Структура течений и теплообмен у поверхностей различной ориентации в режимах свободной и смешанной конвекции

2
СОДЕРЖАНИЕ
ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ................................8
ВВЕДЕНИЕ .......................................................11
ГЛАВА 1. ТЕРМОГРАВИТАЦИОННАЯ КОНВЕКЦИЯ В
ПОДОГРЕВАЕМЫХ СНИЗУ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ СЛОЯХ ЖИДКОСТИ С ДВУМЯ ЖЕСТКИМИ ГРАНИЦАМИ ...................30
1.1. Введение............................................30
1.2. Состояние вопроса...................................33
1.3. Экспериментальные установки и методики исследований гидродинамики и теплообмена...............................60
1.3.1. Установка для исследований классической рэлей-бенаровской конвекции...........................60
1.3.1.1. Рабочий участок установки ..............60
1.3.1.2. Конструкция и расположение датчиков температуры в установке ........................64
1.3.1.3. Задание и контроль граничных условий ...65
1.3.2. Автоматизация экспериментальной установки
на базе микрокомпьютерной системы ...............68
1.3.3. Конструкция и расположение датчиков температуры в объеме исследуемой жидкости ...................69
1.3.4. Методики измерения полей температуры в объеме жидкости..............................................72
1.3.5. Методика изучения пространственной формы конвективного течения и поля скорости ................73
1.3.6. Погрешности эксперимента.......................74
1.4. Результаты исследований пространственной формы течения
в слое с двумя жесткими границами.....................78
3
1.4.1. Пространственная форма конвективного течения при геометрическом отношении Г 1. Отбор из шума 78
1.4.2. Эволюция пространственной формы индуцированного течения...................................................89
1.5. Поля скорости и температуры в отдельных ячейках.........100
1.6. Закономерности интегрального теплообмена ...............105
1.6.1. Стационарные граничные условия ...................106
1.6.2. Нестационарные граничные условия..................111
1.7. Зависимость процессов ламинарно-турбулентного
перехода от относительных размеров слоя..................119
1.7.1. Влияние горизонтальных размеров слоя на пространственную форму конвективного течения ............119
1.7.2. Влияние на интегральный тепловой поток ...........121
1.7.3. Появление и развитие локальных колебательных мод . 122
1.8. Турбулентный режим......................................133
1.9. Основные результаты и выводы............................138
ГЛАВА 2. ТЕПЛОВАЯ ГРАВИТАЦИОННО-КАПИЛЛЯРНАЯ КОНВЕКЦИЯ В
ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ, ПОДОГРЕВАЕМОМ СНИЗУ, СО СВОБОДНОЙ ВЕРХНЕЙ ГРАНИЦЕЙ.................................182
2.1. Введение................................................182
2.2. Состояние вопроса и постановка задачи...................187
2.3. Экспериментальная установка и методики
проведения исследований..................................194
2.4. Результаты экспериментальных исследований ..............196
2.4.1. Ламинарная ячеистая тепловая гравитационнокапиллярная конвекция....................................196
2.4.2. Турбулентный режим................................198
л
2.5. Основные результаты и выводы...........................204
ГЛАВА 3. ТЕРМОГРАВИТАЦИОННАЯ И СМЕШАННАЯ КОНВЕКЦИЯ В ПОДОГРЕВАЕМОМ СНИЗУ СЛОЕ С ДВУМЯ ЖЕСТКИМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО ВРАЩАЮЩИМИСЯ ГРАНИЦАМИ .... 214
3.1. Введение...............................................214
3.2. Состояние вопроса. Постановка задачи...................215
3.3. Экспериментальный стенд и методики.....................224
3.3.1. Задание и контроль температурных граничных
условий............................................226
3.3.2. Задание и контроль скорости вращения ............227
3.3.3. Методика измерения структуры поля температуры .... 228
3.3.4. Методика изучения пространственной формы конвентивного течения и поля скорости ...................229
3.3.5. Методика обработки информации о структуре пространственной формы конвективного течения ............230
3.4. Результаты исследований закономерностей интегрального теплообмена и эволюции пространственной формы
течения.................................................233
3.4.1. Режим вращения одной из границ...................233
3.4.2. Режим дифференциального вращения границ .........238
3.4.3. Пространственная форма течения...................241
3.5. Основные результаты и выводы...........................243
ГЛАВА 4. ТЕПЛОВАЯ ГРАВИТАЦИОННО-КАПИЛЛЯРНАЯ КОНВЕКЦИЯ
В ПОЛОСТЯХ И СЛОЯХ С ПРОДОЛЬНЫМ ГРАДИЕНТОМ ТЕМПЕРАТУРЫ...............................................254
4.1. Введение...............................................254
4.2. Современное состояние вопроса. Обзор литературы .......257
5
4.3. Экспериментальные стенды.................................280
4.4. Тепловая гравитационно-капиллярная конвекция в прямоугольных полостях........................................287
4.5. Тепловая гравитационно-капиллярная конвекция в горизонтальном слое с продольным градиентом температуры...................................................292
4.5.1. Физический эксперимент.............................292
4.5.2. Численное моделирование тепловой гравитационнокапиллярной конвекции в полости с продольным градиентом температуры....................................301
4.6. Основные результаты и выводы.............................308
ГЛАВА 5. СТРУКТУРА ТЕРМОГРАВИТАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ В
ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ ЖИДКОСТИ, ПОДОГРЕВАЕМОМ СБОКУ И НА ВЕРТИКАЛЬНОЙ СТЕНКЕ ПРИ ПЕРЕХОДНОМ РЕЖИМЕ ТЕЧЕНИЯ.............................................336
5.1. Введение.................................................336
5.2. Состояние вопроса. Постановка задачи.....................338
5.3. Экспериментальные стенды, методы измерений и
обработки экспериментальных данных........................367
5.3.1. Стенд-вертикальный слой............................367
5.3.1.1. Рабочий участок № 1........................369
5.3.1.2. Рабочий участок № 2........................370
5.3.2. Стенд-вертикальная стенка в большом
объеме жидкости.....................................370
5.3.3. Методика температурных измерений...................371
5.3.4. Методика исследования поля скорости и пространственной структуры течения........................374
6
5.3.5. Метод статистической обработки пульсаций температур....................................................376
5.3.6. Теплофизические параметры рабочей жидкости и материалов, использованных для изготовления
рабочих участков........................................376
5.4. Результаты исследований ПС на пластине в большом
объеме........................................................377
5.5. Комплексное исследование пространственной формы течения и локальных характеристик пограничного слоя у вертикальной стенки прямоугольной
полости.......................................................379
5.5.1. Исследование структуры пограничного слоя у вертикальной прозрачной стенки.........................379
5.5.1.1. Эволюция пространственной формы течения при наличии продольного градиента температуры (в ядре)...................................379
5.5.1.2. Температурные измерения........................381
5.5.1.3. Измерение скорости течения в пограничном
слое............................................384
5.5.1.4. Исследование структуры вторичных течений ..385
5.5.1.5. Выводы.........................................387
5.5.2. Исследование структуры пограничного слоя у вертикальной стенки высокой теплопроводности ..........389
5.5.2.1. Температурные измерения........................390
5.5.2.2. Измерения скорости течения.....................396
5.5.2.3. Выводы.........................................400
5.6. Общие выводы по результатам экспериментальных
исследований...........................................401
ГЛАВА 6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРИ
ВЫТЯГИВАНИИ МОНОКРИСТАЛЛОВ ИЗ РАСПЛАВОВ 434
6.1. Введение..............................................434
6.2. Состояние вопроса. Постановка задачи..................437
6.2.1. Технологические эксперименты по изучению гидродинамики и теплообмена в расплаве..................439
6.2.2. Физическое моделирование........................453
6.2.3. Численное моделирование и аналитические исследования............................................465
6.3. Экспериментальный стенд...............................480
6.4. Физическое и численное моделирование тепловой гравитационно-капиллярной конвекции........................482
6.4.1. Физическое моделирование........................482
6.4.2. Численное моделирование.........................487
6.4.2.1. Термогравитационная конвекция ...........488
6.4.2.2. Термокапиллярная конвекция...............491
6.4.2.3. Тепловая гравитационно-капиллярная конвекция.........................................494
6.5. Физическое моделирование смешанной конвекции..........496
6.6. Физическое моделирование вынужденного изотермического течения....................................................501
6.7. Результаты и выводы...................................504
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ......................................534
СПИСОК ОСНОВНОЙ ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.........................5^0
8
ПЕРЕЧЕНЬ СОКРАЩЕНИЙ
ТГК
ТГКК
ТКК
ТКЭ
ПФ
ПС
ФК
РБК
РБН
ПФТ
х, у, г
х
У
г
и, у, ги и
V
и
V т I
г, х, (р г
X
V
И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
- термогравитационная конвекция;
- тепловая гравитационно-капиллярная конвекция;
- термокапиллярная конвекция;
- термокапиллярный эффект;
- плоский фронт (модели кристалла);
- пограничный слой;
- фронт кристаллизации;
- рэлей-бенаровская конвекция;
- рэлей-бенаровская неустойчивость;
- пространственная форма течения;
- декартова система координат;
- продольная координата;
- поперечная координата;
- трансверсальная координата;
- компоненты вектора скорости;
- продольная компонента скорости;
- поперечная компонента скорости;
- осевая компонента скорости;
- ридиальная компонента скорости;
- азимутальная компонента скорости;
- время;
- цилиндрическая система координат;
- радиус-вектор;
- аппликата;
- полярный угол;
9
Я
I
ш
I
п
р
Ят
Як
Т
ТЬТ2
О/
Ф = (г - ЯК)/^п АТ = Т-2- Т\
в = (Т - Т{]/АТ 1 = Тта$1Т-2
Т,
шах
&т = Гтах - Гт1п
6Т/АТ
Р
Р
V = ////)
- высота слоя жидкости;
- длина прямоугольной полости;
- размер по трансверсальной координате г;
- длина модели кристалла;
- высота капиллярного столбика жидкости;
- давление;
- радиус тигля;
- радиус кристалла;
- температура;
- температура холодной и горячей стенок; модели кристалла и стенок тигля;
- угловая скорость вращения кристалла, поверхности;
- безразмерная координата;
- перепад температуры между моделями стенок тигля и кристалла;
- безразмерная температура;
- безразмерная среднемассовая температура;
- максимальная температура в данной точке;
- минимальная температура в данной точке;
- амплитуда колебаний температуры в данной точке;
- безразмерная амплитуда колебаний;
- плотность;
- коэффициент динамической вязкости;
- коэффициент кинематической вязкости;
10
Л
Ср
(1 — А/ рС р
%
0
а
Ч
/
ш = 2л-/
Ф
Г, А = Ь/Н, О/Н
Рг = р/а
Г1е = иЯ2к/р
Сг = 2/^ЛТНЛ/1У2(Ь - I)
Сгн = РъАТН*/и*
Ма = (—да/дТ)АТЯ2к//1аАЯ Иа = СгРг Ш.= Сг///(Т1е)2 N11 = а • г/А
коэффициент теплопроводности (теплоотдачи);
изобарическая (удельная) теплоемкость;
коэффициент температуропроводности;
ускорение силы тяжести;
коэффициент объемного расширения;
коэффициент теплоотдачи или
теплопередачи через слой жидкости;
тепловой поток;
линейная частота;
круговая частота;
функция тока;
геометрическое отношение;
число Прандтля;
число Рейнольдса;
число Грасгофа
для прямоугольной полости;
число Грасгофа,
построенное по высоте жидкости Я;
число Марангони;
число Рэлея;
число Ричардсона;
число Нуссельта
11
ВВЕДЕНИЕ
Ниже кратко обосновывается актуальность темы диссертации в целом, сформулированы цели экспериментальных и численных исследований, показана научная новизна полученных результатов, кратко изложено основное содержание работы по главам.
Исследования свободной, а точнее термогравитационной (ТГК) и тепловой гравитационно-капиллярной конвекции (ТГКК) проводились в рамках традиционных для Института теплофизики СО РАН исследований пристенной турбулентности. По сравнению с обширными экспериментальными исследованиями развития турбулентности в вынужденных течениях турбулентность в свободно-конвективных течениях изучена явно недостаточно. Объективной причиной этого является, по-видимому то, что теория гидродинамической устойчивости и турбулентности развивалась под влиянием нужд технической гидро- и аэромеханики, в которой свободную конвекцию привыкли рассматривать как малую и несущественную добавку. Кроме того свободноконвективные течения в смысле устойчивости сложнее изотермических вынужденных течений, т.к. они характеризуются более широким спектром возмущений. В этом спектре присутствуют сильно взаимодействующие гидродинамические и тепловые возмущения.
При свободноконвективных течениях поле скорости неразрывно связано с полем температуры и их необходимо измерять и анализировать одновременно. Это значительно осложняет экспериментальные исследования свободноконвективных течений, для которых характерны, к тому же, малые скорости и низкие частоты, что делает непригодными или нуждающимися в значительной доработке развитые в исследованиях вынужденных течений методики измерений.
Исследовались в основном канонические объекты: конвекция в плоских
12
слоях жидкости с нагретыми до разных температур изотермическими стенками и с различной ориентацией слоев относительно вектора силы тяжести; конвекция у плоских изотермических стенок с температурой выше, чем в окружающей изотермической жидкости.
При анализе закономерностей развития пристенной турбулентности в вынужденных течениях каноническим объектом является обтекаемая потоком плоская стенка. На примере плоской изотермической и перегретой относительно окружающей среды стенки (установленной параллельно вектору ускорения силы тяжести) можно рассмотреть отличия и некоторые аналогии структуры (под которой будем понимать поля скорости и температуры) вынужденного и свободноконвективного пристенных течений.
Осуществлялся следующий методический подход к проведению исследований. Во-первых, проводились и проводятся по возможности комплексные исследования структуры основного ламинарного течения, затем его устойчивость и характеристики вторичных течений и следующие этапы усложнения структуры течения, переход к турбулентным режимам течений и их характеристики. Как правило экспериментальные стенды имеют рабочие участки с хорошо проводящими тепло (медными) стенками и с прозрачными стенками, все остальные характеристики идентичны. Эксперименты на двух таких рабочих участках позволяют получить практически полную качественную и количественную информацию о пространственной форме течения в различных режимах и о процессах ламинарно-турбулентного перехода (ЛТП).
Еще одно направление — исследования тепловой гравитационно-капиллярной конвекции в горизонтальных слоях жидкости со свободной поверхностью. Градиент температуры при этом может быть нормальным к свободной поверхности жидкости — классическая Рэлей-Бенаровская конвекция (РБК) или продольным, тангенциальным. Интерес к последнего рода задачам обострил-
13
ся в связи с развитием космических полетов и тем, что в условиях невесомости роль поверхностного натяжения и термокапиллярного эффекта (связанного с зависимостью поверхностного натяжения жидкости от температуры) становится доминирующей при описании поведения жидкофазных систем и при отработке технологий получения материалов. Исследования показали, что этот эффект заметно проявляется и на фоне термогравитационной конвекции, даже в турбулентных режимах течения. Проведены также исследования смешанной (комбинации свободной и вынужденной) конвекции на лабораторных моделях некоторых способов выращивания монокристаллов из расплавов: на разномасштабных моделях классического варианта метода Чохральского, на полногабаритной модели варианта этого же метода, используемого для вытягивания из расплава щелочногалоидных моноктристаллов диаметром до 600 мм. Основные результаты проведенных исследований приведены в обзорных работах и в работах по частным направлениям [8-45, 123-125, 127, 369].
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованиям структуры течений термогравитационной и тепловой гравитационно-капиллярной природы в слоях жидкости различной ориентации, у вертикальной стенки и в прямоугольных полостях; тепловой гравитационно-капиллярной и смешанной (комбинации свободной конвекции и вынужденной, возбуждаемой вращающейся границей) конвекции у тел ряда канонических форм (диск, конус) в условиях, геометрически подобных нескольким вариантам технологических процессов получения монокристаллов (м/к) из расплавов. Систематические комплексные исследования эволюции пространственно-временной организации течений, результаты подробных измерений локальных мгновенных и средних по времени характеристик полей скорости и температуры, те-
14
пловых потоков в ламинарных, переходных и турбулентных режимах создают фактический базис для развития теории процессов конвективного тепломассообмена (ТМО) в условиях подавляющего или сильного влияния сил плавучести, в условиях их совместного с термокапиллярным эффектом и/или с центробежными силами воздействия. Результаты данных исследований необходимы для анализа и оптимизации процессов ТМО в различных технологических процессах, таких как получение м/к различных материалов, при проектировании и эксплуатации объектов энергетики, авиационной, ракетной и другой техники, работа которых происходит в условиях больших перепадов температуры или больших удельных плотностей тепловых потоков.
В конце 70-х в начале 80-х годов наиболее отчетливо была осознана необходимость исследования течений жидкости в условиях сильного влияния сил плавучести (силы Архимеда) на формирование их структуры. Вызвано это тем, что возбуждаемая этими силами конвекция не может считаться, как это традиционно делалось, малой несущественной добавкой во многих высокотемпературных технологических процессах и технических устройствах с большими градиентами температуры (или концентрации). Более того, во многих технологических и природных процессах тепломассообмена свободная конвекция является определяющей. К общегидродинамической проблеме относятся исследования ламинарно-турбулентного перехода (ЛТП) и турбулентных свободноконвективных течений на таких канонических объектах, как плоские слои жидкости с нагретыми до разных температур изотермическими стенками и с различной ориентацией слоев относительно вектора силы тяжести, плоские изотермические стенки или тела простых геометрий, имеющие температуру, отличную от температуры окружающей среды. Все наиболее глубокие и методически насыщенные исследования эволюции конвективных течений на таких простых объектах были и будут необходимой базой для создания
15
теоретических основ современных наукоемких технологий.
В значительной степени, в связи с развитием космических полетов и тем, что в условиях невесомости особенно велика роль капиллярных явлений на свободной поверхности жидкости и термокапиллярного эффекта (связанного с зависимостью коэффициента поверхностного натяжения от температуры), в процессе выполнения данной работы развивалось еще одно направление — исследования тепловой гравитационно-капиллярной конвекции. Исследования показали, что термокапиллярный эффект заметно проявляется и на фоне термогравитационной конвекции. Роль капиллярных явлений становится доминирующей при отработке технологий получения материалов в невесомости и существенной в наземных технологиях, например, при получении высококачественных м/к.
Структура свободноконвективных и гравитационно-капиллярных течений и течений с различным вкладом свободноконвективного и вынужденного механизмов, процессы ЛТП, характеристики турбулентных режимов таких течений были исследованы к началу данной работы (1970г.) крайне слабо. В области фундаментальных исследований большое внимание уделялось изучению устойчивости равновесия и стационарного конвективного течения, влияния на устойчивость различных осложняющих факторов — вращения, магнитного поля, диффузии, внутренних источников тепла и др. В области инженерноприкладных исследований изучались в основном закономерности интегрального теплообмена в условиях внешних и внутренних задач.
В имевшейся справочной литературе была представлена информация практически только о зависимостях средних значений коэффициентов теплоотдачи (и теплопередачи) от чисел Грасгофа (или чисел Рэлея) для простейших геометрий теплообменных поверхностей. В то же время практически важными стали сведения о локальных характеристиках тепломассообмена, связан-
16
ных (или обусловленных) с особенностями структуры конвективных течений. Наиболее ясно это видно на примере проблем получения материалов с заданными свойствами для нужд микроэлектроники и оптики, в химической технологии, энергетике, особенно атомной, авиации и ракетостроении. Большое количество объемных м/к и эпитаксиальных пленок получают в настоящее время различными методами из расплавов и растворов в расплаве. Технологическая практика показывает, что на качество м/к и пленок на стадии непосредственно перехода жидкость - твердое тело, сильное влияние оказывают процессы тепломассобмена вблизи фронта кристаллизации. Общие закономерности процессов тепломассообмена, которые успешно применяются в области энергетики, машиностроения, авиационной и космической технике, невозможно перенести механически на конкретные приложения к технологии получения материалов с заданными свойствами. В связи с этим с начала 80 х годов активно идет формирование нового научного направления — технологической гидромеханики и технологической теплофизики. Стало актуальным получить достоверные экспериментальные данные об общих фундаментальных свойствах термогидродинамических систем, подобных технологическим. В частности, экспериментальные результаты необходимы для разработки адекватных физико-математических и численных моделей технологических процессов.
Основные объекты исследований:
1. Горизонтальные слои жидкости с равномерным подогревом снизу с двумя жесткими границами, с жесткой нижней и верхней свободной границами, при стационарных и нестационарных температурных условиях.
2. Горизонтальные слои с продольным градиентом температуры с двумя жесткими стенками и с верхней свободной границей.
3. Полости с различными размерами и с нагретыми до разных температур
17
торцевыми стенками, верхняя граница жидкости свободна.
4. Вертикальный слой жидкости с нагретыми до разных температур боковыми стенками и нагретая вертикальная пластина в большом объеме холодной жидкости.
5. Так как на современном этапе развития наукоемких производств для физико-технических отраслей науки, по-видимому, характерным и естественным должно быть органическое сочетание фундаментальных и прикладных исследований, то еще одним направлением работы были исследования гидродинамики раплавов и конвективного теплообмена на физических моделях наиболее эффективных способов получения м/к из расплавов — различные варианты метода Чохральского и горизонтальной направленной кристаллизации. Эти объекты характерны тем, что здесь течение формируется при различном вкладе тепловой гравитационно-капиллярной и вынужденной (вызванной вращением одной или двух границ) конвекций. Этот относительный вклад изменяется в зависимости от перепадов температур, угловых скоростей вращения и абсолютных размеров моделей. Здесь преследовалась двоякая цель — во-первых, провести фундаментальные комплексные исследования эволюции структуры течения и теплообмена по той же программе и с той тщательностью, что и на традиционных канонических объектах (1-4); во-вторых — прикладная. Цель этих исследований — получить достоверные экспериментальные данные для создания теоретической базы и выдача рекомендаций для оптимизации существующих и разработки новых технологических процессов и ростовых установок.
Цель работы - получить надежные экспериментальные данные о гидродинамике и конвективном теплообмене во всех режимах течения на всех перечисленных выше объектах; исследовать закономерности ламинарно-турбулентного перехода в свободноконвективных и смешанноконвективных течениях в слоях
18
жидкостей и у стенок различной ориентации при различных граничных условиях, на физических моделях метода Чохральского;
-определить границы переходов от простых форм течения ко все более сложной их пространственно-временной организации; изучить связь особенностей структуры течений со средними во времени и мгновенными локальными и интегральными тепловыми потоками;
-исследовать относительную роль сил плавучести, термокапиллярного эффекта и центробежных сил в формировании структуры изучаемых течений. На защиту выносится:
1. Создание комплекса многофункциональных экспериментальных стендов, создание и адаптация методик эксперименальных исследований теплообмена и тонких характеристик полей скорости и температуры свободноконвективных течений, пространственной формы течений.
2. Результаты исследований отбора и эволюции пространственной формы течения в подогреваемых снизу горизонтальных слоях жидкости, эволюции полей скорости и температуры в режиме ячеистой конвекции с ростом перепада температуры между границами слоя : а) две жесткие изотермические границы; б) верхняя свободная граница.
3. Результаты исследований перехода от режимов стационарной ячеистой конвекции к зависящему от времени течению в слоях с жесткими границами различных относительных размеров.
4. Результаты исследований статистических характеристик поля температуры в горизонтальных слоях жидкости в турбулентных режимах течения.
5. Результаты экспериментальных исследований теплопередачи через подогреваемые снизу горизонтальные слои жидкости Рг = 10 с двумя жесткими границами и различными размерами в горизонтальной плоскости при стационарных и нестационарных температурных граничных условиях; теплопередачи
19
через слой со свободной верхней границей.
6. Результаты экспериментальных исследований теплопередачи и статистических характеристик поля температуры в горизональном слое с жесткими вращающимися границами: а) в режиме вращения всего слоя в целом; б) в режиме вращения только верхней или только нижней границы; в) в режимах дифференциального вращения границ с различными угловыми скоростями.
7. Результаты исследований структуры термогравитационного и гравитационно-капиллярного течения в горизонтальном слое с продольным градиентом температуры и в прямоугольных полостях различных относительных размеров с нагретыми до разных температур торцевыми стенками.
8. Результаты исследований эволюции локальных характеристик пограничного слоя у вертикальных поверхностей теплообмена высокой и низкой теплопроводности.
9. Результаты экспериментальных и численных исследований теплообмена и структуры тепловой гравитационно-капиллярной, смешанной и вынужденной изотермической конвекции на лабораторных моделях метода Чохральского различных размеров.
10. Результаты исследований ламинарно-турбулентного перехода в пограничных слоях на охлаждаемых горизонтальных поверхностях различных размеров.
Научная новизна. К началу работы по теме диссертации не был решен вопрос о выборе пространственной формы свободноконвективных ячеистых течений в подогреваемых снизу горизонтальных слоях жидкости; не была исследована гидродинамика таких течений; отсутствовали данные о сценарии перехода к турбулентным режимам течения в горизонтальных слоях жидкости и в свободноконвективных пограничных слоях у стенок различной ориентации; отсутствовали данные о статистических характеристиках полей температуры
20
и скорости в переходных и турбулентных режимах термогравитационных течений; практически не было экспериментальных исследований термокапиллярной конвекции; практически не было фундаментальных исследований гидродинамики и конвективного теплообмена при росте м/к и эпитаксиальных пленок.
Впервые экспериментально было показано, что ячеистая термогравитационная конвекция в горизонтальном слое с жесткими границами имеет вало-образную форму с широким спектром длин волн и наличием наиболее вероятного значения длины волны, которое с ростом надкритичности растет, а спектр длин волн расширяется.
Впервые экспериментально исследованы гидродинамика ячеистого течения в слоях с двумя жесткими границами и поля температуры и скорости в слоях со свободной верхней границей; экспериментально подтверждено влияние термокапиллярного эффекта на формирование конвективного течения.
Впервые экспериментально показано влияние нестационарности граничных условий и относительных размеров горизонтальных слоев на сдвиг границ “дискретных изломов" зависимостей интегрального теплового потока через горизонтальные слои от перепада температуры.
Впервые экспериментально показана зависимость перехода к зависящему от времени квазиупорядоченному ячеистому течению от относительных размеров горизонтального слоя.
Впервые исследованы статистические характеристики поля температуры при турбулентном слое с двумя жесткими границами с жидкостью Рг = 16.
Впервые экспериментально показано сильное влияние термокапиллярного эффекта на теплопередачу через горизонтальные слои жидкости со свободной верхней границей в турбулентном режиме течения.
Впервые проведены исследования статистических характеристик поля тем-
21
пературы и теплопередачи через горизонтальные слои жидкости с дифференциальным вращением границ.
Впервые: проведены экспериментальные исследования структуры течения и его устойчивость в горизонтальном слое с высокотеплопроводными границами и продольным градиентом температуры.
Впервые было проведено комплексное моделирование процессов вытягивания м/к из расплавов методом Чохральского на специально созданном семействе разномасштабных экспериментальных стендов-моделей и получены впервые принципиально новые результаты о структуре тепловой гравитационнокапиллярной, смешанной и вынужденной изотермической конвекции: впервые определены пороги неустойчивости течения в целом и в пограничных слоев на модельных фронтах кристаллизации при тепловой гравитационнокапиллярной конвекции.
Впервые при смешанной и вынужденной изотермической конвекции в термогидродинамических системах, подобных методу Чохральского, выявлен сам факт существования качественно различных структур течения и определены области их существования, обнаружено влияние масштабного фактора на формирование пространственных форм течения.
Впервые в режимах тепловой гравитационно-капиллярной, смешанной и вынужденной конвекции на физических моделях метода Чохральского изучено распределение скорости, а в первых двух случаях и температуры в объеме. Показана связь гидродинамики с поведением мгновенных и средних по времени локальных и интегральных тепловых потоков к фронту кристаллизации.
Впервые показано влияние граничных условий для температуры на стенках тигля при тепловой и смешанной конвекции на гидродинамику, статистические характеристики поля температуры и теплоотдачу к фронту кристаллизации.
22
Степень достоверности результатов. Научные положения, выводы и обобщения, сформулированные в диссертации, опираются на обширный экспериментальный материал, полученный автором, и на результаты численных исследований. Достоверность экспериментальных данных обеспечена использованием современных методов измерений и обработки данных, детальной проработкой методических вопросов, подробным анализом случайных и систематических погрешностей и подтверждается хорошей воспроизводимостью результатов. Достоверность предлагаемых обобщающих зависимостей подтверждена совпадением в пределах доверительных границ оцениваемых погрешностей с результатами измерений и их физическим обоснованием. Достоверность результатов численных исследований обеспечена использованием современных методов расчетов и сравнением их результатов с экспериментом.
Научная и практическая значимость. Полученные в работе систематические экспериментальные результаты имеют фундаментальное значение для понимания процессов ламинарно-турбулентного перехода в течениях тепловой гравитационно-капиллярной природы и в режимах смешанной конвекции с сильным влиянием сил плавучести.
Результаты экспериментальных исследований структуры конвективных движений и теплообмена в различных режимах в слоях различной ориентации использовались и используются в Институте проблем механики РАН, Гидрометеоцентре, в ИЯФ МГУ в качестве тестовых задач при отработке численных моделей и алгоритмов расчета.
В период с 1977г. по настоящее время активно разворачиваются работы по численному моделированию гидродинамики и тепломассообмена в технологических процессах получения м/к, в частности, в методе Чохральского, что сопровождается появлением новых разностных методик на основе нестационарных уравнений Навье-Стокса и разработкой метода конечных элементов,
позволяющего проводить исследования в областях со сложными границами. Результаты лабораторного моделирования метода Чохральского широко используются разработчиками численных моделей технологических процессов для решения вопросов, связанных с количественной проверкой адекватности численных решений, в Институте проблем механики, Институте прикладной математики РАН, Гиредмета, ВЦ Латв. гос. университета (до 1991г.) и ряде других организаций, а в последние годы и в ИТиК СО РАН.
Полученные в диссертации результаты моделирования технологических процессов нашли практическое применение в усовершенствовании существующих и разработке новых технологических процессов получения м/к гранатов и кремния, эпитаксиальных ЦМД структур (в Институте материаловедения им. Малинина, г. Зеленоград), получения крупногабаритных щелочногалоидных кристаллов (в Институте монокристаллов, г. Харьков). Данные по моделированию процессов роста ряда оксидных м/к используются в Конструкторско-Технологическом Институте монокристаллов и в ИНХ СО РАН. Эти результаты представляют интерес для разработчиков технологических процессов и ростовой аппаратуры многих организаций, занятых получением м/к и пленок для микроэлектроники, лазерной техники, специальной оптики и т.д., т.к. они по существу являются теоретической базой (широкого применения) такого класса процессов.
Результаты исследований ламинарно-турбулентного перехода у стенок различной ориентации, особенно поведение мгновенных локальных тепловых потоков, представляют практический интерес для конструкторов тонкостенных машин и аппаратов, например, для анализа режимов эксплуатации топливных баков в авиационно-ракетной технике.
Работа проводилась:
1. В соответствии с координационным планом АН СССР Экспериментальное
*24
и теоретическое изучение проблем турбулентности” (п. 1.9.1.2.); планом НИР Института теплофизики СО РАН по теме Экспериментальное исследование структуры турбулентных потоков и характеристик турбулентного переноса” (Гос. реп № 81030084 и Гос. реп № 01.86.0103357); координационным планом СО РАН ' Новые материалы" (п. 10.2.1.10); заданиями АН СССР (РАН) и другими решениями директивных органов на проведение в 1986-1999гг. фундаментальных и прикладных исследований в области перспективных направлений микроэлектроники;
2. Постановлением ЦК КПСС и СМ СССР (№ 554-164 от 13.05.86);
3. Постановлением ГКНТ (№ 555 от 30.10.88г., этап 25). В последние годы работа выполнялась в рамках грантов РФФИ № 97-01-00760 и № 99-01-00544 (руководитель - автор диссертации); в рамках интеграционных проектов СО РАН № 97-36 (руководители: чл.-корр. РАН К.К. Свиташов и д.ф.-м.н. А.Л. Асеев ИФП СО РАН); № 2000-49 (руководитель-автор диссертации); № 2000-55 (руководитель: чл.-корр. РАН А.Л. Асеев ИФП СО РАН).
Публикации и аппробация работы. Основные результаты опубликованы в 35 работах (см. список в конце автореферата) и были представлены на 1,2-й Всесоюзных конференциях “Современные проблемы тепловой гравитационной конвекции” (Минск, 1971г.; Пермь, 1975г.); на 5-й Международной конференции по теплообмену (Токио, 1974г.); на научных конференциях Института теплофизики СО АН СССР (Новосибирск, 1975г., 1977г.); на 5-й Всесоюзной конференции по тепломассообмену (Минск, 1976г.); на 1-4-м Всесоюзных семинарах по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости (Москва, 1979г.; Пермь, 1981г.; Черноголовка, 1984г.; Новосибирск, 1987г.); на 1-й Всесоюзной конференции “Метрология гидрофизических измерений” (Москва, 1980г.); на конференциях Латвийского гос. университета (Рига, 1981г., 1983г.); на научно-техническом семинаре в Гиредмете под руководством ака-
25
демика A.A. Самарского (Москва, 1981г.); на 7-й Всесоюзной школе “Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики и математической физики'' (Рига, 1982г.); на 9-м Всесоюзном семинаре “Численные методы в механике вязкой жидкости“ (Ленинград, 1982г.); на Всесоюзном семинаре “Математическое моделирование процессов затвердевания металлов и сплавов" (Новосибирск, 1983г.); на 7-9, 11-й Всесоюзных школах-семинарах по моделям механики сплошной среды (Кобулети, 1983г.; Омск, 1985г.; Якутск, 1987г.; Казань, 1991г.); на 1,2-й Всесоюзных конференциях по моделированию роста кристаллов (Рига, 1985г., 1987г.); на Всесоюзном семинаре “Тепло- и массоперенос при росте кристаллов” (Александров, 1985г.); на 6-м Всесоюзном съезде по теоретической и механике (Ташкент, 1986г.); на 7,8-й Всесоюзных конференциях по росту кристаллов (Москва, 1988г.; Харьков, 1992г.); на 6-й Всесоюзной конференции по физико-химическим основам полупроводниковых материалов (Москва, 1992г.); на Всесоюзных школах по росту кристаллов (Харьков, 1989г.; Ужгород, 1990г.); на ежегодных международных конференциях "Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей” (Новосибирск, 1995-2000гг.); на 3-м Минском международном форуме по тепло- и массообмену (Минск, 1996г.); на 2-м Российском симпозиуме “Процессы тепломассопереноса и рост монокристаллов и тонкопленочных структур” (Обнинск, 1996г.); на 2-й Российской конференции “Кремний-2000" (Москва, 2000г.); на 1-й Азиатской конференции по росту кристаллов и технологиям (Япония, Сендай, 2000г.) и неоднократно на семинаре по численным методам в механике жидкости и газа Института проблем механики РАН под руководством профессоров Л А. Чудова и В.И. Полежаева (Москва); неоднократно на общих семинарах Института теплофизики СО РАН под руководством академика В.Е. Накорякова (Новосибирск).
Личный вклад автора. В представленной работе в основном обобщены ре-
26
зультаты экспериментальных исследований, выполенных автором как самостоятельно, так и вместе с сотрудниками научной группы и, затем, лаборатории свободноконвективного теплообмена, которые автор возглавлял в качестве научного руководителя и заведующего лабораторией в ИТиК СО РАН (АН СССР). Часть работы выполнялась на основе хоздоговоров, договоров о двустороннем сотрудничестве и на основе личных творческих связей автора при участии и поддержке сотрудников ряда других организаций. При этом автору принадлежит:
1) в работах, выполненных совместно с С.С. Кутателадзе и А.Г. Кирдяшки-ным (до 1985г.) участие в постановке задач, а затем в качестве руководителя группы и лаборатории постановка проблемы в целом и формулировка задач экспериментальных и численных исследований на всех этапах работы;
2) полностью самостоятельное создание или непосредственное участие в создании экспериментальных установок и стендов на всех этапах работы, начиная с 1968п
3) разработка или участие в разработке основных методик проведения экспериментов и обработки результатов:
4) самостоятельное выполнение и непосредственное участие в опытах и обработке результатов; интерпретация результатов и написание лично (на всех этапах работы) практически всех статей, докладов, отчетов и других научных трудов, результаты которых вошли в диссертацию.
Структура работы. Основное содержание изложено в шести главах, имеющих стандартную структуру: введение, краткий обзор состояния данного частного вопроса на момент начала наших исследований, описание экспериментальных стендов и методик визуализации, измерений и обработки экспериментальных данных, результаты исследований. Основные результаты и выводы сформулированы в конце каждой главы. В конце работы представлены
27
общее заключение и список литературы.
Содержание работы.
В первой главе представлены основные результаты экспериментальных исследований ТГК в горизонтальных равномерно подогреваемых снизу слоях жидкости с двумя жесткими изотермическими границами — Рэлей-Бенаровской конвекции (РБК).
Во второй главе систематизированы результаты исследований в слоях со свободной верхней границей. В слое со свободной верхней границей структура течения и его форма определяются совместным влиянием сил плавучести и термокапиллярным эффектом. В области ламинарной ячеистой конвекции (в тонких слоях с порядка нескольких миллиметров) реализуется полигональная форма течения с широким спектром длин волн. Термокапиллярный эффект, действуя как добавка к силам плавучести, существенно интенсифицирует ячеистое конвективное течение. Значительное влияние термокапиллярного эффекта проявляется и в турбулентном режиме течения.
В третьей главе представлены результаты экспериментальных исследований в горизонтальных слоях жидкости.равномерно подогреваемых снизу, в режимах равномерного вращения слоя в целом и в режимах дифференциального вращения горизонтальных границ. Исследовалась термогравитационная РБК и смешанная (комбинация свободной и вынужденной изотермической) конвекция жидкостей-имитаторов расплавов в варианте метода Чохральско-го, используемом для вытягивания крупногабаритных м/к из плоскодонного тигля с донным подогревом.
В четвертой главе систематизированы результаты экспериментальных и численных исследований ТГКК в прямоугольных полостях со стенками, нагретыми до разных температур, и в горизонтальных слоях жидкости с продольным градиентом температуры. Исследованы экспериментально режимы ТГК
*28
(все границы жесткие) и ТГКК, при которых верхняя граница жидкости была свободной.
В пятой главе изложены основные результаты исследований эволюции характеристик свободноконвективного пограничного слоя на отдельной вертикальной стенке и на моделях слоя (в условиях, когда пограничные слои на горячей и холодной стенках слоя разомкнуты и развиваются практически автономно) по мере его развития от ламинарного к турбулентному режиму течения. Наблюдалась и фиксировалась качественная перестройка пространственной формы течения, определены границы перехода от ламинарного пограничного слоя к режиму с развитым двумерным вторичным течением, границы перехода к трехмерному пространственно-организованному вторичному течению и затем переход к хаотическому течению. В пределах каждой из указанных областей измерены локальные профили средних температуры и скорости на различных расстояниях от передней кромки, измерены частотные спектры мощности пульсаций температуры. Экспериментально показано как закономерности изменения локального коэффициента теплоотдачи связаны с изменением локальной структуры пограничного слоя.
В шестой главе кратко изложены основные результаты комплексных экспериментальных и численных исследований гидродинамики и конвективного теплообмена в системе тигель -расплав -кристалл для базовой модели классического варианта метода Чохральского: с неподвижным тиглем, однородно подогреваемым сбоку и с равномерно вращающимся кристаллом. На разномасштабных физических моделях этого варианта метода Чохральского экспериментально исследована тепловая гравитационно-капиллярная, вынужденная (изотермическая) и смешанная конвекция жидкостей-имитаторов расплавов от ламинарного до развитого турбулентного режима течения. Построены карты областей существования течений различной пространственной формы
•29
и с качественно различной зависимостью от времени. Во всех режимах измерении распределения скорости и температуры, радиальные распределения локальных тепловых потоков. Работа была направлена на выяснение физических причин развития различного типа неустойчивостей, исследования связей локальных особенностей структуры течения расплава с локальными тепловыми потоками, исследования закономерностей локального и интегрального теплообмена во всех режимах течения. Численно, методом конечных разностей, исследована ламинарная конвекция термогравитационной, термокапиллярной и гравитационно-капиллярной природы. Исследована относительная роль гравитационных и капиллярных эффектов.
Автор считает своим долгом выразить признательность всем сотрудникам лаборатории свободноконвективного теплообмена за плодотворное сотрудничество на протяжении многих лет и на всех этапах работы: Андреевой О.В., Борисову В.Л., Винокурову В.А., Винокурову В.В., Гапонову В.А., Дятлову A.B., Забродину А.Г., Коврижных Л.С., Малышеву В.И., Маркову В.А.,
С eiiQtïp'
Носкову С.Б., Панченко В.И., Позднякову П.В., Пшеничникову K3.M,VСоловьеву С.В., а также за большую помощь на этапе оформления данной диссертации Тимофеевой Т.В. и аспирантам Адриановой А.М. и Скобликову С.В.
ГЛАВА 1. ТЕРМОГРАВИТАЦИОННАЯ КОНВЕКЦИЯ В ПОДОГРЕВАЕМЫХ СНИЗУ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ СЛОЯХ ЖИДКОСТИ С ДВУМЯ ЖЕСТКИМИ ГРАНИЦАМИ
1.1. ВВЕДЕНИЕ
В плоском горизонтальном слое жидкости, находящемся в поле тяжести и равномерно подогреваемом снизу, при градиенте температуры выше критического значения возникает своеобразное постранственно упорядоченное свободно-конвективное движение — ячеистая рэлей-бенаровская конвекция (РБК). РБК — одна из многих задач свободной конвекции каждая из которых рассыпается на иерархическую цепочку проблем: исследование структуры основного течения и ее эволюции с ростом числа Рэлея, затем определение порога неустойчивости и типа механизма потери устойчивости; дальше исследования неустойчивостей высших порядков — задачи исследования устойчивости течений все более сложной пространственно-временной структуры; исследования развитого турбулентного режима течения. Главная особенность горизонтального слоя — возможность механического равновесия при соблюдении некоторых условий. Механическое равновесие неравномерно нагретой жидкости возможно лишь в том случае, когда градиент температуры во всем объеме жидкости постоянен и направлен вертикально. При больших значениях градиента температуры равновесие становится неустойчивым, возмущения со временем нарастают и возникает конвективное движение. Пороговое значение градиента температуры, при котором нарушается равновесие и возникает конвекция, зависит от размеров и формы полости, в которой находится жид-
31
кость, а также тепловых свойств окружающего массива и теплофизических свойств жидкости. Когда механическое равновесие нарушается возникает упорядоченная ячеистая конвекция. С ростом перепада температуры между горизонтальными границами слоя происходит постепенное (стадийное) усложнение пространственно-временной организации структуры течения и переход от стационарного пространтсвенно упорядоченного течения к турбулентному.
Горизонтальный слой неустойчиво стратифицированной жидкости является классической моделью многих сильно разномасштабных природных [202], [167], [59], [204], [185],И5Щ121], [98], [155], [156], и технологических
[114], [134], [62], [162], [198], [147], [163], [164], [1], [142] процессов. Перенос тепла свободной конвекцией играет существенную роль в тепловом режиме атмосферы и океана. Наличием свободной конвекции в мантии Земли геофизики пытаются объяснить многие тектонические явления, включая дрейф континентов [120]. С другой стороны кроме глобальных крупномасштабных процессов взаимодействия атмосферы и океана, важнейшими являются процессы тепломассообмена на их границе раздела — процессы сантиметрового масштаба. Для техногенных систем большой практический интерес имеет разработка физических моделей процессов обмена, происходящих вблизи границы раздела жидкость - твердое тело и жидкость - газ, например, с технологической точки зрения при выращивании кристаллов и эпитаксиальных пленок из различных сред, при эстрагировании и других химико-технологических процессах в жидкостях.
Рассматриваемая модель стратифицированного горизонтального слоя жидкости с различными граничными условиями вызывает также большой интерес в рамках развития теории гидродинамической неустойчивости. Устойчивость гидростатического равновесия неравномерно нагретой жидкости изучалась в большом числе работ, начиная с экспериментов Бенара. Достаточно полный
32
обзор работ этого направления, выполненных до 1970 - 1971гг., содержится в монографиях [264], [74], где рассматривается также влияние на устойчивость вращения, диффузии, модуляции параметров, объемного тепловыделения, температурной зависимости вязкости и других факторов. Состояние проблемы на 1978 год обсуждалось в обзоре [78]. На разных этапах последние достижения в области исследований конвективной неустойчивости и структуры развитой конвекции рассматривались также в монографиях и обзорах [97], [85], [106], [84]. Равномерно подогреваемый снизу слой жидкости стал в последние годы одним из канонических объктов, на которых изучается, с одной стороны, переход к турбулентности в гидродинамике (в смысле хаотизации) [140], [85], [192], [46], [194], а с другой стороны, процессы самоорганизации в неравновесных системах [46], [194].
К началу данной работы были довольно подробно исследованы условия нарушения механического равновесия в слое жидкости [264], [140], [74]; наблюдался некоторый прогресс в решении вопроса о выборе устойчивой пространственной формы течения, возникающего после нарушения равновесия [430], [140], [245], [247], [247], [85]; но крайне слабо было изучено изменение структуры физически реализуемого конвективного течения при его развитии с ростом характерного перепада температуры вдали от механического равновесия в смысле определения поля скорости и распределения температуры в слое жидкости. О переходе к турбулентности в горизонтальном слое имелись только отдельные разобщенные данные [131], [374], [288], [132], [375], [140], [248], [249], здесь особенно нужны были систематические экспериментальные и теоретические исследования.
В связи с этим была очевидной необходимость комплексного экспериментального исследования термогравитационной конвекции в горизонтальном слое жидкости в широком диапазоне определяющих параметров с целью выявле-
ния характера изменения структуры конвективного течения вдали от механического равновесия и при переходе к турбулентному режиму. Кроме того в последние годы особенно ясно стало, что точное знание, прогнозирование амплитудно-частотных и пространственных характеристик вторичных течений в различных режимах РБК имеет большое практическое значение. Наиболее ярко это проявляется в, по-видимому, наиболее наукоемкой современной технологии — в процессах получения совершенных монокристаллов различных веществ. Для современного этапа развития этой технологии характерна общемировая тенденция стремительного увеличения диаметра кристаллов. Поэтому при вытягивании крупногабаритных кристаллов из расплавов методом Чохральского процессы под охлаждаемым фронтом кристаллизации все в большей степени невозможно анализировать без понимания общих свойств РБК и ее обобщения на случай дифференциально вращающихся границ (см. главу 3). Только на базе глубокого понимания сути физических процессов, происходящих в различных режимах РБК, возможен осмысленный поиск эффективных способов оптимизации и управления технологиями этого класса.
1.2. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА
С задачи об устойчивости горизонтального слоя жидкости, подогреваемого снизу, началось интенсивно развиваемое в современной гидродинамике исследование явлений гидродинамической неустойчивости. Наиболее полно эта задача рассмотрена в монографиях [264], [140], [74], [97], [84], а также в [177], [178], [85], [137]. Началом изучения конвективной неустойчивости можно считать классические эксперименты Бенара и теорию, предложенную Рэлеем для их объяснения [264].
Краткая история вопроса и современные представления о конвекции Рэлея-Бенара систематизированы в монографии [84]. В ней основное внимание уделено вопросу отбора масштаба и формы (пространственной структуры) ячеи-
34
стого течения. В нашей работе эти вопросы подчинены физико-техническому аспекту проблемы: как пространственная форма связана с локальными и интегральными потоками тепла.
При теоретическом рассмотрении задачи о конвективном движении обычно обходят проблемы, связанные с решением точных уравнений Навье-Стокса для сжимаемой среды, вводя упрощающие предположения. Точные уравнения сводятся к уравнениям в приближении Буссинеска. Справедливость приближения Буссинеска для задач свободной конвекции обсуждалась в [264], [140], [74], [97], [84], там же содержится практически полная библиография по данному вопросу.
В подавляющем большинстве теоретических работ исследования выполнены с использованием системы уравнений свободной конвекции в приближении Буссинеска [74], [129]:
р0дУ/д1 = УР' + /*Д V + ро/ЗТ'д (1)
лт
— + УЧГ = аЛТ' (2)
дt
(НуУ = 0 (3)
Р = А>(1 - РТ’У, (5 = -рй1 (■др/дТ); р0 = р(Т, Р) (4)
где Т и р' — отклонения от средних значений Т и р (Т1 и р считаются малыми по сравнению с 7" и />). В большей части теоретических работ рассматриваются два рода граничных условий для скорости на горизонтальных границах слоя. Рэлеем (см. [264], [140], [74], [97], [84]) были введены идеализированные условия на свободной границе. На границах исчезают касательные напряжения; границы предполагаются плоскими, недеформируемыми возникающим конвективным течением, и изотермическими:
при г = 0.77 у = 0, ди/дг = дш/дг = 0, при г = 0. Г = Тьпри г = # Г =
35
Или используя уравнение неразрывности (1.3):
при z = О, Н V = 0. 02г'/дг2 = 0. (б)
Второй случай — твердые изотермические границы. В этом случае считается,
что как нормальная, так и касательная составляющие скорости обращаются в нуль (условия непротекания и прилипания):
при г = 0. Я и = и? = V = 0. при 2 = 0 Т = Т\, при г = Н Т = Тг-
(7)
Или с учетом уравнения неразрывности:
при 2 = 0,11 V = ди/дг = 0. (8)
Физически более реалистичные граничные условия для случая свободных гра-
ниц с учетом деформации и термокапиллярного эффекта рассмотрим в главах 2 и 4.
Запишем систему уравнений для возмущений (1.1) - (1.3) в безразмерном виде. Для этого выберем следующие единицы измерения: расстояния — высота слоя жидкости Я, времени — Я2/7', скорости — а/Я, давления — риа/Н2, температуры — ДГ = Т\ — Т2. Переходя при помощи указанных единиц к безразмерным переменным, получим систему уравнений:
дУ/дг = - УР + АУ + Иа • Т ■ ], Рг ■ {дТ/дГ) - (V • /) = АТ, (9)
сПь'У = 0.
Здесь 1 — единичный вектор, направленный по вертикали вверх.
Если границы слоя имеют конечную (одинаковую) теплопроводность, то к системе уравнений необходимо добавить уравнение для возмущения температуры стенок Тгп, которое после обезразмеривания будет иметь вид:
Рг • адТт/дЬ = АТт (10)
36
В систему (1.9), (1.Ю) входят три безразмерных параметра: число Прандтля Pr = v/a, отношение температуропроводности жидкости и массива а = а/ат и число Рэлея Ra = ßg/av • АТ • Я3.
Здесь следует отметить, что уравнения (1.9), (1.10) описывают поведение малых возмущений температуры и скорости, когда можно принебречь квадратичными членами возмущений. В общем случае, задачи неустойчивости являются нелинейными, однако, в первую очередь, рассматривалась устойчивость по отношению к всегда присутствующим малым возмущениям. Для таких возмущений достаточно сохранить в уравнениях, описывающих возмущения, только члены первого порядка, т.е. линеаризовать уравнения. Теория линейной устойчивости стационарных процессов достаточно разработана [133], [264], [140], [74], [97], [84]. В этом случае математически задача сводится к нахождению собственных функций и собственных значений краевых задач. Нелинейная теория устойчивости имеет два аспекта: во-первых, она должна дать информацию о поведении конечных возмущений, наложенных на испытываемое решение и, во-вторых, дать методы нахождения установившегося течения, сменяющего первоначально неустойчивый режим.
Наиболее простым оказывается решение задачи Рэлея [264]: горизонтальный слоя жидкости со свободными границами, т.е. с граничными условиями (1.5). Критическое число Рэлея, при котором возникает неустойчивость по отношению к возмущению с заданными п и к, определяется выражением:
Ra = (ггтг2 + fc2)3 /к2. (11)
Эта формула дает нейтральную кривую в плоскости (Ra,Ä~), разграничивающую область устойчивости и неустойчивости. При любом п нейтральная кривая Ra (к) имеет минимум. Минимальное значение числа Рэлея Ram = Y • п4тг4, оно достигается при значении волнового числа кт = птг/\/2. Для
основного возмущения (п = 1) имеем Нат = 657,511; кт = 2,221. С увеличением п критические числа быстро растут, и минимум на нейтральных кривых смещается в сторону коротковолновых возмущений.
Отметим важную особенность разобранной задачи. Она состоит в том, что параметром этой задачи является квадрат модуля волнового вектора к2 = к\ 4- Щ (к\ и к'2 — вещественные волновые числа, характеризующие периодичность возмущений в горизонтальной плоскости вдоль направлений х и у). И, следовательно, декременты возмущений, критические числа Рэлея также определяются параметром к2\ соотношение между к\ и остается произвольным. Таким образом, имеется вырождение: одному и тому же критическому числу Рэлея соответствует бесконечное множество возмущений. Например, конвективные ячейки в виде конвективных валов с осями, параллельными оси х (к 1 = 0, к'2 = к) или оси у (к\ = к, к2 = 0), ячейки прямоугольной формы, треугольные и гексагональные структуры.
Таким образом, линейная теория устойчивости позволяет найти периодичность движений, возникающих на границе устойчивости (она определяется критическим волновым числом кт), но не позволяет определить их пространственную форму. Это обстоятельство не связано с конкретным видом условий на границах слоя. Решение проблемы отбора упорядоченных конвективных структур, возникающих в результате неустойчивости, может быть получено лишь средствами нелинейной теории.
Рассмотренная выше задача Рэлея об устойчивости слоя со свободными границами имеет простое точное решение, позволяющее понять характерные особенности проблемы. С экспериментальной точки зрения значительно больший интерес представляет слой жидкости с двумя твердыми границами, либо слой, одна из границ которого (нижняя) твердая, а другая (верхняя) — свободная. Для случая твердых границ задаются граничные условия (1.7).
38
Решить эту задачу на устойчивость можно только численно. Задачу решали разными способами [264], [140], [74], [97], [84], [339], [340], [380], [410], [419], [420], [261].
Минимальное критическое число Рэлея на основном уровне неустойчивости оказывается равным Ram = 1707,762 и соответствует оно возмущению с волновым числом кт = 3.117. С возрастанием номера уровня различие в критических числах Ram для слоя с твердыми границами и для слоя со свободными границами уменьшается. Это естественно: высоким уровням неустойчивости соответствуют мелкомасштабные возмущения, а в этом случае спектр краевой задачи перестает зависеть от характера граничных условий. С увеличением п растет критическое волновое число кт, т.е. уменьшается длина волны критического возмущения. Таким образом, при уменьшении линейного масштаба возмущений в направлении оси z, соответственно уменьшается и характерный горизонтальный масштаб критических возмущений.
В случае несимметричных граничных условий (нижняя граница твердая, верхняя — свободная) минимальное критическое число Рэлея равно Ram = 1100,657 и достигается при критическом волновом числе кт = 2,682.
Повышение критических чисел Рэлея при переходе от слоя со свободными границами к слою с твердыми границами связано со стабилизирующим действием вязких сил у твердой границы. Критические числа для коротковолновых возмущений [к 1) перестают зависеть от характера граничных условий.
Экспериментальному изучению возникновения конвекции в горизонтальном слое посвящено большое количество работ [433], [441], [422], [434], [432]. Порог возникновения конвекции определялся либо визуальным наблюдением конвективного движения жидкости, либо методом, предложенным в работе Шмидта и Мильвертона [433]. Последний метод основан на том, что кризис
39
равновесия подогреваемого снизу слоя жидкости сопровождается кризисом теплопередачи через слой. При возникновении неустойчивости чисто теплопроводный режим переноса тепла нарушается, появляется конвективная составляющая теплового потока, в результате чего зависимость теплового потока от разности температур испытывает излом. Положение этого излома дает возможность с достаточной точностью определить критическую разность температур и критическое число Рэлея. Используя обе методики, обстоятельные эксперименты по определению порога неустойчивости с различными жидкостями были выполнены Сильвестоном [441].
Экспериментальные результаты обычно предтавляют в виде зависимости безразмерного теплового потока (числа Нуссельта) от числа Рэлея. Число Нуссельта определяют как отношение полного потока тепла к потоку, обусловленному чистой теплопроводностью, т.е. к кондуктивному потоку тепла (такому потоку тепла, который был бы при заданных граничных условиях в покоящейся жидкости): N11 = л- Полный тепловой поток складывается из кондуктивной части и конвективной: +0\-
Таким образом, при 11а < КакрЛ число N11 = 1 и при Біа > 11акр л число N11 > 1. Критическое число Рэлея по данным [441] равно Какр1 = 1700±51, что хорошо согласуется с теоретическим значением 1708 для твердых изотермических границ. Результаты других авторов, полученные при экспериментах с различными жидкостями и газами, хорошо согласуются со значением Ыакр1 ~ 1700.
Вопрос о влиянии конечной теплопроводности массива, ограничивающего жидкость, на порог устойчивости рассматривался в [453], [326], [73], [400].
В работе [453] рассматривалась задача, когда на границах слоя выполняется условие третьего рода и для некоторых частных случаев определены критические числа Рэлея в зависимости от коэффициента теплоотдачи. Задача
40
об устойчивости равновесия жидкости в горизонтальном слое, ограниченном сверху и снизу полубесконечными твердыми массивами, теплопроводность которых отличается от теплопроводности жидкости, рассматривалась в работах [326], [73]. В этом случае температурные возмущения проникнут в массивы, и при решении задачи нужно исходить из условий непрерывности температуры и теплового потока на границах слоя. В работе [326] был рассмотрен случай, когда массивы одинаковой теплопроводности, а в работе [73] более общий случай, когда массивы имеют различную теплопроводность.
Конечная теплопроводность массивов приводит к уменьшению критического числа Рэлея и критического волнового числа. Это связано с проникновением температурных возмущений в массивы, что увеличивает эффективные размеры области существования возмущений, дает относительно большую свободу" для развития возмущений и приводит к понижению порога устойчивости и увеличению критической длины волны. Так в предельном случае а 1 —» сю, а2 —► ос критическое число Рэлея убывает до значения 11а7Г, = 720, а критическое волновое число кт до нуля.
В работе [400] рассматривался слой жидкости, ограниченный с одной стороны изотермической плоскостью, а с другой — пластиной конечной толщины с внешней изотермической границей. С увеличением толщины пластины критическое число Рэлея убывает, а критическая длина волны растет.
Линейная теория устойчивости позволяет определить границу устойчивости и проследить за судьбой малых возмущений. Экспоненциальный рост возмущений, получаемый при рассмотрении задачи в линейном приближении, не может продолжаться долго, очень скоро возмущения перестают быть малыми и не подчиняются более линейным уравнениям движения. Эволюция конечных возмущений, а также форма и амплитуда установившегося движения (если оно существует) могут быть определены лишь на основе полных
нелинейных уравнений. Действительно, в надкритической области линейная теория позволяет сопоставить возмущения лишь по скорости их нарастания. Можно выбрать возмущение, скорость роста которого максимальна. Однако нет никаких оснований, вообще говоря, ожидать, что именно эта мода неустойчивости определит форму и маштаб конечного состояния. В надкритической области, наряду с этим возмущением, нарастают также и возмущения, принадлежащие целому интервалу волновых чисел; их нелинейное взаимодействие существенно определяет как эволюцию начального возмущения, так, следовательно, и предельное состояние. Таким образом, проблема отбора является существенно нелинейной задачей.
Широкое распространение в нелинейной теории гидродинамической устойчивости получил метод малого параметра, предложенный Сорокиным [178]. Опираясь на феноменологическую теорию Ландау [129], согласно которой амплитуда стационарного надкритического движения вблизи порога растет по корневому закону с увеличением числа Рэлея Иа, стационарные решения нелинейных уравнений находятся в виде разложений по степеням малого параметра — надкритичности е = ^Иа - Какр .
В работе Горькова Л.П. [88] рассматривались стационарные периодические движения гексагональной симметрии в слое со свободными границами. Мал-кус и Веронис [383] изучали конвективные структуры различной формы — двумерные валы, прямоугольные и гексагональные ячейки — при разных условиях на границах слоя. В работах [383], [367] показано, что с помощью высоких приближений метода малого параметра удается получить стационарные решения для достаточно высоких надкритичностей (И.а = 7Пакр). С помощью этого решения можно определить важные нелинейные характеристики — интенсивность движения, тепловой поток и др. Однако расчет стационарного надкритического движения сам по себе не дает ответа на во-
42
прос о том, какое именно движение реализуется в действительности. В этих работах структура вторичного движения предполагается заданной: нелинейный расчет проводится для определенного горизонтального масштаба ячейки и ее формы. Проблема “отбора” истинного движения остается открытой.
Для решения этой проблемы необходимо рассматривать задачу о надкритических движениях в стационарной постановке. В работах [456], [405], [425], [426] рассмотрен подход, связанный с рассмотрением эволюции начального возмущения. При этом предполагается, что нестационарное движение в надкритической области может быть представлено в виде суперпозиции некоторых первичных мод с амплитудами, зависящими от времени. В процессе нелинейного взаимодействия появляются вторичные и т.д. моды, так что нелинейный механизм, в принципе, может привести к определеной “селекции'’ — усилению какой-либо одной моды и подавлению остальных. Дальнейшее развитие метода требует рассмотрения всего континиума первичных возмущений и более полного учета существенных взаимодействий. Так в [166] рассмотрение ведется на основе весьма общих феноменологических амплитудных уравнений, а в [394] задача об эволюции возмущений трактуется с позиций теории случайных процессов. Особый интерес представляют работы Гетлинга A.B. [80], [81], [82]. В этих работах исследована эволюция конвективных валов в предположении, что в начальный момент поля скорости и температуры содержат всевозможные волновые числа из некоторого спектрального диапазона. Используемый при этом аппарат [80] позволяет рассматривать поля, аперио-дичные в пространстве, причем с длинноволновой стороны полосы спектра возмущений допустимы все волновые числа, включая ноль. Результаты, полученные Гетлингом A.B., показывают, что уменьшение кр (предпочтительное волновое число, соответствующее периодичности установившихся валов) с ростом Ra может быть обусловлено внутренними свойствами механизма
43
конвекции в бесконечном горизонтальном слое, что находится в согласии с экспериментальными результатами [267], [363],[477], [11].
В работах Шлютера, Лорца и Буссэ [430], [245], [270], [254], [271], [253] развит второй подход, связанный с исследованием устойчивости стационарных надкритических движений. Рассмотрение малых возмущений вторичных стационарных движений в линейном приближении не дает возможность проследить за эволюцией конечного возмущения, однако решение вопроса об устойчивости ячеистых движений удается провести гораздо более последовательно, чем в методе взаимодействующих мод. Анализ устойчивости надкритических движений, проведенный методом малого параметра, показывает, что все трехмерные ячеистые движения неустойчивы. Что же касается двумерных структур (валов), то для них существует интервал волновых чисел вблизи кт, внутри которого эти структуры устойчивы. Диаграмма устойчивости конвективных валов для разных чисел Прандтля, взятая из [253], приведена на рис. 1.1. Область устойчивости конвективных валов имеет сильную зависимость от числа Прандтля. Наблюдается общее смещение области устойчивости валов в сторону малых волновых чисел при числах Рг < 1, что находится в хорошем согласии с [271]. Область устойчивости ограничена линиями с обозначением вида возмущения, относительно которого первоначальная структура прямых валов оказывается наустойчивой: СР — поперечная неустойчивость, ZZ — неустойчивость зигзагового типа, ОБ — колебательная неустойчивость, КЫ — узелковая неустойчивость, Б\/ — варикозная неустойчивость. Следует отметить, что при числах Прандтля Рг < 1 существенное влияние на устойчивость валов оказывает развитие колебательной неустойчивости, которая с уменьшением Рг наступает при меньших числах Рэлея. При больших числах Рг > 300 валы теряют устойчивость относительно возмущений поперечного и зигзагового типов, причем валы оказываются устойчивыми до чисел Рэлея
44
Яа ~ ‘2.2 • 104. Для чисел Прандтля Рг = 1 4- 7 валы теряют устойчивость относительно различных возмущений в зависимости от волнового числа. Результаты теоретического рассмотрения устойчивости конвективных валов находятся в удовлетворительном согласии с экспериментальными результатами [267], [249], [252]. В этих экспериментах система прямых валов создавалась искуственным образом с помощью нагрева через маски. В реальных экспериментах, когда происходит нагрев нижней границы и охлаждение верхней границы неконтролируемым образом, прямые валы с одним волновым числом не наблюдаются, а присутствуют изогнутые валы с разными длинами волн и вся конвективная структура может содержать дислокации [267], [363], [477], [123], [10], [11]. Задача о развитии такой сложной конвективной структуры и критериях отбора структуры течения с ростом числа Рэлея не поддается теоретическому решению. В работе [381] Малкусом предложен принцип, согласно которому среди множества возможных стационарных режимов реализуется именно тот, который обеспечивает максимальный тепловой поток. Хотя этот принцип кажется физически довольно естественным, конкретные расчеты (для заданной строго периодической ячеистой структуры) говорят о том, что он выполняется далеко не всегда [245]. Не исключено, что механизм отбора единственного предельного режима является стохастическим и проявляется в ходе эволюции случайного начального состояния [394]. Возможно, что в зависимости от выбора начальных условий могут реально установится различные устойчивые стационарные движения [267].
Неоднородность параметров, обусловленная их температурной зависимостью, слабо влияет на устойчивость равновесия, приводя лишь к сдвигу критического числа Рэлея и критического волнового вектора [347]. Влияние же на устойчивость возникающих в надкритической области движений оказывается гораздо более значительным [441], [405], [425], [363], [245], [318]. В экспе-
45
риментах [318] было установлено, что направление конвективной циркуляции внутри ячейки Бенара различно в жидкостях и газах. В жидкостях в центре ячейки восходящий поток, в газах — нисходящий. Это связано со знаком производной ди/дТ\ (у жидкостей вязкость с ростом температуры убывает, а у газов — растет). Эксперименты Типпельскирха [460], [461], проведенные на жидкой сере и на смеси паров воды и табачного дыма подтвердили это. Систематическое исследование влияния температурной зависимости параметров жидкости на устойчивость надкритических движений произведено в работе Буссэ [245]. В этой работе учитывалась зависимость от температуры коэффициентов кинематической вязкости, теплопроводности и теплоемкости. Результаты теоретического рассмотрения находятся в удовлетворительном согласии с экспериментами. Эксперименты Чена и Уайтхеда [267], в которых подбиралась смесь силиконовых масел с малым температурным коэффициентом вязкости (изменение в пределах слоя 5%), как и другие [363], [355], [11], говорят о том. что если температурная зависимость вязкости мала, то устойчивой формой надкритического движения являются конвективные валы. Эксперименты, проведенные при использовании арохлора, вязкость которого сильно зависит от температуры, показали, что валы появляются при толщинах слоя жидкости 6 мм, а шестиугольники — при толщине слоя жидкости 5 мм [324].
Структура надкритической конвекции в горизонтальном слое весьма чувствительна даже к относительно слабой нестационарности температуры границ [362], [362]. Для случая нестационарных граничных условий теоретически и экспериментально показано, что реализуется структура конвективного течения в виде шестиугольных ячеек, а не валов.
Как было отмечено выше, обычно в экспериментах начальные условия не контролируются, конвективные течения развиваются из шума, и вследствие
изотропности слоя возникают ячейки типа валов с различной ориентацией и с различной длиной волны. Если горизонтальные размеры слоя достаточно велики, то после достижения стационарного значения числа Рэлея (АТ = const, Я = const) в течении времени t г = Н2/а происходит перестройка этих ячеек, ответственная вследствие слабой нестационарно-сти конвективных структур. Возможно, поэтому в работе [214] никогда и не наблюдали прекращения нестационарности в слое, горизонтальные размеры которого в 57 раз больше толщины. Эти результаты были подтверждены в работе [215]. Экспериментальное исследование эволюции пространственной формы конвективного течения при постоянном числе Рэлея [313], показало, что в течение всего времени наблюдения равного t = 256 час. происходит перестройка структуры.
Влияние боковых стенок на возникновение и развитие конвекции рассматривалось различными авторами [355], [455], [391], [285]. Сторком и Мюллером [391] получено, что порог устойчивости механического равновесия растет с уменьшением отношения горизонтального размера к высоте слоя при L/H < б и практически не меняется при L/H > 6. В соответствии с теорией Девиса [285], в прямоугольных полостях, когда один горизонтальный размер много больше другого (L/D >> 1), валы стремятся расположиться вдоль короткой стенки, так как такое расположение оказывается энергетически выгодным (меньше взаимодействие вязкой жидкости со стенкой). Выстраивание валиков перпендикулярно границе полости экспериментально наблюдалось как в прямоугольных ячейках, так и в круглых полостях [455], [391], [471], [232]. На конвективную структуру в полостях и у стенок существенное влияние может оказать наличие горизонтального градиента температуры. Так появление структуры валов в виде концентрических колец в экспериментах Кошмидера [355], по-видимому, вызвано радиальным градиентом температуры на верхнем
47
теплообменнике.
Если горизонтальные размеры малы (отношение горизонтального размера к высоте слоя L/H < 10), то в прямоугольных ячейках наблюдаются стационарные валы [471], [232] при числах Рэлея, близких к критическому. Боковые стенки и малые размеры полости являются стабилизирующими факторами, результат действия которых аналогичен результату действия контролируемых условий, когда искуственным образом задавалась система прямых одинаковых валов, которые оставались устойчивыми в некоторой области (Ra — к)
[267], [249], [252].
Характерной особенностью конвективного течения в горизонтальном слое жидкости, как показывают экспериментальные наблюдения, является то, что с ростом надкритичности происходят постепенные качественные перестройки и усложнения пространствнной формы структуры течения. Процесс этот по-стадийный, с отчетливо наблюдаемыми интервалами числа Рэлея, в которых качественно течение не меняется, а на границах последовательно происходят нарушения устойчивости все более сложного, с увеличением числа Ra, течения. После каждого такого очередного нарушения устойчивости существует течение, в значительной степени сохраняющее пространственную упорядоченность [364], [364], [252], [11]. Как уже упоминалось выше, метод Шмидта-Мильвертона [433] широко использовался для определения порога возникновения конвекции [441]. В работе Кришнамурти [364] показано, что переход к двухмодовой конвекции отчетливо проявляется как излом на кривой зависимости теплового потока от чисел Рэлея. Малкус обраружил 7 изломов в зависимости теплопереноса через слой жидкости в области чисел Рэлея до 10‘ [381], которые были называны "дискретными переходами” Ra,-. Суть их в том, что при представлении данных измерений теплового потока через горизонтальный слой в линейных координатах q = /(АТ, /7,- = const), или в
48
безразмерном виде Nu • Ra = /(Ra) эта зависимость оказывается кусочнолинейной, меняющей наклон при некоторых Ra,-. Переходы Малкуса подтверждались исследованиями [474], [422], [304], [268], [365], [18] для разных чисел Прандтля в широком диапазоне чисел Рэлея до 4-10s. Положние дискретных переходов в координатах Ra —Рг приведены на рис. 1.2. Здесь же приведена карта конвективных режимов, взятая из работ [365], [475]. Линия I соответствует переходу от механического равновесия к конвекции (критическое число Рэлея RaKp і = 1708 для слоя с изотермическими жесткими границами). На линии II происходит переход от стациолнарной двумерной системы валов к стационарным трехмерным течениям (бимодальная конвекция). По линии III происходит переход к регулярным трехмерным конвективным колебаниям от стационарных валов для Рг < 1 и от стационарных трехмерных течений для больших чисел Рг > 6. На линии IV появляются гармоники высокой частоты. Линии I - IV взяты из работы Кришнамурти [365]. По результатам работы Виллиса и Дирдорфа [475] нанесены кривые III и V. Кривая III соответствует появлению колебаний температуры внутри слоя. Кривая V соответствет переходу к беспорядочным колебаниям с широким спектром пульсаций температуры. Как видно из рис. 1.2, линии переходов (I, II, III, IV) от одной структуры течения к другой находятся в хорошем согласии с границами "дискретных переходов”, полученных в [365]. Значения критических чисел Рэлея, соответствующих переходам высших порядков и полученных в различных экспериментах для числа Рг ~ 6,7, плохо согласуются между собой [381], [268], [365], [304], [422]. Более того, авторы работ [214], [357], несмотря на весьма точные измерения теплового потока, получили гладкие кривые Nu = /(Ra). Несовпадение границ изломов для числа Рг = 6,7 может быть вызвано тем, что эксперименты проводились на разных экспериментальных установках с разными горизонтальными размерами и формами, при разных температурных
49
граничных условиях (например, заведомо нестационарные условия в работах [381], [474]). Вопрос о зависимости границ изломов от числа Прандтля подробно не был исследован и оставался открытым. Изломы в кривых теплопередачи N11 • Иа = /(На) должны быть вызваны перестройкой структуры конвективного течения в слое жидкости. Если для Иа < 105 такое соответствие, по крайней мере на качественном уровне было отмечено в работе [365], то для чисел Рэлея Иа > 10Г) такого соответствия установить было невозможно, т.к. структура конвективного течения в этом диапазоне чисел Рэлея была слабо изучена. При числах Яа > 105 течение становится зависящим от времени, этим усложнено изучение структуры пространственной формы конвективного течения [18]. Изучение поля скорости и поля температуры так же крайне затруднены в этой области. Методы корреляционного и спектрального анализа полей скорости и температуры могли бы позволить проследить изменение структуры конвективного течения с ростом 11а. Но получение и обработка экспериментальных результатов по спектральному анализу полей скорости и температуры неизотермических и низкоскоростных течений в полном объеме, еще в 70 - 80-е годы было весьма сложной и почти неразрешимой задачей. Этим объясняется малочисленность работ в этом направлении [313],
[268], [462], [446], [447], [287], [256], [449], [176], [192], [313], [312], [296]. Распределение средней температуры по высоте слоя исследовалось различными авторами [462], [446], [447], [287], [256], [297], [296]. Измерение средней температуры проводилось как с использованием термопарных зондов, так и ин-терферометрических методов [268], [296]. Фархади и Тэнкин [296] при числе Рэлея, равном 4,5 • 103, наблюдали обратный градиент температуры. Согласно измерениям Чу и Голдстейна [268], в области существования трехмерных конвективных структур обратный градиент меньше, чем в области существования валов, а при больших числах Рэлея он исчезает. Профиль средней
50
температуры этими авторами определялся достаточно точно. Расчитанная по этим данным зависимость Nu • Ra = /(Ra) позволила определить ряд ‘дискретных переходов', хотя выделить какие-либо явные, характерные для границ переходов, качественные изменения в профиле средней температуры не удалось.
Изучению статистических характеристик поля температуры посвящены работы [462], [446], [447], [287], [256], [297]. Результаты изучения дисперсии пульсаций температуры, спектров мощности пульсаций температуры для разных чисел Рэлея далеко не полные и не позволяют выделить такие явные особенности этих характеристик, которые можно связать с рядом “дискретных переходов’. Изучению спектральных характеристик полей скорости и температуры посвящены работы [287], [297]. Эти работы единственные проведены на воздухе. В них для измерения компонент скорости использовался термоанемометр с большим перегревом, что значительно снижает качество и достоверность полученных результатов. В работе [312] изучались спектральные характеристики пульсаций компоненты скорости в ограниченных ячейках (L ~ D ~ Н). Как уже отмечалось, развитие конвективного течения в ограниченных ячейках происходит по другим закономерностям, чем в слоях с большими горизонтальными размерами L/H ~ D/H 1, поэтому анализ этой работы и других аналогичных работ проведем ниже. В работах Сомерскей-лза и Парсапура [449], [176] применение оптического коррелятора позволило проанализировать изменение “масштабного параметра ’ в диапазоне чисел Рэлея 3 • 103 < Ra < 106. Числа Рэлея, при которых наблюдается максимум “масштабного параметра", авторы сопоставляют с “дискретными переходами”, определенными из измерений теплопередачи. Анализ работ, касающихся изучения структуры конвективного течения для чисел Рэлея Ra > 10 , к сожалению, не позволил чем-либо дополнить карту режимов конвекции в
51
координатах Ra - Рг приведенную на рис. 1.2.
Численные расчеты конечноамплитудной конвекции, развивающейся после потери устойчивочти равновесия, стали возможными в связи с бурным развитием вычислительной техники. Использование метода сеток в двумерной модели позволило продвинуться в расчетах до весьма высоких надкритич-ностей ~ 100RaKp.i [71], [155]. В численных экспериментах Полежаева В.И. и Власюка М.П. [157], [63], Васина В.Г. и Власюка М.П. [58], Шварцбла-та Д.Л. [?//] исследовались формирование и перестройка двумерных ячеистых структур в горизонтальном слое с жесткими границами. При этом решается задача в прямоугольной области высотой Я и шириной L, вертикальные границы предполагаются свободными (или ставятся условия периодичности) теплоизолированными, т.е. по существу, моделируется плоская конвективная ячейка Бенара с длиной волны 2L. С ростом числа Ra в ячейке формируются пограничные слои и образуется ядро течения в центральной части области с почти однородным распределением вихря скорости, что согласуется с гипотезой Бэтчелора [219]. В работе [58] определена область в плоскости Ra - к, для которой численно получены устойчивые стационарные решения двумерных уравнений конвекции. Следует отметить, что в рамках двумерной модели учитывается лишь неустойчивость типа Экхауза. Растущие возмущения при неустойчивости Экхауза имеют вид двух взаимодействующих валов, волновое число одного из которых немного меньше, а другого немного больше, чем у исходных. Результат развития неустойчивости этого типа — развал одного вала на два или наоборот слияние двух валов в один. Путь прямого решения нелинейных уравнений в рамках двумерной модели дает возможность найти конкретную структуру стационарных движений при заданных масштабе и форме ячеек. Для решения вопроса о том, какие из возможных форм конвективных движений должны реализовываться в действительности, требует-
52
ся рассматривать устойчивость этих движений, как это делалось, например, в работе [253]. Либо отбирать эти движения с помощью какого-либо принципа (например, принцип максимума Малкуса [381]). Либо решать вопрос отбора путем сопоставления с опытными данными критического числа Рэлея, локальных и интегральных характеристик полей скорости и температуры [63].
Более интересные результаты удается получить при численном моделировании трехмерных конвективных структур [377], [378], [403], [470]. В расчетах обычно выбирается расчетная область, горизонтальные размеры которой достаточно велики по сравнению с длиной волны ожидаемой периодической структуры. Боковые границы рассматриваются как свободные, либо на них ставятся условия периодичности, горизонтальные границы, как правило, считаются твердыми и изотемическими. В работе [377] проведены расчеты для воды и воздуха при умеренной надкритичности, прослежено формирование двумерных валов в результате эволюции случайных трехмерных начальных возмущений и определена длина волны в зависимости от надкритичности. Вельтищев Н.В. и Желнин А.А. [470] провели серию трехмерных расчетов для газов (Рг = 0,71; 1). Расчетная область имела размеры 2,34 х 4,032 х I (за единицу выбран вертикальный размер), на боковых границах ставились условия периодичности. Число узлов сетки составляло 25 х 25 х 9. Для Рг = 0,71 в области 4,5 • 103 < Иа < 24 • 103 наблюдались устойчивые валы, а при 26-103 < Иа < 32* 103 — трехмерные стационарные движения. Этот переход сопровождается изломом в законе теплопередачи. Липпс [378] проводил расчеты для воздуха (Рг = 0,7) в интервале На = 4* 10 ;Ч-25* 103. Максимальные размеры расчетной области были 6 х 4,9 х 1; число узлов пространственной сетки достигало вдоль горизонатали 40, вдоль вертикали — 20. В указанном интервале чисел Рэлея для воздуха ожидалось (см. рис. 1.2) по мере увеличения Иа чередование трех режимов: стационарных валов, трехмерной
53
периодической во времени и трехмерной апериодической конвекции. Численные результаты подтвердили эти ожидания. Расчет трехмерной конвекции при большом числе Прандтля (Рг = 10) проведен в работе [403]. Авторы использовали весьма грубую сетку (9 х 9 х 9), поэтому полученные результаты носят число иллюстративный характер.
Численному моделированию турбулентной конвекции посвящены, например, работы [282], [61]. Представляет интерес работа Дэйли [282] по численному изучению турбулентного переноса в конвективном потоке. Авторами использовалась модель турбулентного течения, описанная в работе [281]. Дэйли получил следующие характерные переходы в конвективном течении: Иа-2 = (1 - 2) • 101 — возникноваение слабо интенсивной турбулентности; Илз = (5 — 8) • 104 — турбулентность с локально высокой интенсивностью; Иа = (1,6—2,3)-105— турбулентность с равномерно высокой интенсивностью; Б.а = (4.1 — 6.4) -10° — начало ощутимого влияния сдвиговой турбулентности. Границы этих переходов сопоставить с дискретными переходами, определенными в экспериментах (см. рис. 1.2) довольно затруднительно, т.к. в расчете получены широкие интервалы границ переходов. Следует отметить, что при численном моделировании турбулентной конвекции использутся большое число эмпирических коэффициентов (в работе Дэйли [282] их было 10), что снижает надежность результатов расчета и требует сопоставления с экспериментальными данными.
В последние годы интерес к РБК резко возрос в связи с тем, что она стала основным источником развития науки о процессах самоорганизации (синергетики) и о процессах перехода к хаосу. В связи с последним аспектом появилось и интенсивно развивалось такое понятие как сценарий перехода к хаосу. Это направление является современным витком в развитиии теории нелинейных колебаний и теории динамических систем. История вопроса на разных
54
уровнях строгости и с разными степенями подробности изложена, например, в [46] . Там же представлена достаточно полная библиография.
С точки зрения разработки общей теории гидродинамической турбулентности в РБК выделяются две ее основные особенности. Во-первых, из выше изложенного очевидно наличие дискретного спектра пространственных масштабов и их связь с изломами зависимости теплового потока от числа Рэлея. Одна из основных задач эксперимента — это понять основные физические причины образования иерархии масштабов. Другой важный момент — понимание общих принципов возникновения случайности в движении жидкости. Из-за относительной простоты реализации различных режимов течения РБК в настоящее время стала полигоном для экспериментальной проверки моделей возникновения хаоса.
Экспериментальное наблюдение изломов в кривых теплопереноса через горизонтальный слой жидкости относительно больших горизонтальных размеров при подогреве снизу в широком диапазоне чисел Рэлея (до Ка = 4 • 10*) качественно согласуется с моделью перехода к турбулентности Ландау [129] и Хопфа [4б]. В этой модели (сценарии) предполагается существование последовательности бифуркаций и переход к все более сложным решениям. Путем последовательных ветвлений получается многообразие квазипериоди-ческих решений, размерность которых увеличивается с ростом числа Ка и переход к турбулентности с дискретным счетным множеством частот происходит только при Иа -» ос. (Квазипериодическая функция п переменных ... юп1) — это функция, содержащая конечное число рациональнонезависимых частот о>1,а>2, •• и периодическая с периодом 27г/и>,- по каждой переменной).
Предложенный Ландау механизм перехода в турбулентный режим течения теоретически и впервые достаточно обоснованно поставили под сомнение
55
Рюэль и Такенс [424]. Они показали, что после трех последовательных бифуркаций Хопфа, порождающих три независимые частоты, соответствующий тор Т'] при очень общих условиях с дальнейшим ростом числа Рейнольдса (или в нашем случае числа Рэлея) может стать неустойчивым и перейти в странный аттрактор. В этом случае нестационарное, но квазипериодическое с тремя частотами, поведение становится явно хаотическим. В дальнейшем [4£] было строго показано, что некоторые возмущения могут разрушить тор Т' и преобразовать его в странный аттрактор, который в отличие от тора обладает устойчивостью относительно действующих на систему возмущений. Т.о. с ростом управляющего параметра в спектре мощности появлятся последовательно одна, затем вторая и может быть третья дискретные составляющие. Но как только в спектре появилась третья частота возникает широкополосная шумовая компонента. Последнее характерно для хаоса. Для перехода к турбулентному режиму вместо бесконечно большого числа частот достаточно трех.
Стартуя от системы уравнений 1.1 - 1.5 Лоренц [379], Бейкер с сотр. [218] и Мак-Лафлин и Мартин [384], продемонстрировали простые системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями со сложной турбулен^ подобной динамикой решений. Интересные модели сложной динамики, в том числе турбулентно-подобное поведение можно получить с помощью нелинейных, обыкновенных дифференциальных уравнений с N > 3. Например, Кэрри [280] использовал 14-модовое приближение той же системы уравнений конвекции, в которой Лоренц ограничился тремя модами, и получил последовательность бифуркаций, согласующуюся с экспериментами Голлаба и Бенсона [311], [312], проведенными с полостями относительно небольших горизонтальных размеров. На последнее обстоятельсво почему то не обращают должного внимания при сопоставлении результатов теории и эксперимента. Численная
56
модель Кэрри предсказывает сценарий перехода к хаосу через две бифуркации Хопфа. Интересной особенностью этой модели является появление окон периодических режимов в области значений управляющего параметра выше критического для перехода к хаосу. Такое же поведение изучаемых систем наблюдается в сценарии перехода к хаосу через удвоение периода [46].
Интересные результаты получили Мак-Лафлин и Орзаг [385] численно решая трехмерные уравнения Буссинеска для слоя воздуха, ограниченного твердыми теплопроводящими стенками. Расчеты продемонстрировали периодическое, квазипериодическое и хаотическое поведение в области чисел Рэлея
6,5 • 10:3 < Иа < 25 • 103. Эти результаты находятся в согласии с теорией Рюэля и Такенса [424].
Переход к стохастическому поведению системы (к сплошному спектру) в модели Рюэля и Такенса, конечно, не запрещает дальнейших бифуркаций в системе, происходящих при дальнейшем росте чисел Рэлея. Подтверждением этому могут послужить экспериментальные результаты Львова, Предтечен-ского и Черных-##//;Авторы, при изучении течения Куэта обнаружили, что после того как спектр колебаний стал сплошным, при дальнейшем увеличении числа Тейлора из сплошного спектра появляются острые пики. Это является индикатором появления так называемых когерентных структур. Затем эта система вторичных пиков разрушается таким же образом, как и первичная. При очень больших числах Тейлора спектр оказывается сплошным, однако даже в этом случае наблюдаются остатки стационарной, пространственной структуры, хотя во временном аспекте течение уже сильно хаотизировано. Подобное поведение спектров пульсаций температуры было отмечено при исследованиях турбулентной конвекции в подогреваемой снизу кубической полости [102].
Выводы по обзору литературы.
В процессе выполнения работы и регулярного обновления обзора литера-