2
ВВЕДЕНИЕ
Тонкие оболочки различного очертания широко применяются в современном машиностроении, авиа- и ракетостроении, промышленном и гражданском строительстве.
Научно-технический прогресс предъявляет все более высокие требования к прочности конструкционных материалов. В настоящее время широко используются композиты, получаемые путем армирования (укрепления) материала ориентированными прочными и жесткими волокнами; металлы, обработанные давлением, и другие высокопрочные материалы, обладающие ортогональной анизотропией. Эффективное конструирование изделий из таких материалов возможно лишь при учете и правильном использовании их упругих свойств. Так как высокопрочные материалы склонна к хрупкому разрушению, наличие микродефектов, конструктивных разрезов и остроконечных полостей существенно влияет на прочность конструкций и может привести к их полному или локальному разрушению. Поэтому исследования напряженно-деформированного состояния около разрезов в тонких ортотропных оболочках представляют теоретический и практический интерес.
Разработке теории и методов решения двумерных задач механики хрупкого разрушения посвящено большое количество работ советских и зарубежных авторов, достаточно полный анализ которых приведен в монографиях Г.П.Черепанова / 82 /, В.З.Партона, Е.Н.Морозова / 60 /, В.В.Панасюка, М.П.Саврука, А.П.Дацышин / 58 /, В.З.Партона, П.И.Перлина / 61, 62 /, Л.Т.Бережницкого, М.В.Деляв-ского, В.В.Панасюка / 5 /, А.Н.Гузя, М.Ш.Дышеля, Г.Г.Кулиева, О.Б.Миловановой / 65 /, обзорных статьях Г.И.Баренблатта / 4 /, Париса, Си / 59 /, Г.Н.Савина, В.В.Панасюка / 67 /.
3
Анализ перечисленных исследований показывает, что в настоящее время существует два подхода к решению задач о напряженно-деформированном состоянии вблизи разрезов в пластинах и оболочках:
1) метод комплексных переменных с решением задачи сопряжения, связанный с предельным переходом к разрезу в задаче о концентрации напряжений около эллиптического отверстия. Этим методом, например, была решена задача о напряженно-деформированном состоянии цилиндрической оболочки с продольным, поперечным и произвольно ориентированным разрезами в работах М. V. Multru/у
K.P. Pew, Л. К. Раю / in, иг /, И. V. lakzhmi -nazo^c^na. f М. Z. МигЫъу /109/;
2) метод граничных интегральных уравнений (ГИУ), которым получены наиболее существенные результаты при исследовании распределения напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Основными достоинствами метода ГИУ являются уменьшение размерности задачи, применение аналитических и численных методов решения интегральных уравнений, возможность сразу определять неизвестные величины на границе, не вычисляя их во всей области.
Для построения системы интегральных уравнений обычно используется один из следующих методов:
- метод, основанный на теории функций комплексного переменного и интегралов типа Коши (в работах Л.М.Линькова, Н.И.Мусхе-лишвили, М.П.Саврука, Л.А.Филыптинского);
- метод интегральных преобразований (в работах /. Д/ $>ned-don} E.b.FohüS, J.(j. Sim rv\Ondz % М.П.Саврука, ß.П.Шевченко);
- метод потенциалов (в работах В.А.Осадчука, J В.П.Шевченко, Л.А.Фильштинского).
4
Близко к теме настоящего исследования примыкают задачи механики оболочек с тонкими включениями, для решения которых также используется метод ГИУ. В работах Д.В.Грилицкого,В.К.Опанасовича, И.П.Шацкого / 17-19 / предельным переходом к разрезу в задаче о напряженно-деформированном состоянии цилиндрической оболочки с тонким включением получены коэффициенты интенсивности усилий и моментов, характеризующие напряженное состояние вблизи вершин разреза (КЙН) для цилиндрической оболочки с прямолинейным разрезом.
Ряд авторов / 14, 115 / приводят исходную краевую задачу к системе интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода, которая затем решается численно. Однако этот метод технически гораздо сложнее, чем широко применяемые в настоящее время прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений (СИУ) / 27, 30, 61, 96 /.
Изотропные и анизотропные пластины с прямолинейными и криволинейными разрезами, находящиеся под воздействием различных нагрузок, рассмотрены в работах / 3, 5-8, 13-15, 35, 36, 56-58,
68, 73 /.
Как показывают экспериментальные исследования, прочность оболочек с трещинами ниже, чем тонких пластин. Однако из-за трудностей математического и вычислительного характера исследования концентрации напряжений около трещин в оболочках начали развиваться только в последние два десятилетия.
Первые решения были получены для оболочек частного вида: цилиндрической и сферической.
В 1965-67Г.Г. Е.$.Ройа$ рассмотрена симметричная задача о находящейся под давлением сферической оболочке с меридиальной трещиной / 102 / и цилиндрической оболочке с продольной / ЮЗ / или поперечной / 101 / трещиной. Автор свел задачу к двум СИУ.
5
Решение системы уравнений для трещин “малой" длины (у# - о (I), где y62r J 12.(4-•)2-) ^ /Ик' v) - коэффициент Пуассона; Ил Е - радиус кривизны и толщина оболочки; £ & - длина трещины) при постоянной нагрузке на трещине представлялось в виде ряда.
КИН были вычислены в первом приближении.
Полученные £5. Fo&iCLS интегральные уравнения позже были численно решены F. В. ЕгЕоу&п, t J. J Кл£р£г / 97 / и F. Е. E2doOjCl^j И. EcdiVtlni / 99 / для сферической и цилиндрической оболочек с продольной или поперечной трещиной "средней" длины. В работах / 105, 106 / проводится сравнение решений ES.FoicAS с численными результатами ЕЕ. Ezdo^Ayij
J.J. fb'Mez.
Б работе / 104 /ES.Fo£cClS> обобщает полученные им результаты. Наряду с рассмотренным ранее методом решения системы интегральных уравнений, он предлагает еще один метод - разлагать искомые функции в ряд по функциям Бесселя I-го рода. В этой работе также получены решения для конической и тороидальной оболочек и показано какое влияние оказывает упругое основание на КИН.
В.Т.Сапунов и Е.М. Морозов / 69 / на основе работы / 102 / исследовали характер напряжений в тонкостенной сферической оболочке с исходной сквозной трещиной, нагруженной равномерным внутренним давлением.
В 196б-67г.г. С.Я.Ярема и М.П.Саврук / 89 / независимо от
В. 5 FoEag рассмотрели симметричную задачу о напряженном состоянии цилиндрической оболочки с продольной или поперечной трещиной.- Этими же авторами рассмотрена цилиндрическая оболочка с произвольно ориентированной трещиной / 90 / и пологая изотропная оболочка произвольной двоякой кривизны с разрезом "малой” длины вдоль линии кривизны / 86-88, 91 /.
6
В 1969 г.. I. 6. £ор£о^ , У/. / 92 / получили
СИУ симметричной задачи для цилиндрической оболочки с продольной трещиной, находящейся под равномерным внутренним давлением (отличные от уравнений Ро£/.йВ / 103 /).
В 1976 г. У £. $1т™онс1$, М. Я. ВьлЛРеу / 117 /
рассмотрели находящуюся под произвольным давлением изотропную оболочку двоякой кривизны, содержащую "короткую” трещину, ориентированную вдоль линии кривизны срединной поверхности оболочки.
В первом приближении ими получены формулы для КИН при растяжении и изгибе оболочки. Авторы показали влияние исходной кривизны оболочки на КИН и связь полученных ими результатов с результатами /. 0. СорРеу, У/. $лис/ег2} ЕЛ.РоЬаь для цилиндрической и сферической оболочек.
Позднее J%G. ^>1п^гу\ОУгс1я>, А/. Я.
7.1т/. МссЯоРвОП /118 / рассмотрели пологую изотропную оболочку, подверженную произвольной самоуравновешенной нагрузке и содержащую "короткую” прямолинейную трещину, составляющую произвольный угол с направлениями кривизны срединной поверхности.
Наиболее полно результаты исследований напряженно-деформированного состояния пологих изотропных оболочек с трещинами отражены в монографии В.В.Панасюка, М.П.Саврука, А.П.Дацышин / 58 /. Для цилиндрической и сферической оболочек с "малыми" трещинами приведены КИН во втором приближении, а для оболочек двоякой кривизны с произвольно ориентированной трещиной - в первом приближении.
В монографии М.П.Саврука / 68 / предложена методика сведения основных задач для пологих оболочек с криволинейными трещинами к ГИУ и получены в первом приближении коэффициенты интенсивности мембранных усилий для оболочки с дугообразной трещиной, находя-
7
щейся под воздействием равномерного внутреннего давления.
Во всех перечисленных выше работах рассматривались только изотропные оболочки. В связи с широким использованием композитов актуальными являются исследования влияния анизотропии на напряженное состояние оболочки вблизи трещины.
В статье ЕЕ. Еъ-До^Л/г / 95 / описан метод решения для ортотропной цилиндрической оболочки с продольной трещиной в предположении, что модуль сдвига не является независимым
параметром, а выражается через модуль Юнга и коэффициент Пуассона как и в случае изотропии
г I ЕЕЕл
^ ' го
Это позволяет свести задачу к решению системы интегральных уравнений, соответствующих изотропной оболочке. Симметричная задача рассмотрена Е. Ег.с1ода.И; М. RaAwa.nl; и. Уизеодб«
/ 100/, антисимметричная - М, /Г(Xп.
/ 121 /.
Исследованию напряженно-деформированного состояния изотропных, трансверсально-изотропных и специально ортотропных оболочек частного вида с прямолинейной трещиной посвящены работы / 34,
51, 54, 63, 93 , 94, 108, 110, ИЗ, 115, 116, 120 /.
Отсутствие решений для общего случая ортотропии материала оболочки было вызвано трудностями получения ядер ГИУ.
В работах В.П.Шевченко, В.К.Хижняка / 75-77,83,84 / методом двумерного интегрального преобразования Фурье от обобщенных функций получены интегральные представления решений уравнений теории пологих ортотропных оболочек с разрезами,найдены фундаментальные
8
решения в виде, пригодном для дальнейшего использования, и разработан общий метод построения ГИУ.
В.А.Цвангом, В.П.Шевченко / 78-81 / получена система интегральных уравнений для ортотропной оболочки, ослабленной криволинейной трещиной, и проведены численные расчеты для ортотропных и изотропных оболочек с прямолинейной трещиной.
Замкнутая по одной из координат и бесконечная по другой анизотропная оболочка, ослабленная системой поперечных трещин, рассмотрена В.А.Любчаком, Л.А.Фильштинским /40, 74 /. В качестве примера исследована ортотропная цилиндрическая оболочка с поперечной трещиной, рассмотрено влияние подкрепляющего ребра на КИН.
Эти результаты получены для общего случая ортотропии материала.
Большой теоретический и практический интерес представляют исследования взаимного влияния нескольких трещин на величину КИН, которые начади проводиться сравнительно недавно.
Симметричная задача для подверженной внутреннему давлению цилиндрической оболочки, содержащей две осевые коллинеарные трещины равной длины, рассмотрена Р. ЕъЛод&УЬ /95/ и
Р. Еъс!ода.у\) М. / 98 /.
Наиболее существенные результаты при исследовании взаимовлияния прямолинейных трещин получены методом дисторсий для тонких упругих оболочек с разрезами, разработанным в работах Я.С.Под-стригача, В.А.Осадчука, Е.М.Федюка, М.М.Николишина / 44, 45, 64 /. Этот метод позволяет свести исходную краевую задачу к системе СИУ типа Коши.
В работах В.А.Осадчука, Е.М.Федюка рассмотрены пологие изотропные цилиндрические оболочки с продольными и поперечными кол-линеарными трещинами / 52, 53, 71 /.
9
Е.М.Федюком / 72./ исследовано взаимовлияние двух коллине-арных.и четырех крестообразно расположенных трещин в пологой изотропной сферической оболочке.
В работах В.А.Осадчука и М.М.Николишина / 46, 49, 50 / рас-мотрены замкнутые изотропные и трансверсалъно-изотропные цилиндрические оболочки с использованием уравнений общей моментной теории оболочек и установлены пределы применимости результатов, полученных на основе теории пологих оболочек.
В перечисленных выше работах Я.С.Подстригача, В.А.Осадчука, Е.М.Федюка и М.М.Николишина использовались уравнения равновесия цилиндрической оболочки в перемещениях. В работах В.А.Осадчука и И.С.Костенко (Ярмощук) / 31, 32, 47, 55 / исследовано упругое равновесие изотропных и специально ортотропных (при тех же ограничениях на модуль сдвига , что и в работах р.Е.Е ёс(о -
%(ХК ) оболочек с использованием комплексного преобразования Новожилова, позволяющего вдвое понизить порядок исходных дифференциальных уравнений и тем самым упростить процедуру построения аналитических решений.
Из-за трудностей получения в явном виде ядер СИУ для оболочек произвольной гауссовой кривизны исследования взаимного влияния нескольких трещин ограничивались изотропными и специально-ортотропными оболочками частного вида (сферической и цилиндрической).
Во всех перечисленных выше исследованиях решение строилось в предположении, что в процессе деформирования оболочки отсутствует контакт берегов разреза. Контроль выполнения граничных условий на контуре трещины осуществлялся в работах В.А.Осадчука, М.М.Николишина, Е.М.Федюка, И.С.Костенко, а также в работах
В.П.Шевченко, В.А.Цванга и Л.А.Филыптинского, В.АЛюбчака.
10
При решении симметричной задачи эти авторы ограничивались случаем растягивающей нагрузки на линии разреза или комбинации растя-
загруженной тонкой пластине отсутствует контакт берегов.
Целью настоящей работы является развитие методики применения теории обобщенных функций и двумерного интегрального преобразования Фурье к решению задачи о напряженном состоянии ортотропной оболочки произвольной кривизны с системой разрезов; исследование влияния кривизны оболочки, ортотро-пии материала, размеров трещин, а также их взаимного влияния на КИН в оболочках, подверженных комбинированному воздействию растяжения и изгиба; определение области нагрузок, при которых имеет место частичный или полный контакт берегов разреза.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы.
Во введении обоснована актуальность рассматриваемых задач, приведен обзор методов и основных результатов исследования напряженно-деформированного состояния оболочек с трещинами, кратко изложены цель и основные результаты таботы.
В первой главе дана постановка задачи о напряженном состоянии тонкой оболочки произвольной кривизны с системой криволинейных разрезов и приведены основные соотношения, необходимые для ее решения.
При помощи теории обобщенных функций и двумерного интегрального преобразования Фурье получены интегральные представления внутренних усилий и моментов для тонкой ортотропной оболочки с криволинейными разрезами. Ядра интегральных представлений построены с помощью фундаментальных решений уравнений статики пологих ортотропных оболочек, полученных в работах В.П.Шевченко.В.К.Хижня-
жения Р и изгиба
/ 53 /, когда в аналогично
II
ка / 75, 77, 84 /.
Во второй главе построена система ГИУ задачи о напряженном состоянии пологой ортотропной оболочки произвольной гауссовой кривизны с криволинейными разрезами. Комбинированием интегралов от граничных условий задача сведена к решению системы 4 N СИУ типа Коши с неинтегральными добавками. Ядра ГИУ получены в замкнутом виде и состоят из суммы сингулярной и регулярной частей. Неинтегральные члены регулярны или имеют на концах отрезка интегрирования логарифмическую особенность. Приведены 4К дополнительных соотношений, обеспечивающих единственность решения системы ГИУ в классе функций, неограниченных на концах отрезка и зм дополнительных условий для определения постоянных интегрирования. Получено условие для проверки отсутствия контакта берегов разреза.
Разработанная методика решения задач механики оболочек с криволинейными разрезами конкретизирована применительно к пластинам и оболочкам с дугообразными разрезами. Получено приближенно-аналитическое решение для изотропной оболочки при равномерно распределенной нагрузке (растяжение и сдвиг). Для тонкой пластины, находящейся под воздействием растяжения, сдвига и изгиба, определена область нагрузок, при которых имеет место контакт берегов разрезов.
В третьей главе для произвольно ориентированных прямолинейных трещин наряду с рассмотренным ранее для криволинейных разрезов предложен другой вариант выбора неизвестных функций, позволяющий избавиться от неинтегральных добавок в СИУ, упростить проверку граничных условий на берегах разрезов и уменьшить количество неизвестных постоянных интегрирования в четвертом уравнении. Рассмотрена симметричная задача для ортотропной обо-
12
лочки с одной и двумя (параллельными и коллинеарными) трещинами вдоль линий главных кривизн. Исследовано влияние ортотропии материала, кривизны оболочки, взаимного расположения и длины разрезов на поведение их берегов и на КИН у вершин разрезов при комбинированном воздействии растяжения и изгиба.
Определены пределы применимости результатов для специально ортотропных материалов к вычислению КИН в ортотропных оболочках произвольной кривизны, изготовленных из различных реальных ортотропных материалов.
В заключении сформулированы основные результаты работы и выводы.
В приложении приведены основные свойства специальной функции ^ ; интегралы, использующиеся при постро-
ении аналитического решения задачи о напряженно-деформированном состоянии пластин и оболочек с дугообразными разрезами; метод механических квадратур для сингулярных интегралов типа Коши; квадратурные формулы для вычисления интегралов от осциллирующих функций (метод Файлона); интерполяционные полиномы по Чебышев-ским узлам и интегралы от них.
На защиту выносятся:
- методика построения системы ГИУ задач механики пологих ортотропных оболочек произвольной кривизны, ослабленных системой разрезов;
- выводы о пределах применимости соотношений для специально ортотропных материалов при вычислении КИН в оболочках, изготовленных из реальных ортотропных материалов;
- результаты численного исследования влияния упругих и геометрических параметров оболочки, величины и взаимного расположения разрезов на КИН в ортотропных оболочках с разрезами
13
вдоль линий главных кривизн при комбинированном воздействии растяжения и изгиба.
достоверность основных научных положений и полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задачи и применяемого математического аппарата, использованием для решения системы ГИУ теоретически обоснованных численных методов, сопоставлением некоторых решений с известными результатами, полученными различными авторами другими методами.
Практическая ценность. Диссертационная работа выполнена в рамках госбюджетной темы В-81.17/6.16 "Разработка асимптотических методов решения статических и динамических задач для тонкостенных изотропных и неоднородных тел при наличии концентраторов напряжений" (номер государственной регистрации 0181.400999), разрабатываемой на кафедре теоретической и прикладной механики Донецкого госуниверситета согласно плану научных исследований по естественным наукам на 1981-1985 годы (Постановление Президиума АН УССР № 587 от 30.12.81г.).
Полученные результаты имеют теоретическое и прикладное значение и могут быть использованы в НИИ и КБ,занимающихся расчетом и проектированием оболочечных конструкций из композитных материалов. Они позволяют оценить влияние различных упругих и геометрических параметров на прочность оболочек с разрезами.
Материалы диссертационной работы внедрены в учебный процесс в Донецком государственном университете.
Апробация работы. Отдельные результаты, изло-' женные в диссертационной работе, докладывались на П Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Днепропетровск, 1981г.), на Ш Республиканской конференции "Вычислительная математика в современном научно-техническом
и
прогрессе" (Канев, 1982г.), на Республиканском симпозиуме "Концентрация напряжений" (Донецк, 1983г.)» на ХШ Всесоюзной конференции "Теория пластин и оболочек" (Таллин, 1983г.) и на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава донецкого государственного университета.
Диссертационная работа в целом обсуждалась на объединенном семинаре Донецкого государственного университета и Института прикладной математики и механики АН УССР по механике сплошных сред под руководством члена-корреспондента АН УССР, профессора
A.С.Космодамианского (Донецк) и на научном семинаре отдела механики неоднородных тел Института прикладных проблем механики и математики АН УССР под руководством докт. физ.-мат. наук
B.А.Осадчука (Львов).
По результатам работы опубликовано семь научных статей.
15
ГЛАВА I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ И МОМЕНТОВ ДЛЯ ПОЛОГИХ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК, ОСЛАБЛЕННЫХ СИСТЕМОЙ КРИВОЛИНЕЙНЫХ РАЗРЕЗОВ
В настоящей работе общий метод построения ГИУ смешанных задач теории оболочек, разработанный В.П.Шевченко, В.К.Хижняком / 75-77, 83, 84 /, конкретизирован применительно к тонким орто-тропным оболочкам с системой криволинейных разрезов. Данная глава посвящена получению интегральных представлений внутренних усилий и моментов, на использовании которых основано построение системы ГИУ.
§ 1.1. Постановка задачи о напряженно-деформированном состоянии ортотропной оболочки с разрезами
Рассмотрим тонкую упругую оболочку ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ 1^1 ,
изготовленную из ортотропного материала так, что в каждой ее точке линии главных кривизн срединной поверхности совпадают с главными направлениями упругости материала. Система ортогональных координат ( X , ^ , Е ) выбрана таким образом, что координаты X , у ориентированы вдоль линий главных кривизн срединной поверхности, а координата 2 направлена по нормали к ней. Оболочка ослаблена системой /ч сквозных криволинейных разрезов (рис. 1.1), длины которых велики по сравнению с толщиной оболочки, но малы по сравнению с ее другими линейными размерами. Это позволяет рассматривать задачу о равновесии тонкой оболочки с разрезами при помощи двумерной теории оболочек. В рамках этой теории трещины моделируются как математические разрезы срединной поверхности оболочки. Запишем уравнение разреза в параметрической форме
16
Рис. I.I
Рис. 1.2
17
Х = о/т (+*)> и,1)
Здесь с1 уу\ (куп) * НууУ гладкие функции параметра ,
£ - длина т-ой трещины. При таком выборе параметра^
имеют место следующие соотношения / 29 /:
°^ГУ\ 0*гп) у ^уу\ ('кгп)~ (12)
с1гу\ №к)::~^гг\ ^//И у К-гл ^гг>7 ,
где /7^, ^2А>» ~ направляющие косинусы единичного вектора внешней нормали ^ ул р ^у*л ~ (()* + (р*п )г) - кривизна
кривой /т.
Срединная поверхность оболочки представляет собой многосвязную область, ограниченную внешним контуром Л0 и непересе-кающимися разрезами 4„ (™ = /V ^.
Будем считать, что расстояние между трещинами и внешним контуром велико по сравнению с их размерами.
В силу линейности задачи напряженное состояние оболочки можно представить в виде суммы напряженного состояния в оболочке без трещин при заданной внешней нагрузке, которое считаем известным (в дальнейшем оно будет обозначаться величинами /*), и искомого возмущенного напряженного состояния, вызванного наличием трещин.
Для оболочек с концентраторами напряжений (отверстия, разрезы, включения и т.д.) экспериментально установлена локальность возмущенного напряженного состояния / 41 /. Внутри зоны возмущения компоненты усилий и моментов, характеризующие допол-
- Київ+380960830922