деформироваться или терять устойчивость с прощелкиванием при критических нагрузках. В предельном случае предлагаемая модель совпадает с известным многомассовым линейным представлением, широко используемым при расчетах динамики тонкостенных машиностроительных конструкций. Возможности модели продемонстрированы расчетом спускаемого космического летательного аппарата при внештатной посадке.
1.1. Модель для исследования нелинейных систем с прощелкиванием. Рассмотрим основные свойства математических моделей для исследования динамического поведения тонкостенных конструкций: известной модели на основе линейного осциллятора и предлагаемой нелинейной модели, которая позволяет исследовать нелинейное деформирование конструкций, а также потерю устойчивости с прощелкиванием.
Линейная модель. Для описания динамического поведения тонкостенных машиностроительных конструкций широко используется математическая модель, при использовании которой конструкция заменяется многомассовой системой с линейными жесткостями и демпферами с вязким сопротивлением на основе одномассового линейного осциллятора.
В случае одномассового линейного осциллятора (рис. 1.1) процесс описывается следующим обыкновенным дифференциальным уравнением: >
mtu(t) + kw(t) -f cw(t) = P(t). (1.1)
Здесь m - масса, w{t) - отклонение массы от положения равновесия, к - коэффициент сопротивления, с - коэффициент жесткости,
12
P(t) - внешняя сила, точкой обозначено дифференцирование но времени.
Уравнение (1.1) можно представить в виде
w(t) + 2nw{t) + A2w(t) = — P(t), (1.2)
т
где
2/i = к/т} \2 — с/т .
Решение уравнения (1.2) имеет вид
w(f) = e_;xt(j4i cos 7< + А2 sin тt) + w4.p.(0. (1.3)
Здесь 72 = A2-/i2; wH.p.(<) - частное решение, соответствующее правой
части (1.2). При 72 > 0 система колеблется, при 72 < 0 совершает
апериодические колебания.
Произвольные постоянные в (1.3) определяются из начальных условий
w = tvo, w = wo при < = 0. (1.4)
Двухмассовая модель на основе линейного осциллятора также хорошо изучена, так как при гармонических колебаниях соответствует важному для приложений случаю виброгасителя. Система дифференциальных уравнений задачи имеет в этом случае следующий вид:
miWi + fciWi + - w2) + ClWi + c2(wi - w2) = Pi (t),
■ (1-5)
m2w2 + k2(w2 — wi) 4- c2(w2 — w\) — Pi(t) ♦
Отсылая за подробностями к специальной литературе, заметим лишь, что при Pi = Hi cos ujt и P2 = H2 cos wt для гашения колебаний в резонансном режиме элементы гасителя должны удовлетворять двум условиям
iL - Ji El I - A
--- — и у---------— Лдоп. •
m2 Ci a
Здесь a = m-t/miy Ааоп. - допустимая амплитуда колебаний виброгасителя.
13
_ • *
Если модель содержит п масс, то система дифференциальных уравнений задачи имеет следующий вид:
п
УХ*ы*к + Ьікйк + ЪкУ>к) = Рі(і) у » = 1,2(1.6)
**« і
или в матричной форме
Ахи -I- В~ю -4- Сги = Р . (1.7)
Здесь Л - матрица масс, В - матрица демпфирования, С - матрица жесткостей. Размерность матриц пхп.
Через гу и ~Р обозначены вектора обобщенных координат и обобщенных возмущающих сил размерности п
= {іУіІУ2 . ..юп}ту Р ={РіР2...Рп}Г.
Система уравнений (1.6) интегрируется, как правило, численно при начальных условиях
, ~хи = о > -40 = о ' при 2 = 0. (1.8)
Нелинейная модель с прощелкиванием. Линейная модель не позволяет исследовать динамическое поведение тонкостенных оболочеч-ных конструкций в случае, когда их элементы могут значительно деформироваться или терять устойчивость с прощелкиванием.
В качестве нелинейного аналога линейной модели, изображенной на рис. 1.1, предлагается модель, включающая в себя сосредоточенную массу т, упруго-вязкий демпфер и упругие стержни (рис. 1.2). Такая нелинейная модель была предложена наїли в работе [5] для исследования нелинейно деформируемых конструкций, которые могут терять устойчивость с прощелкиванием. Там же применительно к рассматриваемой модели были изучены свойства фермы Мизеса при симметричном и несимметричном деформировании и приведена исчерпывающая библиография по этой проблеме.
14
Ниже ограничимся для простоты рассмотрением лишь осесимметричного деформирования принятой модели. Подробности обобщения на случай неосесимметричного деформирования модели содер-
Рассмотрим предлагаемую модель и приведем основные формулы, описывающие ее деформирование.
Считается, что изображенная па рис. 1.2 стержневая система деформируется осесимметричным образом под действием приложенной в центральном узле силы Р(<), которая произвольно изменяется во времени. В начальный момент времени *=0 центральному узлу фермы может быть сообщена начальная скорость V.
Геометрия показанной на рис. 1.2 модели определяется текущим углом подъема а и одной из следующих величин: 1а - текущая длина стержня; - текущая высота подъема; 2а - основание в плане.
Стержни модели считаются невесомыми и идеально упругими при осевом растяжении-сжатии. Боковое выпучивание стержней исключается.
Считается, что при произвольном деформировании системы осевое усилие Ра каждого стержня связано с изменением его длины Д/ линейным соотношением
где ГГ - жесткость стержня на растяжение-сжатие.
Статическое деформирование изучаемой модели при ее симметричном деформировании под действием сосредоточенной силы Р определяется следующими соотношениями.
Потенциальная энергия системы равна
жатся в работе [5].
(1.9)
где перемещение ги центрального узла
ю = а ^ ого - tg от) .
15
Здесь Р = Ру,л + тпд, д - ускорение свободного падения, Ру,„ есть си л а Р(<), показанная на рис. 1.2.
Уравнение равновесия системы имеет вид
Р = 2ЕР ^о-о ~ ^1 + О0 ~ ^ ~ соеог0
+ CW. (1.12)
Уравнение устойчивости в смысле Эйлера
i1 - i™'а) i1 - h*0*а+*ш)=0 (118)
Критические значепия угла а и соответствующие этим значениям величины критических нагрузок определяются в зависимости от типа потери устойчивости по следующим формулам.
1°. Боковая потеря устойчивости
Изучаемая модель неустойчива при углах а, определяемых решением уравнения
• 2 ^ / \
8Ш a cos or = у. (114)
Критическая нагрузка, соответствующая найденным из (1.14) углам а, равна
= 2^Fcos2 asin а 4-2A?c(sin «о - cos^otg а). (1-15)
Здесь и далее используется обозначение
k = —
с 2EF *
2°. Осесимметричная потеря устойчивости
Критические значения угла а определяются в этом случае решением уравнения
cos3 ос = у . (1.16)
. Ч/Ч/О V* —— . •
1+*с /
Критические значения нагрузки, для найденных из (1.8) критических значений угла а, определяются формулой
• 2
Р*р = 2EF S*° а - sin cr -f- 2&e(sincro - cos отоtg а). (117)
1 4~ k
с
16
Динамическое деформирование показанной на рис. 1.2 модели можно исследовать, если добавить в уравнение равновесия (1.4) инерционный член тхи и вязкое сопротивление кхЬ. Тогда получим следующее дифференциальное уравнение:
mw H- 2£7?^tgû'o — ^ [^1 4- ^tgû-o - ^ - совог0| +
+ kw 4- cw — P(t) .
(1.18)
Начальные условия, соответствующие случаю сообщения массе т начальной скорости v в момент времени t = 0, имеют вид
XV = О у XV = v при t = 0. (1*19)
Выписанные соотношения позволяют исследовать динамическое поведение изучаемой модели в предположении произвольного вида нагрузки P(t) при наличии демпфирования, пропорционального первой степени скорости.
При проведении расчетов удобно использовать безразмерные величины. Введем безразмерные прогиб w* и время t* следующим образом:
ш* = -, <* = -. (1.20)
а . т
В качестве величины т может быть принят любой параметр, имеющий размерность времени, например период собственных колебаний линейного варианта исследуемой системы, равный
г = 2тг-у/т/(242^/о + с), здесь и далее £ = .
В этом случае безразмерная нагрузка определяется формулой
Р' = —Р. (1.21)
та
Опуская здесь и далее индекс <*» у безразмерных величин (1.20) и (1.21), запишем безразмерный вариант основных соотношений (1.18)—(1*19) в виде
w-rAf(£, u>) 4- Вxv 4- Cw — P(t),
. иг Л (1.22)
где -
/«, tp) = 2« - ш) [(1 + « - - (1 + (*)-!/*],
л 2 о к г* 2 е
А = т , В = т—} С = т —.
та т т
В случае, если ограничиться рассмотрением лишь малых значений параметра £ (когда углы подъема фермы малы), можно воспользоваться приближеным выражением для нелинейной функции /(4,w), а именно:
/(£, w) = w3- Z£w2 + 2£2w . (1.23)
Уравнения движения и начальные условия имеют в этом случае вид
u>-f A(w3 — 3£ty2 + 2(2w) + Bw + Cw = P(t),
л • VT л (1-24)
w = 0 , w = — при * = 0. a
В случае, если в (1.24) отсутствует демпфирование, a P(t) = const, удается записать решение (1.24) в квадратурах.
Однако, как правило, задачу Коши (1.24) приходится решать численно. При этом удобно ввести новые функции ух и у2 соотношениями
yi = w, У2-п). к (1.25)
Тогда вместо (1.24) имеем систе2лу дифференциальных уравнений первого порядка
^ = %), *,7 = 1,2, (1.26)
где
Fi = -4/(4» У2) - Вух - С(ух + у2) + P(t),
Вг = У\-
Начальные условия
VT
2/2 = 0, 2/1 = — При < = 0.
а
Функция /(4>ут) в правой части (1.26) имеет вид
/(4,п) = 2(4 - »)[(1 + (4 - Ы2Г1/2 - (1 + 42)-1/21 (1-27)
18
или для малых углов подъема
/(£> Ы = - Ну1 + 2£‘уг •
Таким образом, выписаны все необходимые соотношения для описания статического и динамического поведения предложенной нели- . нейной модели.
1.2. Расчет внештатной посадки космического летательного аппарата. В настоящем параграфе предложена нелинейная модель для описания динамического поведения тонкостенных машиностроительных конструкций, когда элементы конструкции могут значительно деформироваться и терять устойчивость. Возможности этой модели продемонстрированы расчетом спускаемого космического летательного аппарата при внештатной посадке на грунт.
Предложенная нелинейная модель была использована в качестве базовой для изучения нелинейного динамического поведения с про-щелкиванием спускаемого аппарата при его взаимодействии с относительно малыми скоростями (у < 15-Г 20м/сек) с жесткими и упругими преградами.
Спускаемый аппарат представляет собою составную оболочку вращения, схематически показанную на рис. 1.3. Конструкция состоит из трехслойного сферического днища и легких конической и сферической оболочек, опирающихся на мощный круговой шпангоут. Пусть спускаемый аппарат движется вертикально с заданной скоростью у и в какой-то момент времени взаимодействует с жестким либо упругим основанием. При этом конструкция спускаемого аппарата деформируется нелинейным образом, а трехслойное сферическое днище может потерять устойчивость с прощелкиванием во внутренний объем спускаемого аппарата.
В нашем распоряжении находились чертежи и данные стендовых испытаний, т.е. были известны размеры и масса элементов конструкции, их жесткости и частоты собственных колебаний. Это позволило построить следующую нелинейную модель, к описанию которой переходим. '*:
19
Динамическое поведение спускаемого аппарата моделировалось нелинейной четырехмассовой системой масс и жесткостей, показанной на рис. 1.4.
Предлагаемая модель представляет собой систему из трех масс 77іьт2, то4, помещенных в центральных узлах двухстержневых систем с углами подъема и с жесткостями стержней на растяжение-
сжатие ЕіРиЕгГ2>ЕіГ4 соответственно. Нижние шарниры этих стержневых систем закреплены на массе ш3, представляющей собой упругое кольцо. Допускалось радиальное перемещение нижних шарнирных опор стержневых систем за счет радиальных перемещений кольца. Кроме того, учитывалось демпфирование, пропорциональное скорости перемещения каждой из масс относительно центра масс всей системы. Эти демпферы на рис. 1.4 не показаны, чтобы излишне не загружать чертеж. Наконец, массы тг и т2 связаны между собой пружиной жесткости с, которая моделирует обжатие заполнителя трехслойного днища.
Ограничимся осесимметричным случаем деформирования механической системы, показанной на рис. 1.4. Будем считать, что изучаемая система находится в покое или движется вдоль оси у под действием приложенной к центру масс силы Р(і). Пусть в некоторый момент времени *о на массы системы начинает действовать система самоуравновешенных сил Рі(і) (» = 1,2,3,4) либо любой из масс системы сообщается кинематическое возмущение.
Относительное перемещение хи{(« = 1,...,4) каждой массы модели отсчитывается в подвижной системе координат с центром в недефор-мируемом положении каждой массы. Положительное перемещение юі совпадает с направлением оси у,, положительное направление силы Рі совпадает с положительным перемещением «\-. Обозначим через ю перемещение центра масс всей системы (т2 = £*=1 т») как твердого пелого.
Очевидно, что инерционные силы в изучаемой модели обусловлены как перемещением ю центра масс, так и перемещениями юі масс относительно подвижных систем координат, а возникающие упругие взаимодействия и сопротивление - только перемещениями
20
ш,- (« = 1,2,3,4). Кроме того, считаем, что ш3 » шг + т2 + ш4, так что взаимные перемещения масс т1,т2 и т4 не изменяют положения центра масс.
Система дифференциальных уравнений задачи имеет следующий вид:
+ и>) + - и>з) + кй)1 + с(гт - ю2) = /\(<),
т2(гиг + ю) + Е2Р2/{£2) ю2 ~ ^з) + кхЬ2 4- с(и?2 - и>].) = Р2{{),
т3(йз + ю) - - гиг) - Е2Р2/(£2>хи2 - ^з)+
+ Е4Р4/(^4> — ^4) + £и>3 = -Рз(<) |
т4(и>4 + и>) - ЕлР4/{£4, г»3 - «ч) 4- кгЬ4 = Р4(<),
(1.28)
т-£Ю = Р(<).
Здесь
т,»)=2«. - «ка + ({.• - «о2)-1'2 - (1+4?)-1'2].
11.29)
& = I = 1,2,4.
При численном интегрировании системы дифференциальных уравнений (1.28) использовались точные выражения (1.29), а не их упрощенные выражения, когда углы <*»• достаточно малы.
Для интегрирования системы дифференциальных уравнений (1.28) необходимо задать десять начальных условий. Обсудим некоторые варианты начальных условий, которые позволяют, отказавшись от рассмотрения контактной задачи, смоделировать процесс соударения изучаемой модели с жесткой или упругой преградой.
1°. Задан начальный импульс скоростей
Начальные условия имеют в этом случае вид
XVI = ю2 — юг = и>4 = ги = 0,
. , . . (1-30)
XVI = куо , хп2 = юг = «ч = и» = — ио.
Изменяя коэффициент к € [0,1], можно моделировать отскок массы от преграды при различных коэффициентах восстановления и последующее независимое движение всей системы.
21
2°. Задана зависимость между перемещением центра масс w и действующей на систему силы P(t).
Начальные условия для системы, движущейся с начальной скоростью vo, имеют вид
Wl = W2 = W3 = ИЦ = W = 0 ,
при* = о. (1.31)
tvi = W2 = *V3 = = 0, w — -ь\)
Зависимость P(t) ~ w может быть задана, например, путем рассмотрения одной из известных приближенных схем взаимодействия жесткого тела заданной формы с упругим основанием типа "грунт”. Так, в случае пологого жесткого сферического тела заданных размеров и известных свойствах основания обычно поступают в соответствии со следующей схемой [19]. Считается, что при погружении сферического тела в упругое основание удельные усилия контактного взаимодействия <п (где * означает этап взаимодействия) равномерно распределены по площади основания отсекаемого сферического сегмента 50С„. Суммарное усилие взаимодействия определяется при этом по формуле
P = criSQсн, Soch = 2тгЛЛ - 7гЛ2, * = 1,2,3. (1.32)
Здесь R - радиус сферы, Л - глубина погружения.
Для величин удельных усилий о{ принят следующий закон:
^1 = о* + Ct(t> - v,)2 при V, ^ V < V0 ,
cr2 = <т, - c2(t>, - v) при 0 < v ^ v, , (1.33)
<rz = cz(h-hjj) При v < 0 .
Здесь <7,,v,,cltc2,cz - некоторые экспериментальные константы, определяющие упругие свойства основания; h„ - глубина лунки в основании после деформации.
В общем случае могут быть использованы и более сложные модели для описания возникающих в процессе такого взаимодействия усилий [7]-[9].
3°. Известны либо закон движения центра масс и>, либо действующая на центр масс сила P(t).
22
Этот случай имеет место, если из каких-либо соображений известен закон изменения перегрузок центра масс системы.
Дифференциальные уравнения задачи имеют в этом случае вид
rriiwi + EiFif(£i,wi - юз) + fcwi + c(^i - w2) = Pi(t) - — P(i),
ms
7712
m2W2 + EbF-iJiiit, ю2 - Юз) + kw2 + с(ю2 - юг) = P2(t)-P(i),
ms
т3и»з 4- EiFif(£i}wi - ю3) - £2F2/(6,ю2 - w3)+ (1.34)
+ EiFiffa^wz - ю4) + fcib3 = P3(<) - — P(0,
ms
т4ю4 - E^F^f(i4iwz - ю4) + fcu>4 = P4(<) - —P(0•
ms
Начальные условия задачи для системы (3.7) могут быть записаны так:
U>i = 1У2 = Ю3 = Ю4 = О
npHt = 0. (1.35)
Ю1 = ю2 = ю3 = Ю4 = О
Если ограничиться рассмотрением лишь первой полуволны зависимости Р(<), характеризуемой амплитудой - Р, временем достижения максимального значения - ттьх и продолжительностью - тимп, то удобно использовать следующую аппроксимацию этой зависимости:
(sin (- при 0 ^ w,
8**1 [ ^имп — 2ттах)| ПрИ Тщах ^ ^ ^ гимп >
О При t ^ Тиип .
При рассмотрении задачи в такой постановке необходимо либо наложить ограничения на перемещения той массы модели, контактом которой с преградой определяется заданная перегрузка центра масс, например, Ю1=0 при 0 ^ t < rk (где гк - заданное время контакта массы с преградой), либо задать закон перемещения этой массы.
Результаты вычислений динамического поведения спускаемого аппарата при внештатной посадке, выполненные с помощью описанной выше нелинейной модели, приведены на рис. 1.5-1.17.
При численном исследовании задачи (1.28), (1.30), (1.31) или (1.34), (1.35) должны быть заданы пятнадцать относительных вели-
23
чин
£1 -®1^1 т1 ^1 V
Г «• ад1 , = 2Л4> (136)
пять безразмерных величин
Л1 = г*М., В]. = т —, С1 = г2 —, Ь=*1, У=^ (1.37)
я^ах т,1 7П1 й1 а!
и размерный параметр г.
Заданием этих величин определяются все коэффициенты исследуемых систем уравнений.
В качестве исходных безразмерных величин были приняты
А\ = 29,1, В1 =0,26, Сг =23,4, &= 0,222.
Остальные относительные величины изменялись в широких пределах.
Поскольку трехслойное дншце представляет собой наиболее ответственный элемент конструкции спускаемого аппарата, то сначала были проведены численные эксперименты с двухмассовой моделью, представляющей собою нижнюю часть четырехмассовой модели, показанной на рис. 1.4. Результаты этих вычислений даны на рис. 1.5-1.14.
На рис. 1.5 показано относительное перемещение первой массы XV1 = гиу./кх в зависимости от времени Т = </т для различных начальных скоростей У=0,519; 0,7785; 1,038; 1,5; 1,9722; 2,4912; 3,0 (кривые 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 соответственно) и фиксированной жесткости с=20. Для заданного диапазона скоростей система всегда прощелкивает, но в зависимости от начальной скорости совершает колебания либо относительно прощелкнутого положения, либо исходного. Начиная с 1,038 (кривая 3), наблюдается несколько повторных прощелки-ваний. На рис. 1.6 дано относительное перемещение первой массы ХУ\ = шх/кх при одной скорости К=0,7785 и четырех жесткостях с=0,1; 1; 5; 10 (кривые 1, 2, 3 и 4 соответственно). На следующем графике рис. 1.7 сплошными линиями, как и прежде, показаны перемещения первой массы, а пунктирной - второй (с=20; К=0,2595; 0,3114 и 0,3633). Вычисления показали, что, начиная со скорости V = 0,3633,
24
система прощелкивает в новое симметричное относительно исходного положение равновесия.
На рис. 1.8 и 1.9 приведены результаты вычисления для с=1 и 0,5 соответственно для К=0,519 и 0,7785 (кривые 1 и 2). На рис. 1.8 для сравнения приведена кривая 3 (У=0,3114), соответствующая случаю, когда система не прощелкивает. На рис. 1.10 и Г. 12 приведены зависимости IV, ~ </г (*=1,2) для Т=0,519 и изменяющихся на порядок жесткостей с=0,1 И 1 (кривые 1 ТВ. 2) ДЛЯ Г€0-г14иТ€0-г7(Т = г/т). Аналогичные кривые для К=0,7785 и двух жесткостей с=0,1 и 1 приведены на рис. 1.11.
Зависимость возникающих в процессе такого движения ускорений от жесткости показана на графике рис. 1.13, где сплошная кривая соответствует 0,7785, а пунктирная - 0,519. По оси ординат отложено отношение ускорения первой массы к некоторой постоянной величине {д/до), по оси абсписс - жесткость с € 1 -г 10.
Перемещения, скорости и ускорения первой массы для Т € о -Г 7 показаны на рис. 1.14,а, ускорения первой и второй массы - на рис. 1.14,5. Параметры скорости и жесткости равны при этом соответственно 0,7785 и 10.
На графиках рис. 1.15-1.17 приведены некоторые результаты вычислений для четырехмассовой модели. На рис. 1.15,а показаны относительные перемещения первой, второй и четвертой масс, на рис. 1.15,5- ускорения этих масс. Вычисления выполнены для случая к = -1, V = 0,519, с = 10 И Т € 0 -г 10.
Результаты вычислений, представленные на графиках рис. 1.16 и 1.17, соответствуют рассмотренным случаям, когда свойства основания, скорость оболочки и ее форма определяют зависимость между перемещением центра масс и действующей на систему силой и когда задана перегрузка центра масс системы. По оси абсцисс на этих графиках отложено время Т = */т, по оси ординат - ускорение соответствующей массы модели. На рис. 1.16 сплошная линия соответствует третьей массе, пунктирная - четвертой, Р=0,3893. На рис. 1.17 приведены значения ускорения третьей массы для трех скоростей: 0,2595, 0,3893 и 0,519. Тип основания при вычислениях на
рис. 1.16 и 1.17 различный, в первом случае основание более жесткое. При вычислениях исключались из рассмотрения последующие за первым соударения изучаемой модели с преградой, т.е. после окончания процесса взаимодействия рассматривалось лишь свободное движение модели.
§ 2. Модельный подход к исследованию ударного взаимодействия конструкций с преградами
При изучении взаимодействия с преградами значительно деформирующихся, вплоть до их смятия, конструкций оказывается удобным представление самой конструкции упруго-вязкой моделью. Что касается самой преграды, то эффективным оказывается представление ее прогибов рядами по собственным функциям. Такой подход был использован С.П.Тимошенко в работе 1912 г. [27] при исследовании удара с относительно небольшими скоростями по балке. Ограничение на величину скорости связано с тем, что при таком подходе не принимаются во внимание волновые явления в конструкции и в преградах.
Сначала будут рассмотрены случаи преград, для которых удается построить точное решение задачи в такой постановке. Затем будет рассмотрен поперечный удар упруго-вязкой панели по стержню и стержню на упругом основании. Предложен эффективный итерационный подход решения задачи и доказана его сходимость. Этот подход решения задачи естественным образом обобщается на случай арок, круговых пластин, круговых пластин на упругом основании и на пологие сферические купола.
В качестве технических приложений отметим проблемы проектирования защитных сооружений ядерных энергетических установок и других важных объектов, проблемы внештатной стыковки космических аппаратов, а также проблемы столкновения кораблей с преградами при маневрировании.
2.1. Основные соотношения. Обсудим свойства упруговязкой модели и выпишем, следуя С.П.Тимошенко, основное интегральное уравнение для определения неизвестного усилия контактного взаимодействия.
Рассмотрим систему с одной степенью свободы, представляющую
27
собой точечную массу т и упруго-вязкий (максвелловский) элемент с коэффициентами жесткости С и вязкости /, т.е. линейный осциллятор с упруго-вязким демпфером. Пусть масса m с упруго-вязким элементом (буфером) движется с заданной скоростью и в момент времени *=0 производит нормальный удар буфером по преграде с заданными свойствами (рис. 1.18).
Обозначим через F(t) и u(t) сжимающую силу в упруго-вязком буфере и его ход за время удара. Пусть иг и и2 есть изменения длины каждого элемента буфера, так что
U = «1 + U2 .
Сжимающая сила F(t) связана с величинами их и и2 соотношениями
F = си г, F = /й2.
Здесь и в дальнейшем точкой обозначено дифференцирование по времени.
Считая коэффициенты с и / постоянными, легко получить следующее соотношение, описывающее свойства упруго-вязкого элемента:
u=-F+\f. (2.1)
с /
Для последующего удобно записать выражение (2.1) в виде
t
u=-eF(t)+yjF(T)dT. (2.2)
О
Неизвестную силу F(t) контактного взаимодействия определим из условия
u(l) = w(t) - wn(i) у (2.3)
где и>(*) и tun(t) - перемещения массы т и преграды в точке контакта. Уравнение движения массы т под действием силы F{t)
тю — -F{i)
28
интегрируется в квадратурах. Для начальных условий w(0) = О, w(Q) = v имеем
Условие (2.3) с учетом соотношений (2.2) и (2.4) дает следующее основное интегральное уравнение для определения усилия контактного взаимодействия F(t):
Здесь юЛ(*) есть перемещение преграды в месте контакта, которое определяется величиной усилия взаимодействия Т(*) и свойствами преграды.
2.2. Точное решение задачи для преград частного вида.
Точное решение задачи, как следует из структуры уравнения (2.5), может быть записано единообразной формулой для следующих типов преград:
1°. Безынерционное основание Фусса-Винклера с коэффициентом жесткости х
2°. Простейшая преграда типа „грунт”, когда усилие взаимодействия F(t) пропорционально скорости перемещения преграды в месте контакта
где ф - некоторый постоянный коэффициент.
3°. Преграда в виде свободной массы М, по которой производится удар. Движение массы М при 0 ^ ^ гк (<* - время окончания
контакта) описывается уравнением
(2.4)
о
-/{<)+)! F(r)d
то
J F(r)(i - r)dr - wn(t). (2.5)
о
о
Iun(t) =
(2.6)
F{i) = ipwn(t) или
(2.7)
0
Mwn(t) = F(t),
29
решение которого при нулевых начальных условиях шп(0) = 0, 1£>п(0) = О имеет вид
с
и>п(*) = ^ ! Р{т)(г - т)<*г. (2.8)
о
Представим основное интегральное уравнение (2.5) для рассматриваемых типов преград (1°,2° и 3°) (и>п(<) определяется формулами (2.6), (2.7) и (2.8) соответственно) в виде
АР(*) + ВI Р(т)с1т + СI Р(т)(1 - т)<1т = тпгЛ. (2.9)
О о
Входящие в это уравнение постоянные коэффициенты определяются следующей таблицей:
А В С
1° 7П 1
Vе х) 1
г 2° т с -(7 + ?) 1 .
3° т с т ! М 4-т М
Применяя к уравнению (2.9) преобразование Лапласа-Карсона, имеем:
Пр)= тьр
Ар2 4- Вр 4- С
или
Ту_л _ К7тур _ К2тур
(Р) ~ р2 + 2(1р 4- “ (р 4- <*)2 4- (к2 - (I2) • (2Л0)
Здесь и далее
Переходя к оригиналу для изображения (2.10), получим
рМ _ 2 при от < 1,
Р{1)-~кГе { 'НЩ при а > 1. (212)
Здесь через £ обозначено
л/1 - <*2 при а < 1, л/а2 - 1 при сг > 1.
■{
(2.13)
Формулы (2.12) определяют решение задачи об ударе одномассовой модели с вязко-упругим буфером о преграду одного из рассмотренных выше типов.
Коэффициенты к, К и а определяются при этом следующей таблицей:
Тип преграды к'1 К2 а — d/k
1° 1 т с+х 1 сх т с+х *?н?г/г
2° с т с т ИнЖ?г1/2
3° Л! 4-т с М т с т 1 т ( т М -+-т \ “1 /2 2 3 V с М )
Из формулы (2.12) следует известное решение для случая абсолютно жесткой преграды (см. [22], с.155, где первая из этих формул получена непосредственным интегрированием дифференциального уравнения задачи). В этом случае
График изменения усилия Р{і) контактного взаимодействия во времени при ударе рассматриваемой модели по абсолютно жесткой
31
преграде показан на рис. 1.19. Для простоты считается, что буфер „прилипает” к преграде, т.е. исключаем из рассмотрения отскок массы от преграды. При вычислениях по формулам (2.12) - (2.14) приняты следующие параметры модели: масса т = 10кгс2/см, коэффициент жесткости буфера с = 5,0-Ю3 кг/см, коэффициент вязкости / = 400 кгс/см, начальная скорость соударения v = 100 см/с.
Для преград более сложного типа (балки, пластины, оболочки), как правило, не удается получить замкнутое решение задачи динамического взаимодействия. Однако в некоторых случаях можно построить эффективный итерационный процесс с использованием точных решений для упрощенной задачи. Продемонстрируем такой прием на примере бокового удара по балке.
2.3. Поперечный удар по свободно опертому стержню. Основные соотношения. Рассмотрим нормальный поперечный удар одномассовой модели с упруго-вязким буфером по двухопорному стержню для случая его свободного опирання (рис. 1.20). Пусть масса модели равна т, коэффициенты жесткости и вязкости буфера составляют с и / соответственно, a v есть начальная скорость взаимодействия модели и стержня.
Исходное уравнение. Следуя С.П.Тимошенко, примем следующую зависимость между динамической силой взаимодействия модели и стержня F{t) и прогибом стержня wn(t) в точке приложения силы:
wn(i) = У2 — sill2 f F{t) sin wn(t - r)rfr, (2.15)
mil “ « J
о
т.е. учтем податливость стержня в процессе ударного взаимодействия па основании известного решения о вынужденных колебаниях свободно опертого призматического стержня. В формуле (2.15) через и)п обозначены собственные частоты изгибных колебаний стержня, равные
, » = 1,2,3,.,., (2.16)
где / - длина стержня, - масса стержня на единицу длины, EJ -жесткость стержня на изгиб.
32