Оптимальное проектирование композитных элементов конструкций по условиям прочности, жесткости и устойчивости

2
Введение...................................................................3
1. Оптимальное проектирование композитных материалов и конструкций (ОБЗОР)...................................................................10
1.1. Задача и методы оптимального проектирования........................11
1.2. Оптимальное проектирование композитов..............................24
2. Метод оптимального проектирования слоистых композитов..................40
2.1. Постановка задачи оптимального армирования.........................40
2.2. Основные соотношения механики слоистых композитов..................40
2.3. Ограничения по прочности...........................................53
2.4. Ограничения по жесткости...........................................59
2.5. Ограничения по устойчивости........................................61
2.6. Описание метода....................................................75
3. Оптимальное проектирование слоистых композитных панелей................87
3.1. Оптимальное проектирование слоистых панелей с ограничениями по прочности.............................................................87
3.2. Оптимальное проектирование композитных элементов конструкций с ограничениями по жесткости...........................................109
3.3. Оптимальное проектирование слоистых панелей с ограничениями по устойчивости.........................................................142
3.4. Оптимальное проектирование слоистых панелей при нескольких случаях нагружения...........................................................173
Заключение...............................................................178
Список литературы........................................................180
Приложение...............................................................202
3
ВВЕДЕНИЕ
Технический прогресс порождает непрерывное расширение класса конструкционных материалов и совершенствование их свойств. Появление новых материалов обусловлено естественным стремлением повысить эффективность разрабатываемых конструкций. Одно из наиболее ярких проявлений прогресса в развитии материалов, конструкций и технологии связано с разработкой и применением армированных композитных материалов. Композиты обладают рядом очевидных преимуществ перед другими материалами, в частности перед металлами. Такими преимуществами являются высокая удельная прочность и жесткость, высокая коррозионная стойкость, хорошая способность выдерживать знакопеременные нагрузки и другие. Следует отмстить еще одну, возможно, самую главную особенность композитов - это способность к направленному изменению свойств материала в соответствии с назначением конструкции и характером ее нагружения. Направленный характер свойств композитов, естественно, предполагает, что наряду с высокими механическими характеристиками в одних направлениях они обладают низкими в других. Поэтому эффективная реализация достоинств этих материалов в конструкциях требует решения комплекса задач, связанных с определением рациональной структуры материала, соответствующей полю внешних нагрузок и других воздействий, с учетом его особенностей и технологических ограничений. Правильный учет особенностей композитов и рациональное использование их преимуществ позволяют получать конструкции, обладающие высокой степенью весового совершенства и уровнем свойств, недостижимым при использовании традиционных материалов. Таким образом, проектирование композитных конструкций, кроме традиционного определения ее геометрических параметров, предусматривает определение рациональной структуры материала, т.с. числа и порядка чередования слоев, углов ориентации и вида армирующих элементов. Это усложняет как формулировку, так и решение задач оптимального проектирования. Следует отметить, что если оптимальность конструкции из традиционных материалов
4
является желательным условием, то применительно к композитам выполнение условий оптимальности структуры может являться необходимым условием существования конструкции. Еще одна особенность, возникающая при проектировании композитных конструкций, связана с тем, что широкий спектр свойств материала, зависящий от многочисленных сочетаний структурных параметров, иногда приводит к неочевидным и неоднозначным решениям задачи проектирования. Перечисленные особенности определяют важность полноты и корректности формулировки задачи оптимального проектирования композитов.
Большой практический интерес представляет проектирование элементов конструкций, находящихся в условиях плоского напряженного состояния. К таким элементам относятся обшивки несущих конструкций самолетов и ракет, панели конструкций различного назначения, баллоны давления и др. Основной целью оптимального проектирования композитных конструкций, находящихся в условиях плоского напряженного состояния, является обеспечение сочетания минимальной массы и способности сопротивляться действующим нагрузкам в необходимых направлениях. Достижение этой цели осуществляется выбором оптимальной структуры материала, т.е. количества слоев композита, углов армирования и толщин этих слоев. Особенностью проектирования композитных конструкций, находящихся в плоском напряженном состоянии, является существование бесчисленного множества эквивалентных оптимальных структур, поиск которых традиционными численными методами оптимизации весьма затруднителен, а зачастую вообще невозможен. Таким образом, наряду с формулированием корректной и полной постановки задачи оптимального проектирования композитных конструкций, находящихся в условиях плоского напряженного состояния, возникает проблема разработки метода оптимизации, позволяющего осуществлять поиск всей совокупности оптимальных структур.
Целью работы является построение и реализация метода оптимального проектирования слоистых композитов, находящихся в условиях плоского напряженного состояния.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
1. Сформулировать задачу оптимального проектирования композитных элементов конструкций, находящихся в условиях плоского напряженного состояния, при ограничениях по прочности, жесткости и устойчивости.
2. Разработать метод оптимального проектирования композитных элементов конструкций, позволяющий находить в отличие от существующих методов всю совокупность оптимальных структур.
3. Определить оптимальные структурные параметры слоистых композитов по условиям прочности, жесткости и устойчивости при одном и нескольких случаях нагружения.
4. Решить задачи оптимального проектирования слоистых панелей, баллонов давления и тонкостенных стержней.
Актуальность работы определяется широким применением композитов в современной технике. Конструкции, изготавливаемые в настоящее время из композитов, являются, как правило, тонкостенными и состоят из системы различным образом ориентированных элементарных слоев композита. Определение оптимальных структур материала, обеспечивающих минимальную массу таких конструкций при выполнении ограничений, обеспечивающих ее работоспособность, предоставляется актуальной и важной в прикладном отношении задачей.
Научная новизна работы определяется
1. Предложенной математической постановкой задачи оптимального проектирования ортотропных слоистых композитов, находящихся в условиях одного или нескольких случаев нагружения, предусматривающей определение углов армирования, толщин и количества слоев, обеспечивающих минимум массы при ограничениях по прочности, жесткости и устойчивости. Задача
6
сводится к задаче безусловной минимизации суммарной толщины композита в минимаксной постановке.
2. Методом решения задачи оптимального проектирования слоистых ортотропных композитных панелей, находящихся в плоском напряженном состоянии, обеспечивающим минимальную толщину панели при ограничениях по прочности слоев. Поиск оптимальных структур основан на методе направленного перебора с уточняющим поиском методом сопряженных направлений и позволяет найти набор эквивалентных оптимальных структур при заданном числе слоев композита.
3. Обобщением предложенного метода на задачи, в которых наряду с ограничениями по прочности слоев заданы ограничения по жесткости и устойчивости композитной панели.
Практическая значимость работы определяется полученными рекомендациями по оптимальной структуре композитных панелей, при воздействии нагрузок, действующих в плоскости панели. Результаты работы могут быть использованы при проектировании несущих оболочек отсеков ракет, обшивки крыла, оперения и фюзеляжа самолета, баллонов давления и других композитных конструкций.
Предложенный подход к оптимальному проектированию элементов слоистых композитных конструкций может представлять интерес для разработчиков численных и аналитических методов решения задач оптимального проектирования.
Достоверность полученных результатов определяется сопоставлением с известными аналитическими решениями частных задач.
Диссертация состоит из введения трех глав и заключения. Во введении проведено обоснование актуальности темы, сформулирована цель и изложено содержание диссертационной работы.
Первая глава содержит описание существующих формулировок и постановок задач оптимального проектирования конструкций, а также подходов и методов решения этих задач. В главе приведен обзор основных
7
работ, посвященных проблемам оптимального проектирования композитных конструкций. Отмечаются результаты, полученные в работах Азаровой Г.Н., Баничука Н.В., Бунакова В.А., Васильева В.В., Дудченко A.A., Зиновьева П.А., Кобелева В.В., Комарова В.А., Крегерса А.Ф., Марциновского В.В., Миткевича А.Б., Нарусберга В Л., Немировского Ю.В., Образцова И.Ф., Протасова В. Д., Рикардса Р.Б., Смердова A.A., Тетерса Г.А., Янковского А.П., Gürdal Z., Haftka R.T., Hajela P., TIan K.S., Hwang W., Nagendra S., Park H.C., Song S.R. и других авторов. На основе обзора литературы сформулирована общая постановка задачи оптимального проектирования слоистых композитов.
Вторая глава посвящена описанию постановки и метода решения задачи оптимального проектирования ортотропных слоистых композитов по условиям прочности, жесткости и устойчивости. Рассматривается ортотропная слоистая панель с симметричной схемой армирования, т.е. каждому слою с углом ориентации волокон (р должен соответствовать слой с углом -(р. Панель находится в условиях плоского напряженного состояния. Задачей проектирования является нахождение таких структурных параметров (количество, углы ориентации и толщины слоев), при которых будут выполняться требования по прочности, жесткости и устойчивости при условии минимальной толщины панели при учете того, что материал всех слоев панели одинаков. Основная идея в формулировании математической постановки задачи заключается в получении неравенств, выражающих в явном виде толщину панели, из наложенных на проектные параметры ограничений, и сведения изначально поставленной задачи к задаче безусловной минимизации в минимаксной постановке. В качестве метода решения предлагается организованный перебор с уточнением решения методом сопряженных направлений. Предложенный метод позволяет выявить класс эквивалентных оптимальных структур (если таковые имеются).
В третьей главе рассматривается проектирование композитных элементов конструкций при различных ограничениях с использованием предлагаемого подхода. В первом разделе главы рассматривается ряд задач оптимального
проектирования слоистых панелей по условию прочности для разных случаев нагружения. Проводится исследование влияния сочетания нагрузок на оптимальную по прочности структуру материала. Второй раздел главы посвящен оптимальному проектированию композитных конструкций по условиям прочности и жесткости. Рассматриваются задачи оптимального проектирования аккумулятора и баллона давления, а также элемента манипулятора. Проводится исследование влияния ограничений, накладываемых на жесткость конструкции, на оптимальную структуру материала. В третьем разделе главы рассматриваются задачи проектирования композитных панелей по условиям прочности и устойчивости. Исследуется влияние удлинения шарнирно опертых панелей на оптимальную по прочности и устойчивости структуру при отсутствии сдвига. Рассматриваются панели с удлинением от 1 до 2. Также в разделе проводится исследование влияния сдвига на оптимальную по условиям прочности и устойчивости структуру шарнирно опертой панели. Четвертый, последний, раздел главы посвящен постановке и решению задачи оптимального проекгирования композитных элементов конструкций, в условиях нескольких случаев нагружения. Постановка такой задачи также сводится к минимаксной постановке. В качестве примера рассматривается проектирование панели стабилизатора самолета, находящейся в условиях двух случаев нагружения.
Апробация работы
Материалы диссертации докладывались на:
1. Международной молодежной научной конференции «XXXIII
Гагаринские чтения», Москва 3-7 апреля 2007, МАТИ-РГТУ им.
К.Э. Циолковского;
2. Международной молодежной научной конференции «XXXIV
Гагаринские чтения», Москва 1-5 апреля 2008, МАТИ-РГТУ им.
К.Э. Циолковского;
9
3. Международной молодежной научной конференции «XXXV Гагаринские чтения», Москва 7-11 апреля 2009, МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского;
Основные положения диссертации опубликованы в работах
1. Хазиев А.Р. Оптимальное армирование композитных панелей, находящихся в условиях плоского напряженного состояния // XXXIII Гагаринские чтения. Научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 томах; Москва, 3-7 апреля 2007, Т.5 с. 86-87.
2. Хазиев А.Р. Оптимальное армирование слоистых композитов по условиям прочности // Вопросы оборонной техники. Сер. 15. Композиционные неметаллические материалы в машиностроении. - М.: ФГУП «НТЦ
«Информтсхника». - 2008. — Вып. 3( 150). — С. 18-24
3. Васильев В.В., Хазиев А.Р. Оптимальное проектирование слоистых композитов // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2009. — Т.15. — №1. - С. 3-16
10
1. ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ (ОБЗОР)
В настоящее время композитные материалы находят широкое применение в различных отраслях промышленности, особенно при проектировании конструкций, где особую роль играет их масса. Наибольшую популярность при проектировании легких композитных конструкций приобрели волокнистые композиты. Структура такого материала представляет собой совокупность направленных специальным образом армирующих волокон, пропитанных связующим. В связи с этим физические свойства волокнистого композита имеют направленный характер. Варьируя углами армирования, объемными долями волокон, плотностью укладки и другими параметрами армирования, можно управлять свойствами материала. Однако улучшение свойств материала в одном направлении неизбежно приводит к их ухудшению в другом направлении, что в свою очередь косвенно влияет на изменение массы конструкции. Таким образом, возможность варьирования параметрами армирования композита приводит к задаче поиска оптимальной структуры материала, которая бы обеспечила конструкции минимальную массу.
Для поиска наилучшей структуры композита, удовлетворяющей в той или иной степени всем предъявляемым к конструкции требованиям, широко используется аппарат теории оптимального проектирования и методов оптимизации. Теория оптимального проектирования конструкций насчитывает несколько сотен лет, однако ее интенсивное развитие началось во второй половине XX века и связано с появлением вычислительной техники и развитием численных методов оптимизации [7, 9, 24, 28, 36, 44, 60, 109, 122, 125, 127, 131, 140, 155, 156, 158, 160, 165, 167, 169, 177, 178, 181, 183, 196, 208, 215]. Несмотря на это теория оптимального проектирования продолжает совершенствоваться. В частности это проявляется в том, что задача
11
оптимального проектирования композитных материалов и конструкций до сих пор не решена в общей постановке и в настоящее время остается актуальной.
1.1. Задача и методы оптимального проектирования
Под оптимальным проектированием принято понимать такое назначение параметров конструкции, несущей заданные нагрузки, при котором она в определенном смысле будет наилучшей из всех возможных вариантов конструкций. Оптимальное проектирование конструкций является одним из актуальных разделов механики деформируемого твердого тела. Этой проблеме посвящено значительное число работ, опубликованных главным образом за последние тридцать лет [10, 12, 14, 27, 28, 29, 44, 85, 99, 100, 119, 125, 126, 127, 141]. Интерес к исследованиям в области оптимального проектирования значительно усилился в связи с интенсивным развитием авиационной и космической техники, судостроения, точного машиностроения. На основе оптимального проектирования появилась возможность значительно снизить вес летательных аппаратов, улучшить механические характеристики конструкций.
Из-за существенных различий характеристик, определяющих нагружение и деформирование проектируемых конструкций, и предъявляемых к ним требований теорию оптимального проектирования отличает широкое разнообразие постановок задач. Общим для всех задач является то, что при проектировании любой конструкции проектировщику необходимо преодолеть несколько следующих этапов, частично перекрывающих друг друга и не имеющих четких фаниц [44]:
• Формулировка задачи, которая включает задание требований и целей, предъявляемых к конструкции или проекту в целом;
• Этап формализации или построение математической модели;
• Отыскание решения с помощью построенной модели;
• Анализ решения и уточнение модели в случае необходимости.
Формализация задачи оптимального проектирования включает в себя:
• введение обозначений для проектных переменных;
12
• задание целевой функции (функционала, критерия оптимальности или критерия качества), зависящей от проектных переменных, которая в результате решения должна принимать минимальное или максимальное значение;
• выделение множества допустимых значений переменных, определяемого ограничениями, наложенными на проектные переменные.
Рассмотрим этапы формализации.
Проектные переменные, от которых зависит критерий качества, также называют параметрами управления, варьируемыми параметрами, проектными параметрами или параметрами оптимизации. В число проектных параметров обычно включают геометрические параметры и физические характеристики материала. К геометрическим параметрам относятся: размеры элементов конструкции, их число и параметры, определяющие их тип; форма элементов конструкции; конфигурация самой конструкции и др. В число проектных параметров иногда включают даже габаритные размеры, как, например, в работах Тетсрса Г.А., Рикардса Р.Б. и др. [115, 118, 121]. В качестве физических характеристик могут выступать: модули упругости, плотности, пределы текучести и прочности материала и др.; для композитных материалов - это относительные толщины и углы армирования, доли армирующих элементов и связующего, коэффициенты объемного армирования и др. Варьируемые
параметры принято представлять в виде вектора х = (лг,,л'2,...,л:п)1.
Критерии оптимальности представляют собой показатели качества конструкции, к оптимизации которых стремятся при проектировании конструкции. В основе выбора критерия лежат: назначение конструкции; условия эксплуатации конструкции; технологические возможности создания конструкции и экономические возможности реализации проекта. В общем виде критерии оптимальности записываются в виде функционалов. Наиболее распространенным критерием оптимальности является минимум веса конструкции. Во многих случаях задача минимизации веса сводится к задаче
13
минимизации объема конструкции, площади (поперечного сечения) или толщины (пластины или оболочки). Наиболее типичными в теории оптимального проектирования сжатых конструкций являются задачи максимизации критического значения силы Ркр9 при которой происходит
потеря устойчивости конструкции, при заданном весе. Во многих задачах оптимального проектирования рассматривается минимаксный критерий качества, в основе которого лежит функция, максимум которой по одним параметрам должен быть минимизирован по другим параметрам. Зачастую в случаях проектирования конструкций по условию максимальной прочности, задача сводится к минимизации напряжений или критерия прочности, характеризующего напряженное состояние, в самом нагруженном элементе или в наиболее нагруженной области конструкции. Критериями качества также часто выступают условия равнонапряжеиности и равнопрочности. Эти два условия различные авторы называют по-разному. Например, в работе [43] равнопрочные конструкции называются рациональными, в других работах [130, 203] равнопрочность рассматривается как условие оптимальности, хотя сами же авторы отмечают при этом, что требование равнопрочности не всегда тождественно требованию оптимальности. В работах Нсмировского Ю.В. и Янковского Л.П. [79, 80] условие равнонапряжеиности армирующих волокон и условие равнопрочности связующего в композите рассматриваются в качестве критериев рациональности. При проектировании композитных конструкций критериями качества часто принимают упругие и термомеханические характеристики материала, т.к. для композитов эти характеристики являются, функциями структурных параметров материала (углов армирования, толщин слоев, объемных долей армирующих элементов и т.д.). Наиболее широкое распространение получили критерии максимизации модулей упругости и устремления к нулю коэффициентов линейного термического расширения (КЛТР), например, в работах Крегерса А.Ф., Тетерса Г.А. и др. [51, 58]. Так же критериями качества могут выступать: несущая способность конструкции; стоимость, динамические характеристики (собственные частоты,
демпфирующие свойства) и др. На практике зачастую возникает необходимость проектирования конструкций не по одному критерию качества, а по нескольким, часто противоречащим друг другу, критериям. В таком случае говорят о многоцелевой, многокритериальной или векторной оптимизации, а критерий качества называют локальный критерий эффективности (ЛКЭ). Задача оптимального проектирования с одним критерием качества называется задачей скалярной оптимизации. Именно на решение задачи скалярной оптимизации нацелено большинство существующих методов оптимизации. Здесь следует отметить работы Банди Б., Гилла Ф., Мюррея У., Райта М., Колмогорова ГЛ., Лежневой A.A., Химмельблау Д. и др. [1, 5, 9, 28, 44, 96, 125, 131].
Кроме критериев качества, оптимизация которых является целью решения задачи оптимального проектирования, к конструкции могут предъявляться дополнительные требования. Эти требования представляют собой ограничения, накладываемые на проектные параметры, и записываются в форме равенств или неравенств. Основным требованием, предъявляемым к конструкции, является прочность. Ограничение по прочности можно записать в следующем виде
max[g(cr(y,öv)] - 1 <; О,
где ev. - действующие напряжения; - предельно допустимые
абсолютные значения напряжений g(criy,ör^/) —1 — критерий прочности. При
проектировании конструкций, находящихся в условиях сжатия, часто накладывается ограничение на критическую силу, т.с. Р< Ркр. При
проектировании динамических систем ограничения могут быть наложены на собственные частоты колебаний и на демпфирующие свойства конструкции. Во многих задачах в качестве ограничения рассматривается постоянство веса конструкции [46]. Жесткостные ограничения являются следствием условий эксплуатации проектируемой конструкции и возникают в процессе ее
15
проектирования. Чаще всего они бывают представлены в локальном виде как ограничения на деформации или смещения системы, например, в^| < ё- (здесь 8ц - компоненты деформации конструкции, еи - предельные допустимые
деформации). При проектировании практически любой конструкции присутствуют ограничения, наложенные непосредственно на проектные параметры, которые являются либо следствием математической модели, определяющей класс решаемых задач, либо следствием конструктивных особенностей, либо вытекают из физического или геометрического смысла параметров и т.п. Примером таких ограничений являются ограничения, наложенные на относительные толщины И1 слоистого композита, которые должны удовлетворять условиям )\1 > 0 и = 1.
I
В теории оптимального проектирования обычно различают два класса задач: задачи с полной информацией и задачи с неполной информацией или задачи в условиях неопределенности. Задача с полной информацией характеризуется имеющейся функциональной зависимостью между исходными предпосылками и результатом. Для решения такой задачи используются все известные методы оптимизации (методы математического программирования, оптимального управления и вариационные методы). Задачами с неполной информацией являются те, в которых либо целевая функция не имеет аналитического выражения, либо значения определяющих величин заданы с какой-то вероятностью или имеются в системе случайные помехи, либо какие-то параметры, влияющие на систему, не могут быть описаны в явной форме и т.п. Для задач с неполной информацией выделяют ряд моделей [26]: стохастическая, статистическая, интервальная и нечеткая.
При формулировке и решении задач оптимального проектирования используются два основных подхода: континуальный и дискретный,
рассмотренные в работах Баничука Н.В. [11, 141].
Континуальный подход применяется при моделировании проектируемой системы как системы с распределенными параметрами. В свою очередь задачи
16
оптимального проектирования систем с распределенными параметрами можно рассматривать в следующих постановках [1, 20, 23, 44, 99]: постановка в рамках классического вариационного исчисления; постановка в рамках теории оптимального управления и один из новых подходов - постановка в рамках геометрической механики.
Постановка задач в форме классического вариационного исчисления содержит критерии качества, как правило, в виде функционалов, зависящих от функций управления. С помощью вариационного исчисления можно рассматривать как задачи без ограничений, так и задачи с ограничениями в виде равенств [44, 99]. В случае присутствия ограничений задача сводится к задаче безусловной оптимизации с помощью метода Лагранжа [4, 133]. Задача вариационного исчисления без ограничений сводится к записи необходимых условий экстремума оптимизируемого функционала, т.е. построению уравнений Эйлера [133], дальнейшему решению этих уравнений и анализу результатов. Такой подход имеет следующие недостатки [99]: а) для многих задач уравнения Эйлера являются нелинейными и не могут быть решены аналитически; б) классическая теория неприменима к случаям, когда в задаче фигурируют ограничения в виде неравенств; в) вызывают затруднения случаи, когда искомые функции или их производные имеют разрывы;
г) затруднительна проверка достаточных условий оптимальности.
В сравнении с классическим вариационным исчислением теория оптимального управления [19] решает более широкий класс задач. В качестве критерия оптимальности здесь рассматривается функционал, зависящий от вектора функций управления и фазовых координат этих функций. Преимуществом подхода теории оптимального управления перед подходом вариационного исчисления является то, что такой подход позволяет решать задачи для разрывных управляющих функций и задачи с ограничениями в форме неравенств. Необходимым условием экстремума оптимизируемого функционала в теории оптимального управления является принцип максимума Л.С. Понтрягина [88], на основании которого вводятся дополнительные
17
переменные, и с помощью них строится функция Гамильтона-Понтрягина. Условия максимума полученной функции по управляющим функциям дает необходимое условие экстремума функционала исходной задачи.
В основе подхода геометрической механики лежит связь между напряженно-деформированным состоянием тела с геометрией заполняющего его риманова пространства [20, 23]. Эта связь описывается с помощью уравнений общей теории относительности (ОТО) и дополненных соотношений, описывающих напряженно-деформированное состояние сплошной среды. Геометрические свойства пространства, моделирующего напряженно-деформированную среду, используются для решения задач оптимального проектирования конструкций. Таким образом, получаемая геометрия пространства используется для определения формы упру'гого тела, соотве тствующей его напряженному состоянию.
Основным преимуществом континуального подхода является то, что проектируемая система описывается как модель с распределенными параметрами. Такая модель ближе к реальной ситуации, чем дискретная. Основные недостатки такого подхода связаны с сведением задачи к системе нелинейных дифференциальных уравнений.
При дискретном подходе задача оптимального проектирования ставится как задача математического программирования, т.е. требуется найти такой п -мерный вектор проектных параметров х = (х1,х2,^;Хп)т, чтобы критерий качества был минимален
/(д) => тт
(1.1.1)
при выполнении ограничений в форме равенств и неравенств
gJ■(x)>0, у = А: + 1,...,/и.
(1.1.3)
18
Задачи математического программирования классифицируются в зависимости от присутствия или отсутствия ограничений и вида всех определяющих функций. Задача без ограничений называется задачей безусловной оптимизации, задача с ограничениями называется соответственно задачей условной оптимизации.
Задачи условной оптимизации, в которых функции /, и gj -
нелинейные функции, являются задачами нелинейного пршраммирования. Если функции /', hj и gJ линейны, то задача является задачей линейного
программирования, а если, кроме того, переменные х принимают только целые значения, то рассматриваемая задача - задача целочисленного программирования.
Большинство существующих алгоритмов многомерной оптимизации сводятся к последовательному решению одномерных задач - задач с одним проектным параметром. В случае, когда задача одномерной минимизации рассматривается самостоятельно, ее можно решить графически, используя параметрический анализ [106]. В случае, когда к последовательности решений одномерных задач приводит решение многомерной задачи оптимизации, используются специальные численные алгоритмы [24, 44, 100, 122], к которым относятся: прямой поиск; методы сокращения интервалов (метод деления отрезка пополам, метод золотого сечения); метод полиномиальной аппроксимации; методы, использующие производные (метод Больцано; метод секущей и метод Ныотона-Рафсона). В случаях, когда целевая функция обладает достаточной гладкостью и является унимодальной, хорошую сходимость дают усовершенствованный метод полиномиальной аппроксимации и метод IТыотона-Рафсона. В других случаях хороший результат дает метод золотого сечения.
Для решения задачи нелинейного программирования развито большое количество методов, многие из которых нашли применение в задачах оптимального проектирования конструкций [5, 6, 9, 10, 28, 87, 96, 125, 127, 131, 140, 145, 147, 149, 158, 160, 165, 210,215].
Практически все методы решения задач безусловной оптимизации являются итерационными, т.е. сначала задается нулевое приближение /о =/С*о)» а Далее очередная точка *А+| выбирается по значению предыдущей согласно алгоритму
Xм =хк +акрк, (1.1.4)
где ак - шаг изменения; рк - вектор направления, вдоль которого происходит
переход от точки хк к точке хк +1. Все методы условно делятся на три класса: методы прямого поиска, основанные на вычислении только значений целевой функции; градиентные методы, в которых используются значения первых производных целевой функции и методы второго порядка, в которых наряду с первыми производными используются также вторые производные функции.
Центральное место в группе методов прямого поиска занимает глобальный перебор, когда перебираются все возможные реализации проектируемого объекта, а затем выбирается наилучшая из них. Если проектные параметры непрерывны, то глобальный перебор проводится на сетке, нанесенной на пространство поиска. Глобальный перебор -единственный численный метод, который в самом общем случае может гарантировать обнаружение глобального оптимума. К методам прямого поиска также относится метод сопряженных направлений, согласно алгоритму которого задаются начальная точка и направления, совпадающие с координатными. Находится минимум целевой функции при последовательном движении но всем выбранным направлениям с помощью метода одномерного поиска. Каждая точка минимума берется в качестве исходной для поиска по следующему направлению. После того, как будет сделан поиск по последнему направлению, вновь делается шаг по направлению параллельно первому, после чего находится сопряженное направление из условия линейной независимости
направлений р1 и р,+1 и условия (р )т А р,+] = 0. Здесь А - симметричная квадратная матрица, которая может быть взята произвольной, так и специально