Работа выполнена в Сибирском государственном аэрокосмическом университете имени академика М.Ф. Решегнёва
2
Введение
Содержание
5
Глава I. Устойчивость стержневых систем и аналогии с неремагничнванием двухслойных обменно-связанных структур 11
1. Устойчивость стержневых конструкций 11
2. Прощелкивание стержневых конструкций 13
3. Решение задачи об изгибе стержня 16
4. Аналогия изгиба упругого стержня с перемагничиванисм двухслойной обменно-связанной структуры 22
Выводы к главе I 23
I
Глава II. Нелинейный изгиб упругой двухзвеньевой стержневой системы: сосредоточенная нагрузка постоянного направления 24
1. Двухзвеньевая стержневая система при шарнирном закреплении
в основании 24
1.1. Симметричные формы изгиба системы 25
1.2. Несимметричные формы изгиба системы 35
2. Изгиб при жестком закреплении в основании 42
3. Изгиб при упругом закреплении в основании 45
Выводы к главе II 49
Глава III. Нелинейный изгиб упругой стержневой системы:
учет сжатия 50
1. Изгиб упругого стержня под действием продольной сжимающей нагрузки 50
2. Изгиб двухзвеньевой стержневой системы при шарнирном закреплении в основании 56
Выводы к главе III 62
Глава IV. Гистерезис в двухслойной обменно-связанной структуре с одноосной анизотропией - аналогии прощелкивання упругого стержня
при изгибе со сжатием 63
1. Перемагничивание двухслойной магнитной обменно-связанной структуры с учетом одноосной анизотропии 63
2. Гистерезис в магнитной структуре - аналогия прощелкивания упругой системы 68
Выводы к главе IV 70
Заключение 71
Библиографический список литературы 73
Приложения
1. Программа расчета нелинейного изгиба стержней при различных граничных условиях и нагрузках для пакета Мар1е 8 84
2. ПрОфаммы для упругой двухзвеньевой стержневой системы
под действием поперечной сосредоточенной нафузки для пакета Мар1е
2.1. Расчет и визуализация форм изгиба 102
2.2. Зависимость прогиба от нафузки 103
3. Профамма построения зависимости прогиба от нагрузки при изгибе упругого стержня со сжатием для пакета Мар1е 109
4. Решение уравнения изгиба стержня типа уравнения нелинейного маятника 112
5. Решение уравнения изгиба упругого стержня с учетом сжатия 114
4
Введение
В различных областях науки и техники всегда большое внимание привлекают проблемы устойчивости и колебаний стержневых систем. Задачи проектирования устройств микромеханики и зонтичных антенн космических аппаратов требуют поиска точных выражений для форм изгиба стержневых конструкций с различными видами закрепления и способами приложения нагрузки. Необходим точный анализ конструкций ферм и рам при различных условиях оттирания, которые относятся к распространенным элементам в строительных и авиационных системах.
При различных условиях опирания и способах приложения нагрузки могут возникать сложные изогнутые формы конструкций. Для понимания устойчивости и поведения таких сложных составных стержневых конструкций необходимо учитывать эффекты нелинейности, что чребует применения современных аналитических методов решения.
В настоящее время перед инженерами-конструкторами стоят задачи миниатюризации спутников, поэтому создание достаточно удобных программ визуализации точных прогибов изогнутых стержневых конструкций имеет прикладное инженерное значение при расчете устройств точной механики в условиях ограниченных габаритов. Сравнение точных аналитических решении с приближенными позволить найти области параметров, где целесообразно использовать точное или возможно использование приближенного решения, и тем самым выбрать оптимальные характеристики проектируемых устройств точной механики.
Фермы и рамы принято в литературе относить к простейшим стержневым системам. Однако они имеют достаточно сложные нелинейные зависимости прогиба от нагрузки. Характерные черты потери устойчивости конструкций ферменного типа в основном такие же, как и у более сложных систем, например сетчатый купол с треугольной решеткой [1].
5
Конструкции ферменного типа неоднократно рассматривались многими авторами как самостоятельный объект исследования или как идеализация более сложных стержневых систем.
Система из двух одинаковых стержней, соединенных с основанием и между собой идеальными шарнирами, так называемая ферма Мизеса, была впервые изучена в работах Mises [2], Mises и Ratzersdorfcr [3]. В дальнейшем исследованию различных ее модификаций были посвящены многочисленные работы, среди них следует отметить статьи Bellini [4], Walker, Croll, Wilson [5], Турищева [6J, Huang, Vahidi [7], Pecknold, Ghaboussi, Healey [8], Ashwani K. Padthe и др. [9].
Задача об изгибе стержня является основой для расчета составных стержневых конструкций. Как правило, такие задачи решаются на базе приближенных линеаризованных уравнений равновесия для изогнутых стержней, приводящих к решениям в виде полиномов. Используются чаще всего именно эти решения. Вместе с тем имеются для некоторых случаев точные решения нелинейных уравнений, выраженные в квадратурах [10-14], или в эллиптических интегралах [15, 16]. В последнем случае решения определяются тремя параметрами. Все эти решения имеют громоздкий вид и труднодоступны для инженеров-практиков, поэтому до последнего времени решались задачи получения приближенных выражений даже для таких стандартных характеристик, как максимальный прогиб стержня [17, 18J. В последнее время есть определенный прогресс в получении точных решений, выраженных через эллиптические функции с единственным параметром, определяемым действующей силой. В связи с этим представляет интерес изучение сильного изгиба составных стержневых конструкций под действием сосредоточенных нагрузок при различных условиях закрепления.
Задача о перемагничивании магиитомягкого слоя на магнитожесткой подложке с закрепленным и свободным магнитным моментом на поверхностях активно изучается длительное время. Закрепление на поверхности раздела слоев обусловлено обменными силами, и такие системы
6
получили название обменно-связанных структур. В работах Ю.В. Захарова [19-21] была найдена аналогия между задачей о перемагничивании магнитного слоя с несимметричными граничными условиями и задачей Эйлера об устойчивости упругого стержня. Для магнитной системы была найдена последовательность пороговых полей потери устойчивости ферромагнитного слоя как аналогия исследованной М.А. Лаврентьевым и А.Ю. Ишлинским [22] динамической потери устойчивости упругой системы.
Найденная аналогия помогла получить ряд аналитических результатов для описания устойчивости магнитных и упругих систем. Так, для упругих систем были найдены точные решения в эллиптических функциях нелинейного уравнения сильного изгиба упругого стержня под действием поперечной сосредоточенной нагрузки на свободном конце [23, 24].
Полученные теоретические результаты позволяют подойти с новых позиций к анализу более сложных упругих систем, и, в частности, к анализу задач об изгибе двухзвсньсвой стержневой системы.
В работах Л.И. Шкуппта [25, 26] краевые задачи плоского изгиба прямого стержня сформулированы на основе обобщенных уравнений, учитывающих нелинейную зависимость между деформациями изгиба, растяжения и сдвига. Рассмотрен продольный и поперечный вариант нагружения стержня следящей силой и силой постоянного направления. Такие нелинейные краевые задачи были численно решены методом стрельбы. В связи с этим представляет интерес аналитическое решение задачи об изгибе с учетом сжатая упругой стержневой системы.
Интересно не только само явление потери устойчивости конструкций, но и их закрнтическое поведение. Всякие попытки точно решать сложные проблемы устойчивости и механики сплошных сред приводят к необходимости получения и решения соответствующих, как правило, нелинейных уравнений.
7
Целью работы является исследование устойчивости упругих стержневых систем под действием внешней нагрузки в геометрически нелинейном случае с учетом изгиба и сжатия, нахождение порогов устойчивости и соответствующих форм изгиба конструкций.
Основные задачи работы:
1. провести исследование симметричных и несимметричных форм изгиба упругой двухзвеньевой стержневой системы под действием сосредоточенной нагрузки постоянного направления;
2. исследовать поведение упругой стержневой системы для трех случаев закрепления в основании конструкции: шарнирное, жесткое и упругое;
3. исследовать нелинейный изгиб упругой стержневой системы с учетом сжатия;
4. установить аналогию изгиба с учетом сжатия упругой стержневой системы с перемагничиванием двухслойной обменно-связанной структуры с одноосной анизотропией.
Научная новизна работы:
- получено и точно аналитически решено геометрически нелинейное уравнение изгиба упругого стержня с учетом сжатия;
- показано, что зависимость прогиба свободного конца упругого стержня от нагрузки при нелинейном изгибе с учетом сжатия имеет гисзерезис, раскрывающийся при пороговом значении материального параметра;
- найдена система статических порогов внешней нагрузки и соответствующие формы изгиба упругой двухзвеньевой стержневой системы;
- показана аналогия прощелкивания упругого стержня при изгибе со сжатием и гистерезиса в двухслойной обменно-связанной магнитной структуре с одноосной анизотропией.
8
Научная и практическая значимость. Проведенные исследования расширяют существующие представления о возможностях и способах построения аналитических решений нелинейных задач механики деформируемого твердого тела в ряде случаев сильных изгибов со сжатием тонких упругих стержневых конструкций под действием внешних нагрузок. Полученное точное пороговое значение раскрытия петли гистерезиса для зависимости прогиба от нагрузки позволяет оценить возможности прощелкивания упругой стержневой системы.
Полученные решения могут быть использованы при расчете упругих систем микромеханнки и при отладке численных мегодов решения подобных задач. Созданные прикладные программы позволяют визуализировать точные формы изгиба упругих стрежневых систем при различных условиях.
Личный вклад автора: приняла активное участие в постановке задач исследования и анализе полученных результатов, успешно получила все аналитические решения и выполнила численные расчеты. Настоящая работа является итогом исследований, выполненных автором в 2005 - 2009 гг.
Публикации. По материалам диссертации имеется 19 публикаций [72-90], из них 2 по списку ВАК.
Положения, выносимые на защиту:
1. анализ поведения симметричной и несимметричной упругой двухзвеньевой стержневой системы при шарнирном, жестком и упругом закреплении в основании под действием сосредоточенной нагрузки постоянного направления;
2. точное аналитическое решение задачи об изгибе с учетом сжатия упругой стержневой системы;
3. зависимость прогиба от нагрузки при нелинейном изгибе с учетом сжатия и прощелкивание упругой стержневой системы;
4. рассмотрение задачи о перемагничивании двухслойной обмешю-связанной магнитной структуры с одноосной анизотропией как аналогии изгиба со сжатием упругой стержневой системы.
9
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на: международной молодежной научной конференции «XXXI Гагаринские чтения» (Москва, МАТИ - РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2005 г.), научных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых-физиков (НКСФ-2005, НКСФ-2009, Красноярск, КрасГУ, СФУ, 2005 и 2009 гг.), конференции «IV Всссибирский конгресс женщин-математиков» (Красноярск, СибГТУ, 2006 г.), XX международной школе-семинаре «Новые магнитные материалы микроэлектроники» (Москва, физфак МГУ, 2006), IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского, 2006 г.), IX и X международных научных конференциях «Решетневские чтения» (Красноярск, СибГАУ, 2005 и 2006 тт.), международной конференции «Новое в магнетизме и магнитных материалах» (Москва, физфак МГУ, 2009 г.). Работа докладывалась на научных семинарах кафедры технической физики Сибирского государственного аэрокосмического университета и Института вычислительного моделирования СО РАН.
На разных этапах работа была поддержана грантами: РФФИ проект 02-01-01017; Проект 4418 ведомственной научной программы “Развитие научного потенциала высшей школы”; Государственный контракт № 02.438.11.7043 с Роснаукой по теме 2006-РИ-16.0/001/076; Программа Минобразования России “Развитие научного потенциала высшей школы” проект № 2.1.1./735; Государственная премия Красноярского края за высокие результаты в научных разработках, достигнутые в 2007 году.
Диссертации состоит из введения, четырех глав, выводов, заключения, списка цитируемой литературы и приложений. Объем работы составляет 120 страниц, включает 30 рисунков; библиография включает 90 наименований.
10
- Київ+380960830922